Квадратные уравнения в древней индии

Так как левая часть обращается в квадрат, то:

Брахмагупта еще не знал, что квадратный корень может иметь два значения – положительное и отрицательное – и что, соответственно, у квадратного уравнения также может быть два корня.

Однако математик IX в. Магавира уже знал не только о двузначности квадратного корня, но и о двух решениях квадратного уравнения: а ведь ни египтяне, ни вавилоняне, ни греки (даже Диофант) этого не заметили.

Вот одна из задач Магавиры, в которой проявляется эта двузначность: «Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат одной девятой остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала».

Сумеете ли Вы решить задачу?

Пусть в стае павлинов. Тогда, по условию,

Преобразуя это выражение, приходим к уравнению:

корни которого можно вычислить по формуле:

Ответом в задаче служит только , т. к. число павлинов не может быть дробным.

Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения, при которых оно имеет два положительных корня. Знаете ли вы, когда это бывает?

Хороший современный школьник, знающий теорему Виета, наверное, ответил бы на вопрос так: два действительных числа оба больше нуля тогда и только тогда, когда и их сумма, и их произведение больше нуля. Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения

равна , а их произведение (). Таким образом, чтобы оба корня были больше нуля, нужно, чтобы коэффициенты при и имели разные знаки, а коэффициент при и свободный член – одинаковые. Следует отметить, что при этих условиях уравнение всегда имеет два различных действительных корня: , а значит, .

Если, на манер индийских математиков, мы рассматриваем квадратное уравнение в виде:

тогда условия, при которых у уравнения два положительных корня, выписываются совсем просто: числа и должны быть отрицательными.

Вот одна из задач, составленных Бхаскарой. Прежде, чем находить решение, попробуйте определить, сколько их.

«На две партии разбившись,

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?»

Пусть в стае обезьян. Тогда, по условию,

Преобразуя выражение, приходим к уравнению

Согласно вышеприведенному критерию, у этого уравнения два положительных корня.

Сами корни можно вычислить по формуле

На европейскую алгебру непосредственное влияние оказала арабская математика и, прежде всего, основополагающий трактат «Краткая книга об исчислении и . и – две операции, которые используются при решении уравнений: (дословно «восполнение») – это перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов; («противопоставление») – это сокращение равных членов в обеих частях (обе операции встречаются уже у Диофанта). Слово «алгебра» произошло от термина , также как слово «алгоритм» – от имени .

Арабы, в отличие от индийцев, не рассматривали отрицательных чисел. С помощью и приводил уравнения к одной из шести форм, в которых обе части содержат лишь положительные члены, и рассматривал каждую из этих форм отдельно. При этом все квадратные уравнения разбиваются на шесть классов, каждый из которых соответствует одной из этих форм (везде ):

Алгебраических обозначений не было, все записывалось словами; например, четвертую форму ал-Хорезми обозначал так: «квадраты и корни равны числу». Правила решения уравнения в каждой из форм формулировались для случая, когда коэффициент при старшем члене равен 1; соответственно, в противном случае надо было поделить обе части уравнения на . Среди корней рассматривались только положительные. Ал-Хорезми установил, сколько корней имеет уравнение каждого из шести классов, и при каких условиях. А вы можете это сделать?

Нетрудно видеть, что уравнения первых трех классов всегда имеют единственный положительный корень, равный: 1) /; 2) 3) .

Для рассмотрения последних трех классов будем считать для простоты, что , и перепишем уравнения в виде:

В четвертом классе в пятом ; в шестом , . В четвертом и шестом классах , поэтому дискриминант , и существует два действительных корня. По теореме Виета, произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Таким образом, уравнения этих классов имеют единственный положительный корень.

В пятом классе дискриминант может быть как больше, так и меньше нуля, – в зависимости от этого корни существуют либо нет. Если они существуют, то, по теореме Виета, и их сумма , и произведение больше нуля, а значит, оба корня тоже больше нуля. Итак, в пятом классе существует либо два положительных корня, либо один, либо ни одного – в зависимости от знака дискриминанта, то есть от того, что больше, или .

Поскольку у ал-Хорезми не было алгебраических обозначений, он формулировал правила нахождения корней для каждого из его классов на примере конкретных уравнений; тем не менее, правила носили общий характер. Обоснование проводилось с помощью преобразований геометрических фигур, что напоминало античную геометрическую алгебру. Например, вот как обосновывается решение уравнения четвертого класса:

Рисуется квадрат со стороной , на каждой из четырех его сторон строится прямоугольник со сторонами и 10/4, а в углах – четыре квадрата со сторонами 10/4. Тогда площадь центрального квадрата будет равняться , площадь четырех прямоугольников , площадь четырех угловых квадратов . Если площадь центрального квадрата вместе с четырьмя прямоугольниками равна 39, то площадь всего большого квадрата равна , а значит, его сторона равна 8. Зная это, можно найти:

Ясно, что данный ход решения не зависит от конкретных чисел. Пусть уравнение имеет вид:

Тогда каждый из четырех прямоугольников, имеющих вместе площадь должен иметь стороны и каждый угловой квадрат будет иметь сторону площадь а все четыре вместе – площадь Если площадь центрального квадрата и четырех прямоугольников равна то площадь всего большого квадрата равна его сторона а сторона центрального квадрата что соответствует формуле единственного положительного корня квадратного уравнения

В дальнейшем арабские математики для обоснования правил решения квадратных уравнений использовали и другие геометрические методы, в т. ч. восходящие к античному приложению площадей (которое, впрочем, представляло аналог уравнениям 4-го и 5-го, но не 6-го класса). Так, например, поступал Омар Хайям, с этой целью приводивший решение задачи о приложении с недостатком в простейшей форме, когда недостаток является квадратом: построить на данном отрезке два прямоугольника равной высоты, один из которых квадрат, а другой равновелик данному квадрату, т. е. при данных отрезках и найти построением отрезок такой, что . Ход решения, в общем, совпадает с евклидовым; Хайям в явном виде указывает, как строить квадрат, равный разности площадей квадратов со сторонами и : а именно, для этого надо построить прямоугольный треугольник с гипотенузой и вторым катетом . Квадрат, построенный на другом катете, и есть искомый.

Квадратные уравнения в Индии

Способов решения квадратных уравнений

Автор: Реутова Екатерина Викторовна, 11 кл.

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

Содержание

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 — X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х. Разность между ними 2х.

(10 + х)(10 — х) = 96

100 — х 2 = 96

х 2 — 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у 2 — 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

Бхаскара пишет под видом:

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

Уравнения в Индии

1.3 Уравнения в Индии

Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:

aх² + bx = c, где a > 0

В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков

2.1 Основные понятия

Квадратным уравнением называют уравнения вида

где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.

Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.

Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Полное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.

Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:

1) ax² = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).

2) ax² + bx = 0 (имеет два корня x₁ = 0 и x₂ = —)

Если – 2 + 6 = 0

Ответ: уравнение не имеет корней.

Если –> 0, то x_1,2 = ±

х 2 =±

х_1,2=±

Ответ: х_1,2=±

Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b² — 4ac). Обычно выражение b² — 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax² +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax² + bx + c)

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x_1,2 =

x₁ =

x₂ =

В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.

1) Если D 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:

x_1,2 =

2.2 Формулы четного коэффициента при х

Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

x_1,2 =

Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.

В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 коэффициент b имеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:

x_1,2=

=

Итак, корни квадратного уравнения ax² + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:

x_1,2=

5х 2 — 2х + 1 = 0

x_1,2=

Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.

В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:

x_1,2=-k ±.

х_1,2 = 2 ±

2.3 Теорема Виета

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета: Чтобы числа x₁ и x₂ являлись корнями уравнения: ax² + bx + c = 0

необходимо и достаточно выполнения равенства

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения

1. Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.