Квадратные уравнения в жизни картинки

Применение квадратных уравнений в жизни

Презентация к открытому уроку по алгебре в 8 классе по теме » Квадратные уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Применение квадратных уравнений в жизни»

«Квадратные уравнения в жизни»

• Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям.

• Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра?

История возникновения и развития квадратных уравнений

• Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

• Квадратные уравнения решали еще в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2= c и ax2+ bx = c и привел методы их решения.

• Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

• Далее квадратные уравнения продолжают изучать и другие выдающиеся математики

• Решение квадратных уравнений находило применение в древности.
• Так как квадратные уравнения с тех времен активно развивались, можно сделать вывод, что их применение значительно увеличилось. Как же теперь применяются квадратные уравнения?

• Применяется квадратные уравнения во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас.
• Рассмотрим и проверим некоторые применения квадратного уравнения

• Сейчас ученые выяснили, что траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.

Взлет главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускоренного взлета.

• Фонтан смотрится лучше, если капли воды достигают высоты, большей, чем высота статуи.

В данном виде спорта, крайне важны арифметические расчеты.

При разбеге прыгуна в высоту для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета, используют расчеты связанные с парабалой.

Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

• Квадратные уравнения получили большое значение и значительное применение в жизни.

• Квадратное уравнение имеет большое применение в жизни. Еще в древности человек использовал квадратное уравнение. А с тех пор применение квадратного уравнения только росло.

• Проходя эту тему на уроке, мы мало задумываемся о практическом применении квадратных уравнений. Поэтому мы считаем, что квадратные уравнения нигде не используются, но как выяснилось это не так.

Презентация по математике на тему «Квадратные уравнения» (9класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Проект “Квадратные Уравнения” Подготовили ученики 9Б класса МКОУ “ПСОШ” Новиков Александр Ефремова Ольга Анастасия Казчук

Цель: Узнать, как можно больше о квадратных уравнениях, способах их решения, применении квадратных уравнений в жизни и математике. Задачи: 1) Узнать историю возникновения квадратных уравнений. 2) Изучить различные способы решения квадратных уравнений. 3) Выявить случаи использования квадратных уравнений в нашей жизни. 4) Решение практических задач из КИМов ОГЭ. 5) Квадратные уравнения в олимпиадах .

Введение Для нас, девятиклассников тема “Квадратные уравнения ” очень важна .Так как при изучении курса «Алгебра 8-9» мы очень часто сталкивались с квадратными уравнениями, их использовали при решении задач и более сложных уравнений. В учебниках по алгебре рассматриваются только три способа решения квадратных уравнений, а может быть есть другие? А как раньше решались квадратные уравнения? Когда люди научились их решать? Какие ученые занимались этим раньше? Все это нас очень заинтересовало. В этом году нам сдавать экзамены и при подготовке к ним мы заметили, что там много заданий, связанных с этой темой. Поэтому для своей исследовательской работы мы и выбрали тему « Квадратные уравнения».

История квадратных уравнений Вавилон. Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений , изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

История квадратных уравнений Решением квадратных уравнений занимались и в Древней Греции такие ученые как Диофант, Евклид и Герон. Диофант Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах. Евклид. Евклид древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике Герон. Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения

История квадратных уравнений Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

История квадратных уравнений Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение Бхаскара пишет под видом x2 — 64x = — 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: x2 — б4х + 322 = -768 + 1024, (х — 32)2 = 256, х — 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

История квадратных уравнений Квадратные уравнения у Ал — Хорезми. В алгебраическом трактате Ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

История квадратных уравнений Квадратные уравнения в Европе >XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу Ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

История квадратных уравнений О теореме Виета. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Методы решения квадратных уравнений 1) Метод выделения полного квадрата Рассмотрим Ур-е x2+2x-80=0 Выделим в левой части полный квадрат Х2+2x=x2+2x*1+1-1=(x+1)2-1, тогда x2+2x-80=(x+1)2-1-80, таким образом (x+1)2-81=0 (x+1-9)(x+1+9)=0 (x-8)(x+10)=0 x-8=0 или x+10=0 x1=8 x2=-10 Ответ x= 8 ; -10

Методы решения квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений Решим уравнение X2-9x+20=0 D= 81-80=1>0 , тогда X1+X2=9, X1*X2=2 поэтому X1=4, X2=5 Ответ : 4; 5.

Методы решения квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений Д) Графический метод решения Рассмотрим ур-е x2+px+q=0 , x2=-px-q В одной системе координат строим графики y=x2 и y= -px-q y=x2 – Графиком является парабола, ветви вверх и проходит через начало координат y= -px-q – Графиком является прямая Возможны 3 случая А)Прямая и парабола имеют две точки пересечения – Ур-е имеет 2 корня – это абсциссы этих точек Б) Прямая и парабола касаются – ур-е имеет 1 решение В) Прямая и парабола не имеют общих точек , т.е. ур-е не имеет решения Решим этим методом ур-е x2-3x+2 =0 . В одной системе координат строим графики y=x2и y=3x-2 х=1 и х=2 Ответ:1;2.

Методы решения ур-й , сводящихся к квадратным 1.Метод введения новой переменной ad2(x) +bd(x)+c=0 А) Замена d(x) = t Б) Решение ур-я at2+bt+c=0 В) Решение уравнения d(x) = t Рассмотрим следующее уравнение (x2+3)2-11(x+3)+28=0 Пусть x2+3=t ,Тогда t2-11t+28=0. По формулам Виета имеем t1=4 t2=7 => x2+3=4 x2+3=7 X2=1 x2=4 X1,2= ±1 x3,4= ± 2 Ответ -2;-1;1;2.

Методы решения ур-й , сводящихся к квадратным 2.Биквадратное уравнение аx4+bx2+c=0; x2=t; at2+bt+c=0 Рассмотрим ур-е y4-6y2+8=0. Пусть y2=t, тогда t2-6t+8=0, по формулам Виета имеем: t1,2=4 , t3,4=2 Y2=4 y2=2 Y1,2= ±2 y3,4=Ответ: -2;-;2

Методы решения ур-й , сводящихся к квадратным

Методы решения ур-й , сводящихся к квадратным 4.Рациональное d(x) = q(x) , где d(x) и q(x) – дробные выражения A) Найти общий знаменатель всех дробей Б) Заменить данное уравнение другим, умножив обе части на общий знаменатель В) Решить полученное ур-е Г) Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Методы решения ур-й , сводящихся к квадратным

Применение квадратных уравнений в жизни Квадратное уравнение широко распространено. Оно применяется во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас. Рассмотрим и приведем некоторые примеры применения квадратного уравнения . Спорт. Прыжки в высоту: при разбеге прыгуна для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета используют расчеты, связанные с параболой. Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения. Астрономия. Траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения. Полет самолета. Взлет самолета главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускорения взлета. Также квадратные уравнения применяются в различных экономических дисциплинах, в программах для обработки звука, видео, векторной и растровой графики.

Квадратные уравнения в КИМах ОГЭ

Квадратные уравнения в КИМах ОГЭ

Квадратные уравнения в КИМах ОГЭ

Квадратные уравнения в олимпиадах Районная олимпиада 2015 год . 9 класс №1 Парабола y=4ax2+4(a+1)x+a2+a+3+ 1/a (a≠0) пересекает ось абсцисс в двух точках. Куда направлены ветви этой параболы – вверх или вниз? Решение Найдем D , он должен быть больше 0 , так как парабола пересекает ось в двух точках D = (4(a+1))2 – 4*4a*(a2+a+3+ 1/a) = (4a + 4)2 -16a(a2+a+3+ 1/a) = = 16a2+32a+16-16a3-16a2-48a-16= -16a-16a3= -16a(a2+1) > 0 => a(a2+1) 0 , тогда a ветви параболы направлены вниз Ответ : Вниз.

Вывод В результате проделанной работы выяснилось, что квадратные уравнения привлекали ученых еще в глубокой древности, они уже сталкивались с ними при решении некоторых задач и пробовали их решать. Рассматривая различные способы решения квадратных уравнений, мы пришли к выводу, что не все они просты. На наш взгляд самым лучшим способом решения квадратных уравнений является решение по формулам. Формулы легко запоминаются, этот метод универсальный. Наша гипотеза, что уравнения широко применяются в жизни и математике подтвердилась. Изучив тему , мы узнали много интересных фактов о квадратных уравнениях , их использовании , применении, видах, решениях. И мы с удовольствием продолжим наше изучение. Надеемся, что это поможет нам хорошо сдать экзамены.

Исследовательская работа по теме: «Квадратные уравнения в жизни»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Исследовательская работа По теме: «Квадратные уравнения в жизни» Выполнил: Ученик 8 А класса Лицея №144 Торопов Алексей Руководитель: Учитель математики Иванова Светлана Борисовна

План работы: Введение . Историческая справка Актуальность выбранной темы. Гипотеза Основная часть Мои исследования Вывод Использованная литература

Цель работы: Узнать больше о квадратных уравнениях Проанализировать, где в жизни применяются квадратные уравнения

Введение. Историческая справка Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. х у

Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра?

Актуальность выбранной темы. История возникновения и развития квадратных уравнений Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения решали еще в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма . впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Далее квадратные уравнения продолжают изучать и другие выдающиеся математики Штифель Кардано Франсуа Виет Рене Декарт Ньютон

Мы уже знаем, что решение квадратных уравнений находило применение в древности. Так как квадратные уравнения с тех времен активно развивались, можно сделать вывод, что их применение значительно увеличилось. Как же теперь применяются квадратные уравнения?

Мои исследования Изучив множество источников я выяснил, что квадратное уравнение широко распространено. Оно применяется во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас. Рассмотрим и проверим некоторые применения квадратного уравнения

Сейчас ученые выяснили, что траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.

Взлет главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускоренного взлета. Взлет самолета

Фонтан смотрится лучше, если капли воды достигают высоты, большей, чем высота статуи.

В данном виде спорта, крайне важны арифметические расчеты. П ри разбеге прыгуна в высоту для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета, используют расчеты связанные с парабалой . Атлетика

Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

Квадратные уравнения получили большое значение и значительное применение в жизни.

С помощью исследования я выяснил, что квадратное уравнение имеет большое применение в жизни. Еще в древности человек использовал квадратное уравнение. А с тех пор применение квадратного уравнения только росло.

Вывод Проходя эту тему на уроке, мы мало задумываемся о практическом применении квадратных уравнений. Поэтому мы считаем, что квадратные уравнения нигде не используются, но как выяснилось это не так. Изучая эту тему, я узнал много интересных фактов о квадратных уравнениях, их истории, и об их применении.

Использованная литература — О.В.Зут Серия «Смотреть значит видеть» — Интернет источники, Википедия — А.А.Прокофьев «Математика» — И.Б.Кожухов «Математика» — А.М.Голова «Наука в действии»