Квадратные уравнения в задачах физики геометрии

Проект-участник фестиваля Гимназические чтения — 2018 по теме — «Квадратные уравнения в задачах физики и геометрии»

Карта проекта

• Класс – 8А, ФИО участников- Бобкова Екатерина, Опланчук Регина

• ФИО руководителя- Алексеева Л.В.

• Тема проекта- «Квадратные уравнения в задачах физики и геометрии», предметная область- математика и физика

• Форма проекта – поиск-исследование задач по заданной теме в курсах математики и физики, их решение, обращение к истории вопроса

• Форма представления проекта — презентационная

• Фото и видеоархив выступления — прилагается

Материалы проекта:

• Цели:

— Узнать о квадратных уравнениях в древности;

— Найти квадратные уравнения в задачах других наук;

— Узнать об отличном от обычного способе решения квадратных уравнений

• Идея проекта-исследование вопроса о том, что квадратные уравнения представляют собой инструмент для решения большого класса задач.

• Ожидаемые результаты проекта (в том числе личностные)- повторение элементов квадратного уравнения, изучение того, какими были квадратные уравнения в Древнем Вавилоне и Индии, рассказ о знаменитой задаче Ал-Хорезми, изучение квадратного уравнения у древних греков, поиск примеров задач с квадратными уравнениями в курсах физики, применения их в архитектуре и медицине, оптике и астрономии. Кроме того, формирование у учащихся умений и навыков исследовательской, поисковой и проектной деятельности; стимулирование интереса учащихся к углубленному изучению предметов и популяризация научных знаний в различных предметных областях; повышение уровня знаний учащихся в различных областях науки и техники; обмен опытом в интересах развития одаренных учащихся; общественное признание результатов ученической исследовательской деятельности.

• Краткое содержание проектной работы – по этапам 1) постановка целей и задач, 2) распределение обязанностей, 3) поиск задач из разных предметных областей, 4) систематизация материала и определение содержания работы в соответствии с заданной темой, 5) отбор фактического материала, работа с источниками информации, поиск исторического материала, 6) работа над текстом и презентацией, 7) подведение итогов.

• Материалы представления проекта — презентация

• Проектный продукт – текст выступления, презентация своей поисковой работы-историческая составляющая, примеры конкретных задач из разных предметных областей, в том числе архитектуры, оптики.

• Отзыв руководителя о проекте – положительный, достаточно успешный (призеры фестиваля), в перспективе может иметь развитие с точки зрения содержания задач и расширения предметных областей. Самым положительным моментом считаю самостоятельный выбор темы, проработка этапов работы, совместное обсуждение корректировок. Слабым звеном считаю работу по созданию презентации и работе в программе PowerPoint (работа с текстом, содержащим формулы)

Информация о подготовке, ходе и результатах гимназических чтений размещается на информационных стендах и на сайте гимназии.

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общая теория решения задач при помощи уравнений

Перед тем, как перейти к конкретным видам задач приведем сначала общую теорию для разрешения различных задач с помощью уравнений. Прежде всего к уравнениям сводят задачи в таких дисциплинах как экономика, геометрия, физика и многих других. Общий порядок для решения задач при помощи уравнений заключается в следующем:

• Все искомые нами величины из условия задачи, а также какие либо вспомогательные обозначаются удобными для нас переменными. Чаще всего этими переменными выступают последние буквы латинского алфавита.
• Используя данные в задачи числовые значения, а также словесные соотношения составляется одно или несколько уравнений (в зависимости от условия задачи).
• Разрешают полученное уравнение или их систему и выкидывают «не логичные» решения. К примеру, если надо найти площадь, то отрицательное число, очевидно, будет посторонним корнем.
• Получаем окончательный ответ.

Далее будем рассматривать конкретные задачи, уравнения для которых получаются квадратными.

Пример задачи в алгебре

Здесь мы приведем пример задачи, сводящейся к квадратному уравнению без опоры на какую-либо конкретную область.

Найдите два таких иррациональных числа при сложении квадратов которых будет получаться пятерка, а при их обычном сложении друг с другом тройка.

Обозначим эти числа буквами $x$ и $y$. По условию задачи довольно легко составить два уравнения $x^2+y^2=5$ и $x+y=3$. Видим, что одно из них является квадратным. Для нахождения решения нужно решить систему:

Вначале выражаем из второго $x$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

Для второго корня:

Так как последовательность чисел нам не важна получаем одну пару чисел.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример задачи в физике

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в физике.

Вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость $250$ км/ч. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится в $70$ км от нее и вернуться обратно. В это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолета к лесу. Из-за чего обратно до базы он добирался на 1 час раньше. Найдите скорость ветра.

Обозначим скорость ветра через $v$. Тогда мы получим, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной $250-v$, а обратно его реальная скорость будет составлять $250+v$. Посчитаем время на путь туда и на путь обратно.

Так как обратно до базы вертолет добирался на $1$ час раньше, будем иметь

Приведем левую часть к общему знаменателю, применим правило пропорции и произведем элементарные преобразования:

Получили квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решим его.

Будем решать его с помощью дискриминанта:

Уравнение имеет два корня:

Так как мы искали скорость (которая не может быть отрицательна), очевидно, что первый корень лишний.

Пример задачи в геометрии

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в геометрии.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, который удовлетворяет следующим условиям: его гипотенуза равняется $25$, а катеты по длине относятся как $4$ к $3$.

Для того, чтобы найти искомую площадь нам нужно найти катеты. Отметим одну часть катета через $x$. Тогда выражая через эту переменную катеты получим что их длины равняются $4x$ и $3x$. Таким образом, из теоремы Пифагора мы можем составить следующее квадратное уравнение:

(корень $x=-5$ можно не рассматривать, так как катет не может быть отрицателен)

Получили, что катеты равны $20$ и $15$ соответственно, то ест площадь

$S=\frac<1><2>\cdot 20\cdot 15=150$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 24 06 2021

План-конспект урока математики и физики «Применение квадратных уравнений при решении физических задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ – ЛИЦЕЙ № 2

Г. АЛЬМЕТЬЕВСКА РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

РЕГИОНАЛЬНОЕ СОВЕЩАНИЕ РУКОВОДИТЕЛЕЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ ПО ТЕМЕ «ОПЫТ РАБОТЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С ОДАРЕННЫМИ ДЕТЬМИ. ПРОФОРИЕНТАЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ»

План-конспект урока математики и физики

Тема: Применение квадратных уравнений при решении физических задач

Класс: 8Е
учитель математики

Горбунова Нина Вячеславовна;

учитель математики и физики

Домнина Марина Николаевна

Интегрированный урок по математике и физике по теме:

Применение квадратных уравнений при решении физических задач

способствовать приобретению умений решать физические задачи с помощью квадратных уравнений.

способствовать нахождению приемов решения физических задач;

проверить усвоение учащимися физических формул для расчета силы тока, напряжения, сопротивления при различном соединении проводников.

способствовать нахождению применения свойств квадратичной функции в других сферах науки и их взаимосвязь с математикой и физикой.

способствовать развитию монологической речи с использованием физических и математических терминов;

способствовать формированию и развитию самостоятельности учащихся.

пробудить интерес к истории математики и физическим явлениям;

способствовать расширению кругозора через информационный материал;

способствовать развитию аккуратности при решении задач в тетради, оформлении классной доски, доброжелательности.

Геометрический материал, наглядный методический материал.

Компьютер, проектор, интерактивная доска.

Мяч, катушка индуктивности.

Методы: 1. Словесный.

3. Индивидуальный и групповой.

Организационный этап (ознакомление с планом урока) – 1 мин.

1 этап — актуализация знаний по математике (работа с карточками) — 3мин.

2 этап – демонстрация полета мяча — 1 мин.

3 этап — индивидуальная самостоятельная работа по решению задачи — 8 мин.

4 этап – физкультминутка (демонстрация катушки индуктивности) — 2 мин.

5 этап — актуализация знаний по физике (заполнение карточек) – 3 мин.

6 этап – совместное решение задачи – 5мин.

7 этап – презентация – 2 мин.

8 этап – демонстрация решения задачи повышенной сложности – 3 мин.

Подведение итогов урока. Домашнее задание – 2 мин.

«В каждой естественной науке

заключено столько истины,

сколько в ней есть математики»

Организационный момент урока — 1 мин.

Актуализация знаний по математике (работа с карточками) — 3мин.

Учащиеся по группам получают задания на карточках. Отвечают устно по выбору учителя.

Что такое квадратное уравнение?

От чего зависит наличие корней квадратного уравнения?

Назовите 2 формулы корней квадратного уравнения.

(Ответ : х_1,2= , если b -нечетное число х_1,2=)

Задана функция: y =-2х 2 +4х-16

Ука жите направление ветвей параболы.

Вычислите координаты вершины параболы.

Как найти точки пересечения графика данной функции:

а) с осью ординат;

б) с осью абсцисс?

Кто впервые ввел понятие квадратного уравнения?

(Ответ: Впервые ввел и исследовал термин квадратного уравнения в 1313 году советск ий ученый Квадрат Олег Лаврентьевич . Однако, как ни старался, Квадрат О. Л . не смог стать свидетелем всеобщего признания его работы. По обидному совпадению, уравнение было признанно в день рождения автора 13 января 1414 года — всего лишь через год после смерти знаменитого в настоящее время человека. В дальнейшем теория квадратного уравнения развивалась последователями Квадрата О.Л.)

III . Демонстрация полета мяча — 1 мин.

Учитель: Скажите по какой траектории (с математической точки зрения) движется мяч?

Ответ: по параболе

Индивидуальная самостоятельная работа по решению задачи — 8 мин.

Учащимся предлагается физическая задача, которая решается с помощью квадратного уравнения. Учащиеся делятся на два варианта, каждый вариант должен решить задачу своим способом: алгебраическим и графическим.

Задача: Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд он окажется на высоте 60 м.

Решение: Из курса физики известно, что высота, на которой окажется мяч через t секун д определяется по формуле: h = V ₀ t — gt 2 /2

Дано : V ₀=40 м/с Найти: h

I способ: 60=40 t -5 t 2

=400-300=100 t ₁ ==6 (c)

t ₂= =2 ( c )

Ответ: на высоте 60 м от земли мяч окажется через 2с и через 6с.

II способ: -5 t 2 +40 t =60

h ( t )=-5 t 2 +40 t O ( m ; n ) m = =4, n = -80+160=80

Ответ: на высоте 60 м от земли мяч окажется через 2с и через 6с.

Физкультминутка (демонстрация катушки индуктивности) — 2 мин.

Двое учащихся показывают «Фокус»: загорание лампы, поднесенной к катушке, искра.

Учащиеся: Данная установка собрана из двух резисторов, трех конденсаторов, двух самодельных катушек и транзистора и носит название катушка Тесла. Как вы убедились с ее помощью можно передавать энергию на расстояние без проводов. А также может такие установки помогут в будущем «заделать» озоновую дыру, так как при ее работе выделяется озон.

Актуализация знаний для решения задачи по физике с помощью квадратного уравнения

А) На интерактивной доске выведены две схемы. Прочтите их.

Б) Ниже – описание этих схем. Необходимо совместить стрелками законы последовательного и параллельного соединений.

В) Запишите формулу закона Ома и формулу мощности электрического тока.

Решение физической задачи с помощью квадратного уравнения

Один учащийся выходит решать задачу у доски, остальные в тетрадях.

Задача: Два резистора соединяют сначала последовательно, затем параллельно и дважды подключают к источнику постоянного напряжения. В первом случае в цепи рассеивается мощность Р₁ =4 Вт, во втором – Р₂=18 Вт. Найдите мощность электрического тока в каждом резисторе в случае поочередного подключения резисторов к тому же источнику.

Решение: В первом случае сопротивление цепи равно R ₁ + R ₂ (соединение последовательное). Мощность, рассеиваемая в цепи, U 2

Р₁ =

Во втором случае сопротивление цепи равно (соединение параллельное). Мощность, рассеиваемая в цепи,

Р₂=

Разделив второе равенство на первое, получим квадратное уравнение для отношения z = сопротивлений

Z 2 – ( — 2) z + 1 = 0,

корни которого находим по формуле

z _1,2 = ( — 2) ±= ,

z ₁ = 2, z ₂ = 0.5. Оба корня имеют физический смысл – одно из сопротивлений вдвое больше другого. Для определенности будем считать R ₁ = 2 R ₂. Тогда из равенства

Р₁ = = =

Находим мощности, рассеиваемые на резисторах, в случае их поочередного подключения к источнику постоянного напряжения,

Р₁ * = = = Р₁ = ·4 = 6 Вт, Р₂ * = = 3 Р₁ = 3·4 = 12 Вт

Ответ: 6Вт, 12 Вт

Презентация «Применение параболы в физике, технике, баллистике»

Учащиеся готовят доклад «Применение параболы в физике, технике, баллистике»

I Х. Задача повышенной сложности

Наиболее сильные учащиеся на предыдущем уроке получили индивидуальное задание. Решение, которого демонстрирует один из них.

Задача: Сколько корней имеет уравнение

Решение: Раскроем скобки

Х 2 -201х+10100+х 2 -203х+101*102+х 2 -202х+101200=0

3х 2 -606х+С=0, С  0

Так как а=3, то ветви параболы направлены вверх.

Чтобы уравнение имело 2 корня необязательно считать D , важно определить, где находится вершина параболы относительно оси (ОХ).

Вершина параболы О ( m ; n ) m =

( x -100)*( x -101)+( x -101)*( x -102)+( x -102)*( x -100)=0

Значит парабола пересекает ось х в двух точках, т.е. данное уравнение имеет 2 корня.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание: задача № 11 из ЗФТШ