Квадратные уравнения теорема виета конспект

Конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Нахождение корней квадратных уравнений по теореме Виета»

Данная разработка для проведения урока закрепления знаний, умений, навыков по теме «Нахождение корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета». Урок с применением компьютеров.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Нахождение корней квадратных уравнений по теореме Виета»»

Учитель: Шайдуко Ольга Петровна. МОУ- ООШ села Песчанка Аткарского района Саратовской области.

Предмет: алгебра 8 класс.

Учебный план 5 часов в неделю, из них 2 ч на геометрию, 3 ч на алгебру

Тема: «Нахождение корней квадратных уравнений с помощью теоремы Виета»

Тип урока: урок закрепления знаний, умений, навыков.

Цели урока: дидактические: закреплять умение решать приведенные квадратные уравнения с помощью теоремы Виета, формировать вычислительные навыки при решении квадратных уравнений, повторить выполнение действий сложения, умножения, деления с положительными и отрицательными числами, проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков;

развивающие: развитие мыслительной деятельности: умение анализировать, развитие речи учащихся;

воспитательные: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, показать, что понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимосвязи, прививать аккуратность в оформлении записей в тетради

Средства наглядности: компьютеры, проектор, решенные домашние примеры для проверки, карточки с заданием, приложения с проверкой ответов.

Конспект урока по алгебре по теме: «Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета» (8класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета

Цель: Применение теоремы Виета и ей обратной теоремы при нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях, при решении заданий из вариантов ЕГЭ.

Воспитательные задачи: Способствовать формированию умений, применять приемы сравнений, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей. Побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: плакаты, компьютер, экран, видеопроектор.

I. Вводная беседа. Устные упражнения (5 мин.)

Сегодня на уроке мы с вами вместе подведем итог, как важно применение теоремы Виета. В каких упражнениях применяется теорема и как важно ее знать и применять.

Учащиеся формулируют теорему Виета и ей обратную теорему. У доски два ученика записывают формулы теоремы Виета для приведенного и полного квадратных уравнений:

– формулы для полного квадратного уравнения;

– формулы для приведенного квадратного уравнения;

Трое учащихся решают на дополнительных досках индивидуальные задания.

Решите уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

II. Устные упражнения (5 мин.)

Затем с учащимися решаем устные упражнения:

Найдите корни уравнения:

3. Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a + b + c = 0,

То Используя это свойство, решите уравнения:

4. Теорема Виета применяется при нахождении суммы и произведения корней. Покажите, как это выглядит. Перед вами уравнения:

У какого из данных уравнений:

1. Сумма корней равна 6, а произведение – 16?
2. Корни равны?
3. Один из корней уравнения равен 6?
4. Каждый из корней на 2 больше, чем корни уравнения ? Ответ обосновать.

III. Лабораторная работа (3 мин.)

Учащимся предлагается выполнить лабораторную работу.

Составьте квадратные уравнения, которые:

• не имеют корней;
• имеет один из корней, равный 0;
• имеет два корня, равных по модулю, но противоположных по знаку;
• имело бы один корень;
• сумма коэффициентов уравнения равна 0.

Учащиеся выполняют это задание по группам (4–5 учащихся в группе).

Пример лабораторной работы:

IV. Работа с таблицей (3 мин.)

Выполнив лабораторную работу, три группы озвучивают свою лабораторную работу, а остальные группы сдают лабораторные работы на плакатах на проверку (2 мин.).

Один из учащихся заранее готовит презентацию об исследовании знаков в приведенных квадратных уравнениях.

Все учащиеся работают с таблицей и отвечают на вопросы о знаках в квадратных уравнениях:

1. Когда корни квадратного уравнения имеют одинаковые знаки?
2. Когда оба корня положительные, отрицательные?
3. Когда корни имеют разные знаки?
4. Когда больший по модулю корень отрицателен?
5. Когда больший по модулю корень положителен?

Сформулируйте выводы о знаках корней квадратных уравнений.

V. Тренировочные упражнения. Работа у доски (23 мин.)

Следующий этап урока: двое учащихся решают у доски задания о нахождении неизвестных коэффициентов в квадратных уравнениях.

1. В уравнении один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р . Ответ:

2. Один из корней уравнения равен 12,5. Найдите другой корень уравнения и коэффициент с . Ответ:

Такого вида уравнения часто встречаются на экзаменах.

Затем учащимся предлагается решить 2 уравнения самостоятельно с последующей проверкой.

1. Разность корней квадратного уравнения равна 2. Найдите с .

2. Разность корней квадратного уравнения равна 6. Найдите с .

Использование теоремы Виета дает возможность решать более сложные задания.

Трое учащихся решают задания у доски, комментируя и объясняя ход решения:

1. Один из корней уравнения равен 8. Найдите другой корень и коэффициент в .

Ответ: .

2. Один из корней уравнения равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с .

Ответ: .

3. В уравнении квадратов корней равна . Найдите с . Ответ: с = 9.

В заключение урока подводим итоги. Учащиеся формулируют применение теоремы Виета.

Теорема Виета применяется:

• при нахождении суммы и произведения корней квадратных уравнений;
• при составлении квадратных уравнений;
• при решении уравнений методом подбора;
• при нахождении коэффициентов в уравнении, свободного члена;
• при сравнении знаков коэффициентов в квадратном уравнении.

Один из учащихся рассказывает стихотворение.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема Виета.
Что проще скажи постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова!
В числителе с , в знаменателе а ,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта – что за беда?!
В числителе в , в знаменателе а .

Домашнее задание: № 645, № 667, № 671 из учебника «Алгебра 8», автор Макарычев Ю. Н.

Учитель выставляет оценки за урок, благодарит учащихся за работу на уроке.

Теорема Виета
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: Теорема Виета

1. « Открыть» зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами; научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений;
2. Развивать творческое мышление учащихся и кругозор учащихся;
3. Воспитание познавательного интереса к учебному предмету математика.

1. приемы технологии УДЕ;
2. презентация Power Point;
3. таблицы;
4. средства компьютерной технологии;
5. интерактивная доска.

I . Проверка домашнего задания и постановка проблемы.

— Дома вы должны были заполнить таблицу. Давайте проверим, как вы справились.

(Под диктовку учащихся заполняется таблица на доске)

II.I «Открытие» нового знания

— Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнений. Какое предположение можно сделать? Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и запишите его.

II.II. Историческая справка.

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была всего лишь его увлечением, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов.

В 1591 году он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, что дало возможность записать общими формулами корни уравнения, а также его свойства.

Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.

II.III.Доказательство теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

Наша с вами задача доказать, что эти соотношения выполняются для всех приведенных квадратных уравнений. Итак, запишем в тетради формулировку и доказательство теоремы Виета

Теорема, обратная теореме Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 +рх+q=0 равна второму коэффициенту взятому с противоположным знаком (-р), а произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену (q ).

Дано: х 1 и х 2 – корни уравнения

Доказать: х 1 +х 2 = -р

Док-во . Составим квадратное уравнение вида (I), которое имеет корни х 1 и х 2 :

х-х 1 =0,

х 2 -х 1 х-х 2 х+х 1 х 2 =0,

х 2 -(х 1 +х 2 )х+х 1 х 2 =0, (II)

Приравнивая соответствующие коэффициенты выведенного уравнения (II) и исходного уравнения (I), мы находим доказываемые соотношения (III) и (IV):

р= — (х 1 +х 2 ), или х 1 +х 2 = — р

Если в квадратном уравнении второй коэффициент ( р ) противоположен сумме некоторых двух чисел x 1 и x 2 , а свободный член ( q ) равен произведению тех же чисел, то числа x 1 и x 2 являются корнями данного квадратного уравнения .

Дано: х 1 и х 2 – числа, такие что

р= -(х 1 +х 2 ), q=х 1* х 2

Доказать: х 1 и х 2 – корни уравнения

Док-во. Согласно условию теоремы напишем квадратное уравнение (II):

х 2 -(х 1 +х 2 )х+х 1 х 2 =0 (II)

Подставим х 1 , вместо х в уравнение (II),

х 2 -(х 1 +х 2 )х 1 +х 1 х 2 ?0

х 2 1 -х 2 1 +х 1 х 2 -х 1 х 2 =0

Значит, х 1 — корень уравнения (II).

Подставим х 2 вместо х в уравнение (II).

х 2 2 — (х 1 +х 2 ) х 2 + х 1 х 2 = 0

х 2 2 – х 1 х 2 + х 2 2 + х 1 х 2 = 0

Следовательно, х 1 и х 2 – корни уравнения (II).

III Отработка полученных знаний

№1. а) Проверить двойную таблицу сумм и произведений однозначных положительных чисел (рис.1).

Составим квадратное уравнение с корнями, указанными в одной из клеток этой таблицы; например, в пересечении столбца x 2 = 5 и строки x 1 = 4 мы находим два числа. Это означает:

— (a + b) = — (4 + 5) = -9 = p, 4 * 5 = 20 = q.

x 2 – px + q = 0

x 2