Квадратные уравнения теорема виета 8 класс мерзляк

Конспект урока по алгебре 8 класса Мерзляк на тему Теорема Виета
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема. Теорема Виета

Цель: добиться усвоения учащимися содержания теоремы Виета для сводного квадратного уравнения и для квадратного уравнения общего вида; сформировать умение воспроизводить изученные утверждение, использовать их для решения задач, предусмотренных программой по математике.

Тип урока: усвоение знаний и умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Теорема Виета».

И. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Самостоятельная работа № 11 (с коррекцией)

Применение формулы корней квадратного уравнения

а) х2 + 5x — 14 = 0;

б) 3у2 — 3у + 4 = 0;

в) 25х2 + 60х + 36 = 0;

г) (2х — 1)(4×2 + 2x + 1) — (2x + 5)(4×2 — 7) = 41 + x2;

а) х2 — 14х + 40 = 0;

б) 12т2 + т + 6 = 0;

в) 4х2 + 4х + 1 = 0;

г) (3х + 1)(2х2 + х — 3) — (3x + 4)(2×2 — x — 5) = x2 + 17;

III. Формулировка мсти и задач урока

Для создания положительной мотивации учебной деятельности учащихся во время проведения самостоятельной работы предложить учащимся выполнить опережающее задание: решить квадратные уравнения и для каждого из тех, что имеют корни, найти их сумму и произведение. На этапе коррекции (см. выше), проверяя правильность выполнения заданий, следует предложить ученикам не просто сравнить свои ответы с правильными, но и сравнить полученные ответы (суммы и произведения корней) с коэффициентами квадратных уравнений. Если ученики заметят определенные закономерности сами, учителю достаточно сформулировать проблему: необходимо исследовать существование общих свойств корней любого квадратного уравнения и выразить эти свойства в виде формул, сформировать умение применять эти свойства при решении типовых задач.

IV. Актуализация опорных знаний и умений

@ Для успешного восприятия учебного материала урока следует активизировать знания и умения учащихся: определение квадратного уравнения, неполных квадратных уравнений и построенных квадратных уравнений, определение коэффициентов квадратного уравнения, формул для решения квадратных уравнений (дискриминанта и корней), выполнение арифметических действий с действительными числами.

Выполнение устных упражнений

1. Решите уравнения: а) х2 — 25 = 0; б) а2 — 5а = 0; в) у2 + 9 = 0; г) n2 — 19 = 0; д) 5х2 = 0,2.

2. Назовите первый, второй коэффициенты и свободный член квадратного уравнения: а) а2 + 4а — 1 = 0; б) у2 — 3 = 0; в) 2b2 — 5b = 0; г) 3 — 2х2 — х = 0; д) 3с2 = 0.

3. Найдите значения выражений: ; ; ; ; ; .

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Теорема Виета для сводного квадратного уравнения: формулировка и доказательство.

2. Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида: формулировки и доказательства:

1) теорема, обратная теореме Виета.

2) примеры применения изученных теорем.

Для сводного квадратного уравнения:

Если х2 + рх + q = 0 имеет корни х1 и х2 (D > 0), то

х1 + х2 = -р; х1 · х2 = q

Для квадратных уравнений общего вида:

Если ах2 + bх + с =0 имеет корни х, и х2 (D >0), то

3. Обратная теорема:

Если числа m и n такие, что m + n = -p, mn = q, то

m и n — корни уравнения х2 + px + q = 0

а) решения возведенных квадратных уравнений «подбором»?

х1 + х2 = 2, х1 · х2 = -3 х1 = 3, х2 = -1.

б) решение уравнений ах2 + bх + с = 0, где

@ Формулировка и доказательство теоремы Виета для сводного квадратного уравнения учащиеся обычно воспринимают достаточно легко. Единственное, в чем часто ошибаются, — это запись значения суммы корней квадратного уравнения: вместо числа, противоположного второму коэффициенту, ученики часто указывают второй коэффициент. Чтобы предупредить эти ошибки, достаточно решить устные упражнения.

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида приходится довольно легко через теорему Виета для сводного квадратного уравнения.

· Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, обычно не является обязательным для всех учащихся: его предлагают для самостоятельной работы учащимся, имеющим высокий уровень знаний и умений.

Последний пункт плана показывает практическую значимость изученных теорем: на этом этапе изучения материала следует продемонстрировать учащимся применение теоремы Виета и обратной к ней теоремы для отыскания корней сводного квадратного уравнения с целыми коэффициентами без вычисления дискриминанта (подбором). Комментируя действия, сопровождающие поиск корней сводного квадратного уравнения с целыми коэффициентами с использованием изученных теорем, следует показать учащимся последовательность рассуждений, которая поможет найти корни «методом подбора»: сначала записать, чему равна сумма и произведение корней, затем определить, какие знаки корней (по знаку произведения). Если они одинаковые, то модуль суммы корней равен сумме модулей корней, если они разные, — модуль суммы корней равен разности модулей корней; в конце раскладываем модуль свободного члена на множители, удовлетворяющие предварительное условие.

VI. Формирование умений

Выполнение устных упражнений

1. Составьте сведено квадратное уравнение, в котором сумма и произведение q его корней равны:

а) р = — 5; q = 4; б) г = 15; q = -6; в) р = — 5; q = 0; г) p = 0; q = -2.

2. Один из корней квадратного уравнения х2 + 4х — 21 = 0 равен — 7. Найдите второй корень.

(Решить задачу разными способами.)

Выполнение письменных упражнений

Для реализации дидактической цели урока следует решить задачи следующего содержания:

1. Являются ли данные числа корнями квадратного уравнения с заданными коэффициентами.

Являются ли данные числа корнями уравнения?

а) х2 — 2,5 х + 1 = 0, числа 2 и 0,5; б) х2 + 20х — 125 = 0, числа -5 и 25.

2. Нахождение корней квадратного уравнения и выполнение проверки по теореме, обратной теореме Виета.

1) Найдите по формуле корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) х2 — 13х + 40 = 0;

2) Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

б) 3х2 — 4х — 4 = 0;

в) 2х2 + 7х — 6 = 0;

г) 2х2 + 9х + 8 = 0.

3. Нахождение суммы и произведения корней квадратного уравнения.

1) Каждое из уравнений имеет корни. Найдите сумму и произведение этих корней:

а) 3х2 — 4х + 1 = 0;

б) 10х2 + х — 3 = 0.

2) Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х2 — 37х + 27 = 0;

б) у2 + 41у — 371 = 0;

д) 2х2 — 9х — 10 = 0;

есть) 5х2 + 12х + 7 = 0;

4. Нахождение корней квадратного уравнения с использованием теоремы, обратной теореме Виета.

1) Найдите корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета:

в) х2 + 7х + 12 = 0;

есть) х2 — 8х — 9 = 0;

ы) х2 + 2х — 15 = 0.

2) Найдите подбором корни уравнения:

а) х2 — 9х + 20 = 0;

б) х2 + 11х — 12 = 0;

г) х2 — 19х + 88 = 0.

5. Нахождение неизвестного корня и неизвестного коэффициента квадратного уравнения, если известен второй корень и два коэффициенты квадратного уравнения.

1) Найдите свободный член q сводного квадратного уравнения х2 + px + q = 0, если его корнями являются числа: 5; — 3; -2; -6.

2) В уравнении х2 + рх — 35 = 0 один из корней уравнения равен 7. Найдите второй корень и коэффициент р.

6. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) Докажите, что уравнения 7х2 + bх — 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корни.

2) Найдите пропущенное число:

VII. Итоги урока

В любом из случаев правильно выполнено действие?

1) Сумма корней уравнения 5х2 — 9х — 2 = 0 равна: а) -9; б) 1,8; г) -1,8; д) ;

2) произведение корней уравнения 5х2 + 3x — 2 = 0 равна: а) -2; б) 2; в) 0,4; г) другой ответ.

VIII. Домашнее задание

1. Изучить содержание и схемы доказательства теоремы Виета и обратной теоремы.

2. Решить упражнения на применение изученных теорем.

3. На повторение: решить квадратные уравнения по формуле.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока математики в классе- комплекте по теме: в 6 классе «Применение распределительного свойства умножения» (повторение), в 5-м классе «Упрощение выражений»(изучение нового материала)

Конспект разработан для проведения урока математики в классе- комплекте, где сидят учащиеся 5 и 6 классов.

Конспект урока географии 6 класс для изучения темы «Горные породы»

Урок позволяет изучить тему «Горные породы» в курсе географии 6 класса. Необычность этой разработки состоит в том, что в ней на протяжении почти всех этапов звучит имя великого дея.

Конспект урока по геометрии в 8классе по теме «Теорема Пифагора» .

Данный урок — урок новых знаний с использованием ЭОР.

Конспект урока в 5 классе.Повторение по теме «Имя прилагательное»

Урок -повторение за курс начальной школы.

Конспект урока в 11 классе по МХК. Тема урока: «Мир реальности и «мир новой реальности»

Тема урока: «Мир реальности и «мир новой реальности» Новая тема (2 часа) в I разделе рабочей программы (тема 5) «Предчувствие мировых катаклизмов. Основные течения в европейской художественной культу.

Конспект урока музыки 6 класс III четверть Тема четверти: «В чем сила музыки?»

Тема урока: «Красота природы и правда отображения ее в музыке»Цель: показать связь музыки с природой, силу музыкального воплощения природы и правдивого ее отображения в музыкальных произведениях.

Конспект урока по алгебре 9 кл на тему «Построение графика квадратичной функции»

Урок изучения нового материалаСформировать умение строить график квадратичной функции, применяя алгоритм построения графика;Тренировать универсальные учебные действия;Сформировать мотивацию к уч.

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 8 класс Мерзляк, Полонский, Рабинович Вентана-Граф Задание: Вариант 1

1. Решите уравнение:

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна -10, а произведение — числу 8.

3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

4. Число -3 является корнем уравнения 2x^2+7x+с=0. Найдите значение с и второй корень уравнения.

5. При каком значении а уравнение Зx^2-6x+а=0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x_1 и x_2 — корни уравнения x^2+12x+6=0. Не решая уравнения, найдите значение выражения (x_1)^2+(x_2)^2.

Разработка урока по алгебре на тему «Теорема Виета», 8 класс.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры по теме «Теорема Виета».

Учебник : алгебра 8, А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

а Гужевникова Оксана Дмитриевна, учитель

Тип урока: Урок усвоения новых знаний.

установить связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, изучить теорему Виета, научить применять теорему и обратную ей в различных ситуациях при решении квадратных уравнений.

Планируемые образовательные результаты:

Предметные: знать назначение теоремы Виета, формулы для полного квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения, уметь использовать теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений.

Личностные: формирование ответственного отношения к успешной учебной деятельности.

Регулятивные : уметь прогнозировать ситуацию, планировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль и самооценку.

Коммуникативные: уметь взаимодействовать с другими учащимися, слушать, вести диалог, аргументировать свои суждения.

Познавательные : анализировать ситуацию, делать выводы, обобщать материал.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку.

Обобщить знания по предыдущей теме:

Какое уравнение называется квадратным?

Какое уравнение называют неполным? Приведенным?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Способы решения квадратного уравнения?

От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Сколько корней имеет каждое из предложенных уравнений?

Выпишите в один столбик полные квадратные уравнения, во второй столбик приведенные квадратные уравнения.

1) х² — 9х + 8= 0 6) х² + 5х – 1 = 0

2) 4х² — 5х + 1 = 0 7) 3х +х² = — 9

3) 7х² — 14 = 0 8) х 2 + х — 20 = 0

4) 8 + х 2 _ 4х = 0 9) х 2 + х — 72 = 0

5) 5х 2 + 3х+ 1 = 0 10) -2х² + 6х = 0

3. Исследовательская работа (в прах)

Решите уравнения и заполните таблицу

Выводы по таблице:

Если уравнение приведенное, то

Если уравнение полное, то

Посмотрим результаты вашего анализа.

Назовите вид квадратных уравнений, записанных в таблице.

Рассмотрим сначала приведенные квадратные уравнения.

Какую закономерность вы заметили ?

Какое утверждение можно сформулировать?

(Сумма корней приведенных уравнений равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком Произведение корней приведенных квадратных уравнений равно свободному члену.)

Формулировка прямой теоремы Виета и её доказательство

Верна также и обратная теорема Виета:

(желающие дома самостоятельно могут доказать обратную теорему)

— А если будет дано квадратное уравнение в общем виде, то как эту зависимость мы сможем записать?

Исторические сведения. Сообщение делает ученик.

Практическое применение полученных знаний:

Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения числа:

х 2 -8х+12=0 числа 2 и 6;

х 2 +х-56 =0 числа -7 и 8;

х 2 -13х+42=0 числа 5 и 8

х 2 -20х-99=0 числа 9 и 11.

Определите знаки корней уравнения:

1) х 2 + 5х — 6 = 0

Подберите корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

х 2 – 17 х – 18 = 0

х 2 + 17 х – 18 = 0

х 2 + 11 х + 18 = 0

1. Подбором найти корни уравнения:

2. Составить квадратное уравнение, если

Решение проверить, используя обратную связь. Самопроверка, оценивается « + » или « – ».

5 + , оценка 5
4 + , оценка 4
3 + , оценка 3
2 + , незачет.

– Сформулируйте теорему Виета.
– Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
– В каких случаях применяют указанные теоремы?

Для нахождения корней квадратного уравнения, если корни существуют.

Для определения знаков корней квадратного уравнения, если корни существуют.

Для проверки решения квадратного уравнения, зная его корни.

Для составления приведенного квадратного уравнения, если заданы корни.

Домашняя работа : стр. 170- 172 ( п.21) ответить на контрольные вопросы.

Выполнить № 708,710,712, 714.

Краткое описание документа:

Первый урок данной темы. Учащиеся установливают связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами,знакомятся с теоремой Виета, рассматривают ее применение и применение обратной ей теоремы в различных ситуациях при решении квадратных уравнений.Учатся прогнозировать ситуацию, планировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль и самооценку,анализировать ситуацию, делать выводы .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 318 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

§ 21. Теорема Виета

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 31.01.2019
• 314
• 2

• 31.01.2019
• 191
• 0

• 31.01.2019
• 177
• 0

• 29.01.2019
• 1840
• 121

• 27.01.2019
• 756
• 0

• 25.01.2019
• 7588
• 245

• 25.01.2019
• 490
• 1

• 24.01.2019
• 702
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.02.2019 1229
• DOCX 26.4 кбайт
• 106 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гужевникова Оксана Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 8417
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.