Квадратные уравнения в индии картинки

Так как левая часть обращается в квадрат, то:

Брахмагупта еще не знал, что квадратный корень может иметь два значения – положительное и отрицательное – и что, соответственно, у квадратного уравнения также может быть два корня.

Однако математик IX в. Магавира уже знал не только о двузначности квадратного корня, но и о двух решениях квадратного уравнения: а ведь ни египтяне, ни вавилоняне, ни греки (даже Диофант) этого не заметили.

Вот одна из задач Магавиры, в которой проявляется эта двузначность: «Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат одной девятой остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала».

Сумеете ли Вы решить задачу?

Пусть в стае павлинов. Тогда, по условию,

Преобразуя это выражение, приходим к уравнению:

корни которого можно вычислить по формуле:

Ответом в задаче служит только , т. к. число павлинов не может быть дробным.

Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения, при которых оно имеет два положительных корня. Знаете ли вы, когда это бывает?

Хороший современный школьник, знающий теорему Виета, наверное, ответил бы на вопрос так: два действительных числа оба больше нуля тогда и только тогда, когда и их сумма, и их произведение больше нуля. Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения

равна , а их произведение (). Таким образом, чтобы оба корня были больше нуля, нужно, чтобы коэффициенты при и имели разные знаки, а коэффициент при и свободный член – одинаковые. Следует отметить, что при этих условиях уравнение всегда имеет два различных действительных корня: , а значит, .

Если, на манер индийских математиков, мы рассматриваем квадратное уравнение в виде:

тогда условия, при которых у уравнения два положительных корня, выписываются совсем просто: числа и должны быть отрицательными.

Вот одна из задач, составленных Бхаскарой. Прежде, чем находить решение, попробуйте определить, сколько их.

«На две партии разбившись,

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?»

Пусть в стае обезьян. Тогда, по условию,

Преобразуя выражение, приходим к уравнению

Согласно вышеприведенному критерию, у этого уравнения два положительных корня.

Сами корни можно вычислить по формуле

На европейскую алгебру непосредственное влияние оказала арабская математика и, прежде всего, основополагающий трактат «Краткая книга об исчислении и . и – две операции, которые используются при решении уравнений: (дословно «восполнение») – это перенос вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов; («противопоставление») – это сокращение равных членов в обеих частях (обе операции встречаются уже у Диофанта). Слово «алгебра» произошло от термина , также как слово «алгоритм» – от имени .

Арабы, в отличие от индийцев, не рассматривали отрицательных чисел. С помощью и приводил уравнения к одной из шести форм, в которых обе части содержат лишь положительные члены, и рассматривал каждую из этих форм отдельно. При этом все квадратные уравнения разбиваются на шесть классов, каждый из которых соответствует одной из этих форм (везде ):

Алгебраических обозначений не было, все записывалось словами; например, четвертую форму ал-Хорезми обозначал так: «квадраты и корни равны числу». Правила решения уравнения в каждой из форм формулировались для случая, когда коэффициент при старшем члене равен 1; соответственно, в противном случае надо было поделить обе части уравнения на . Среди корней рассматривались только положительные. Ал-Хорезми установил, сколько корней имеет уравнение каждого из шести классов, и при каких условиях. А вы можете это сделать?

Нетрудно видеть, что уравнения первых трех классов всегда имеют единственный положительный корень, равный: 1) /; 2) 3) .

Для рассмотрения последних трех классов будем считать для простоты, что , и перепишем уравнения в виде:

В четвертом классе в пятом ; в шестом , . В четвертом и шестом классах , поэтому дискриминант , и существует два действительных корня. По теореме Виета, произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Таким образом, уравнения этих классов имеют единственный положительный корень.

В пятом классе дискриминант может быть как больше, так и меньше нуля, – в зависимости от этого корни существуют либо нет. Если они существуют, то, по теореме Виета, и их сумма , и произведение больше нуля, а значит, оба корня тоже больше нуля. Итак, в пятом классе существует либо два положительных корня, либо один, либо ни одного – в зависимости от знака дискриминанта, то есть от того, что больше, или .

Поскольку у ал-Хорезми не было алгебраических обозначений, он формулировал правила нахождения корней для каждого из его классов на примере конкретных уравнений; тем не менее, правила носили общий характер. Обоснование проводилось с помощью преобразований геометрических фигур, что напоминало античную геометрическую алгебру. Например, вот как обосновывается решение уравнения четвертого класса:

Рисуется квадрат со стороной , на каждой из четырех его сторон строится прямоугольник со сторонами и 10/4, а в углах – четыре квадрата со сторонами 10/4. Тогда площадь центрального квадрата будет равняться , площадь четырех прямоугольников , площадь четырех угловых квадратов . Если площадь центрального квадрата вместе с четырьмя прямоугольниками равна 39, то площадь всего большого квадрата равна , а значит, его сторона равна 8. Зная это, можно найти:

Ясно, что данный ход решения не зависит от конкретных чисел. Пусть уравнение имеет вид:

Тогда каждый из четырех прямоугольников, имеющих вместе площадь должен иметь стороны и каждый угловой квадрат будет иметь сторону площадь а все четыре вместе – площадь Если площадь центрального квадрата и четырех прямоугольников равна то площадь всего большого квадрата равна его сторона а сторона центрального квадрата что соответствует формуле единственного положительного корня квадратного уравнения

В дальнейшем арабские математики для обоснования правил решения квадратных уравнений использовали и другие геометрические методы, в т. ч. восходящие к античному приложению площадей (которое, впрочем, представляло аналог уравнениям 4-го и 5-го, но не 6-го класса). Так, например, поступал Омар Хайям, с этой целью приводивший решение задачи о приложении с недостатком в простейшей форме, когда недостаток является квадратом: построить на данном отрезке два прямоугольника равной высоты, один из которых квадрат, а другой равновелик данному квадрату, т. е. при данных отрезках и найти построением отрезок такой, что . Ход решения, в общем, совпадает с евклидовым; Хайям в явном виде указывает, как строить квадрат, равный разности площадей квадратов со сторонами и : а именно, для этого надо построить прямоугольный треугольник с гипотенузой и вторым катетом . Квадрат, построенный на другом катете, и есть искомый.

Квадратные уравнения в Индии

Способов решения квадратных уравнений

Автор: Реутова Екатерина Викторовна, 11 кл.

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

Содержание

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

История развития квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 — X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х. Разность между ними 2х.

(10 + х)(10 — х) = 96

100 — х 2 = 96

х 2 — 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у 2 — 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

Бхаскара пишет под видом:

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

Квадратные уравнения Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Кв. уравнения в Индии. Кв. уравнения в Индии. Квадратные уравнения. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемwww.public-liceum.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Квадратные уравнения Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Кв. уравнения в Индии. Кв. уравнения в Индии. Квадратные уравнения.» — Транскрипт:

1 Квадратные уравнения Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Кв. уравнения в Индии. Кв. уравнения в Индии. Квадратные уравнения в Европе в.в. Квадратные уравнения в Европе в.в. Определение. Неполные кв. уравнения. Неполные кв. уравнения. Полное кв. уравнение. Полное кв. уравнение. Теорема Виета. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Кв. уравнения с комплексными переменными. Кв. уравнения с комплексными переменными. Решение кв. уравнений с помощью графиков. Решение кв. уравнений с помощью графиков. Разложение кв. трехчлена на множители. Разложение кв. трехчлена на множители. Применение кв. уравнений. Применение кв. уравнений. Практикум. Заключение.

2 Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Главное меню Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Главное меню Главное меню Главное меню Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

3 Кв. уравнения в Индии. Главное меню Кв. уравнения в Индии. Главное меню Главное меню Главное меню Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи. Задача знаменитого индийского математика Бхаскары: Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекаясь. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А 12 по лианам. Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?

4 Квадратные уравнения в Европе в.в. Главное меню Главное меню Главное меню Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0, было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

5 Определение Главное меню Определение Главное менюГлавное менюГлавное меню Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c — действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если a ¹ 1, то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия:a -первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член. Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня. Используя обозначение D = b2- 4ac, можно переписать формулу в виде Если b = 2k, то формула принимает вид: Итак, Итак, Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент, b — четное число. где k = b / 2. Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент, b — четное число. 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня. Используя обозначение D = b2- 4ac, можно переписать формулу в виде Если b = 2k, то формула принимает вид: Итак, Итак, Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент, b — четное число. где k = b / 2. Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент, b — четное число.»>

6 Неполные кв. уравнения Главное меню Неполные кв. уравнения Главное менюГлавное менюГлавное меню Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители. : Способы решения неполных квадратных уравнений: 1) 1) c = 0, то уравнение примет вид ax2+bx=0. x( ax + b ) = 0, x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a. 2) b = 0, то уравнение примет вид примет вид ax2 + c = 0, ax2 + c = 0, x2 = -c : a, x2 = -c : a, x1 = или x2 = — x1 = или x2 = — 3) b = 0 и c = 0, то уравнение примет вид ax2 = 0, x =0.

7 Полное квадратное уравнение Главное меню Полное квадратное уравнение Главное меню Главное меню Главное меню Если в квадратном уравнении второй коэффициент и свободный член не равны нулю, то такое уравнение называют полным квадратным уравнением.

8 Теорема Виета Главное меню Теорема Виета Главное меню Главное меню Главное меню Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член — буквой q: Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член — буквой q: Дискриминант этого уравнения D равен Пусть D>0.Тогда это уравнение имеет два корня: и и Найдём сумму и произведение корней: 0.Тогда это уравнение имеет два корня: и и Найдём сумму и произведение корней:»>

9 Теорема, обратная теореме Виета. Главное меню Теорема, обратная теореме Виета. Главное менюГлавное менюГлавное меню Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения Доказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнение можно записать в виде можно записать в виде Подставив вместо x число m, получим: Подставив вместо x число m, получим: Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения: По праву в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова: В числителе С, в знаменателе А, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда- В числителе b, в знаменателе a.

10 Кв. уравнения с комплексными переменными Главное меню Кв. уравнения с комплексными переменными Главное меню Главное меню Главное меню Сначала рассмотрим простейшее кв. уравнение где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение: На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень. Задача1. Найти комплексные корни если а=-1 Задача1. Найти комплексные корни если а=-1 1) Т.к. =-1, то это уравнение можно записать в виде, или. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем Ответ: Ответ: 1)Имеет один корень z=0, если а=0; 2)Имеет два действительных корня, если а>0. 3)Не имеет действительных корней, если a 0. 3)Не имеет действительных корней, если a»>

11 Решение кв. уравнений с помощью графиков. Главное меню Решение кв. уравнений с помощью графиков. Главное меню Главное меню Главное меню Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например Решим уравнение Для этого построим два графика(рис.1): X Y )y=x2 2)y=x+1 1)y=x 2, квадратичная функция, график парабола. D(f): 2)y=x+1, линейная функция, график прямая. D(f): X01 Y012 Рисунок 1 Ответ: Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения. Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня. Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень. Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

12 Разложение кв. трехчлена на множители Главное меню Разложение кв. трехчлена на множители Главное меню Главное меню Главное меню Многочлен вида ax2+bx+c, где a,b,c — некоторые числа, x переменная, называется квадратным трёхчленом. Многочлен вида ax2+bx+c, где a,b,c — некоторые числа, x переменная, называется квадратным трёхчленом. Пример 3×2+7x+9 Пример 3×2+7x+9 Квадратный трехчлен разлагается на множители, где и корни трехчлена. Квадратный трехчлен разлагается на множители, где и корни трехчлена. Дано: — квадратный трехчлен; и -корни его Дано: — квадратный трехчлен; и -корни его Доказать: Доказать: Доказательство: Доказательство: по теореме Виета следует,

13 Применение кв. уравнений Главное меню Применение кв. уравнений Главное менюГлавное менюГлавное меню Решение квадратных уравнений широко применяется в других разделах математики: в разложении квадратного трехчлена, в исследовании квадратичной функции, в решении уравнений высших степеней, в решении текстовых задач и задач по геометрии. Некоторые уравнения высших степеней можно решить, сведя их к квадратному. 1) Иногда левую часть уравнения легко разложить на множители, из которых каждый — многочлен не выше 2-ой степени. Тогда приравнивая каждый многочлен к нулю, решаем полученные уравнения. ПРИМЕР: 2) Если уравнение имеет вид ax2n+bxn+c= 0, его можно свести к квадратному, введя новую переменную t = x. ПРИМЕР: 3) В геометрии: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Найти катеты, если один из них на 2 см. больше другого. РЕШЕНИЕ: по теореме Пифагора a2+ b2= c2 Пусть х см.-1 катет, тогда (х+2) см.-2 катет. Составим уравнение: x2+ (x+2)2= 102 Пифагор

14 Стр.1 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Неполные кв. уравнения Далее ДалееДалее

15 Стр.2 Практикум Главное меню Стр.2 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Метод выделения полного квадрата. Метод выделения полного квадрата. Далее Далее Далее

16 Стр.3 Практикум Главное меню Стр.3 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Решение кв. уравнений по формуле b 2-4ac Решение кв. уравнений по формуле b 2-4ac Далее Далее Далее

17 Стр.4 Практикум Главное меню Стр.4 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Приведённые кв. уравнения. Теорема Виета Приведённые кв. уравнения. Теорема Виета Записать приведённое кв. уравнение, имеющее корни : Записать приведённое кв. уравнение, имеющее корни : 1) 2) 1) 2) 3) 4) 3) 4) Решение Решение Воспользуемся т.Виета. Далее Далее Далее

18 Стр.5 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Решение кв. уравнений по теореме обратной т. Виета Решение кв. уравнений по теореме обратной т. Виета Далее Далее Далее 1)Составьте уравнение, если q=q= p=p= Ответ: 2)Составьте уравнение, если q=q= p=p= Ответ: 3)Составьте уравнение, если q=q= p=p= Ответ: 4)Составьте уравнение, если q=q= p=p= Ответ: 5)Составьте уравнение, если q=q= p=p= Ответ:

19 Стр.6 Практикум Главное меню Стр.6 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Решение задач с помощью кв. уравнений. Решение задач с помощью кв. уравнений. Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км. Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км. Поезд до задержки x 150 Поезд после задержки x По расписанию x 600 _____________________________________________________________________ Зная, что поезд был задержан на 1,5 часа, сост.ур ОДЗ ОДЗ Далее Далее Далее

20 Стр.7 Практикум Главное меню Стр.7 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Решение задач с помощью кв. уравнений. Решение задач с помощью кв. уравнений. Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км. Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км. Вверх по реке 10-x 35 Вверх по протоку 10-x+1 18 V течения x V притока x+1 _____________________________________________________________ Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, сост.ур ОДЗ ОДЗ Далее Далее Далее

21 Стр.8 Практикум Главное меню Стр.8 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Решение задач с помощью кв. уравнений. Решение задач с помощью кв. уравнений. Было Изменилось Стало Было Изменилось Стало Первый год x x Второй год x 200x+2x x+2x _____________________________________________________________________ Зная, что за 2 года население около 22050, сост.ур Ответ:5% Далее ДалееДалее

22 Стр.9 Практикум Главное меню Стр.9 Практикум Главное меню Главное меню Главное меню Решение кв. уравнений по формуле k2-ac. Решение кв. уравнений по формуле k2-ac. т.к. D1

23 Заключение Главное меню Заключение Главное меню Главное меню Главное меню Делая этот доклад, я открыл для себя много интересного и нового о кв. уравнениях чего не мог прочитать в учебнике. Например, я узнал о том, что ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это –кв. уравнения. В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения кв. уравнений. Делая этот доклад, я открыл для себя много интересного и нового о кв. уравнениях чего не мог прочитать в учебнике. Например, я узнал о том, что ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это –кв. уравнения. В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения кв. уравнений. Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое. Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.