Квадратный корень алгебраический подход уравнения

Урок по теме «Квадратный корень (алгебраический подход)»

Разделы: Математика

Базовый учебник: Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова и др. – М.: Просвещение, 2009.

Цель урока: дать понятие квадратного корня и арифметического квадратного корня; обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание определений квадратного корня, арифметического квадратного корня; формировать умения решать неполные квадратные уравнения.

Задачи:

• Образовательная: сформировать понятие квадратного корня, арифметического квадратного корня, обеспечить условия для овладения учащимися действием извлечения арифметического квадратного корня из числа.
• Развивающая: содействовать развитию логического мышления, умения сравнивать, анализировать, делать выводы; продолжить развитие у школьников монологической речи, навыков самостоятельной работы.
• Воспитательная: воспитывать аккуратность, ответственность, формировать коммуникативные свойства личности.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов действий.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Дидактические средства: собственная презентация, ЦК ЭОР.

Этап урока

Название используемых ЭОР
(с указанием порядкового номера из таблицы 2)

Деятельность учителя
(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время
(в мин.)1. Организационный моментПрезентация, слайд 2Приветствует учащихся,
сообщает тему урока.
Обобщает ответы учащихся.Записывают дату, тему урока, формулируют цель и задачи урока.

32. Актуализация знанийслайд 3Учитель предлагает разгадать кросснамбер (Приложение 1).Отвечают на вопросы

53. Изучение нового материала.слайды 4-6Учитель предлагает решить две задачи:
1) задача на нахождение площади квадратного участка земли;
2) задача на нахождение стороны квадратного участка земли (постановка проблемы).
Рассказ учителя с использованием презентации.Учащиеся решают задачи. Выясняют, что 1-я задача решается легко, а вторая вызвала затруднения.
По условию второй задачи составляют уравнение и находят его корни.
Знакомятся с понятием квадратные корни и арифметический квадратный корень.

54. Первичное закрепление новых знанийКвадратные корни. Арифметический квадратный корень.
(N 191884)
Практика 2-6.
слайды 7, 8Организует выполнение учащимися заданий из учебника устно и самостоятельно, контролирует работу учащихся.
Учитель демонстрирует работу на интерактивной доске.
Учитель знакомит с исторической справкой.Выполняют задание № 289
а) устно, б) самостоятельно.
Обсуждают решение.

Учащиеся поочерёдно называют ответ и проверяют его правильность с помощью компьютера105. Закрепление знанийслайд 11

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. (N 191884)
Практика 7-8Учитель предлагает задание.

Учитель организует работу по учебнику.Учащиеся выполняют задание и делают вывод, что извлечь квадратный корень из числа можно при условии, что a > 0.
Выполняют задание, проверяют с помощью компьютера.
Выполняют задание.

№297 самостоятельно. Вспоминают и формулируют основное свойство пропорции.106. Контроль знаний.слайды 11-12Проверяет усвоение нового материала.Выполняют разноуровневую самостоятельную работу (Приложение 2).
Выполняют самопроверку и выставляют отметку.107. Итог урокаслайды 13-14Учитель объясняет домашнее задание. Оценивает работу учащихся.Записывают домашнее задание. Самооценка.2

Перечень используемых на данном уроке ЭОР

Презентация по алгебре (8 класс) на тему «Квадратный корень (алгебраический подход)»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Квадратный корень (алгебраический подход).

1 . Площадь квадрата равна 49 см 2 . Найдите сторону квадрата.

Очевидно, длина стороны квадрата равна 7 см. То есть, 7 2 = 49.

2 . Квадрат какого числа также дает в результате число 49.

Конечно, это число –7, так как (–7) 2 = 49

Если число 49 рассматривать не значением площади квадрата, а просто числом. Значение числа в квадрате, которое дает число 49, у нас переменное, а значит можно ввести переменную х . тогда можно составить выражение:

Мы получили уравнение. А числа 7 и –7 являются его корнями, потому что обращают его в верное равенство.

3 . Какому числу не может быть равно выражение х 2 ?

Вообще, можно составить такое уравнение с любым неотрицательным числом. Общий вид уравнения имеет вид:

Чтобы найти корень такого уравнения, нужно извлечь корень квадратный из числа а . Число, которое является корнем данного уравнения, называют корнем квадратным из числа а . Например, решим два уравнения:

Корнями первого уравнения являются числа 9 и –9.

А корнями второго уравнения являются числа и

В 7 классе на уроках алгебры вы познакомились с графиком функции у = х 2 . Обратимся к нему.

Точки пересечения прямой у = а с параболой являются симметричными относительно оси у .

Видим, что ордината точек пересечения прямой и параболы равна числу а . Абсциссы этих точек обозначим через х ₁ и х ₂ . Эти точки принадлежат также и параболе, поэтому верны два равенства:

То есть и . Если а > 0 , то уравнение имеет два противоположных корня .

Если а , то корней нет , потому что корень квадратный из отрицательного числа в действительных числах не существует.

Неотрицательный квадратный корень из числа а называют арифметическим квадратным корнем из числа а .

4 . Заполните таблицу решив уравнение х 2 = а :

В классе: № 289 (б), 292 (б,г,е,з)

п. 2.4, № 289 (а), 292 (а,в,д,ж), 295 (а,б)

Краткое описание документа:

Презентация к уроку создана в текстовом редакторе, который очень быстро запускается на любом компьютере (даже второго поколения). Задания для учащихся плавно приводят их к осознанию, что квадратный корень из числа это не только точная запись иррационального числа, а также действие при отыскании корней простейшего квадратного уравнения. В ходе рассуждений важно поставить акцент на отличие значение квадратного корня как корней уравнения от значения квадратного корня как положительной величины. Задания и вопросы составлены самостоятельно в соответствии с содержанием учебника. Задания на закрепление скопированы из пособия «Алгебра. Дидактические материалы» Л.Е. Евстафьевой, А.П. Карп. Рисунок скопирован из учебника.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 573 334 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход)

Другие материалы

• 28.11.2018
• 678
• 37

• 27.11.2018
• 1291
• 136

• 22.11.2018
• 443
• 3

• 21.11.2018
• 369
• 1

• 13.11.2018
• 1671
• 179

• 13.11.2018
• 220
• 0

• 11.11.2018
• 507
• 0

• 10.11.2018
• 870
• 42

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.11.2018 2499
• DOCX 103.5 кбайт
• 187 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Твеленев Алексей Петрович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 3 месяца
• Подписчики: 5
• Всего просмотров: 126425
• Всего материалов: 84

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

∑ Некоторые алгебраические понятия — определения и работа с ними

Квадратный корень, применяемый для решения уравнений (алгебраический)

— это корень 2-ой степени, решение уравнения x² = a, т.е. квадратный корень из числа — это число, которое в квадрате (2-ой степени — см. свойства и определение степени) даёт исходное подкоренное выражение. Записывается: √x. Операцию по нахождению квадратного корня называют его извлечением. Корень, применяемый для решения квадратных уравнений, имеет два противоположных значения.

Например, найдём корни уравнения x² = 16: x = √16 ⇒ x = 4 x = — 4

Корни чётной степени определены, вообще говоря, неоднозначно, и этот факт создаёт неудобства при их использовании.

Арифметический квадратный корень

Чтобы сделать значение корня однозначным в математике вводится понятие арифметических корней. Арифметический квадратный корень обозначается также как и обычный (алгебраический) — знаком радикала (√). Таким образом, арифметический корень, в отличие от ранее определённого (алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно. Например, квадратный корень из числа 4 имеет два значения: 2 и -2, из них арифметическим является первое.

Проще говоря, называется неотрицательное число, квадрат которого равен m.

Арифметический корень имеет ряд полезных свойств. Его подкоренное выражение не может являться отрицательным, иначе запись не будет иметь смысла.

Следует упомянуть о геометрическом значении извлечения квадратного корня: это нахождение стороны квадрата по его известной площади.

Итак, как видно из текста выше, есть два конфликтующих определения квадратного корня, которые люди подразумевают под этим словосочетанием в определённых контекстах, и их очень важно различать. Так, при решении уравнений люди имеют в виду первое определение, а если корень уже присутствует в уравнении, то это второе определение. Вообще при однозначности, работе с функциями (да и чаще всего) имеется в виду (так удобнее) арифметический квадратный корень. И конечно, квадратный корень можно обозначить как плюс-минус арифметический квадратный корень: ±√x (если нужно им воспользоваться).

Геометрическое представление √2 (взято из Wikimedia Commons)

При обсуждении квадратного корня имеет смысл затронуть тему иррациональных чисел, так как корень из большей части чисел будет именно иррациональным.

— это действительное число за пределами поля рациональных чисел, иначе, число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби m/n, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Поэтому при десятичной записи иррациональные числа не заканчиваются, а их дробная часть — не переодична. Необходимо также добавить, что большая часть действительных чисел (почти все) иррациональна (это вытекает из принципа Кантора, его диагонального метода, и нескольких теорем). В отличие от остальных числовых множеств, множество иррациональных чисел не имеет общепринятого обозначения; однако, иногда его можно обозначить так: ℚ ¯ = ℝ ∖ ℚ .

Спираль Феодора (Киренского) — картинка взята из Wikimedia Commons. Автор: Pbroks13

Здесь для развития темы иррациональных чисел следует прибавить, что они, определённо, менее интуитивны и знакомы, чем обычные натуральные, целые и даже все рациональные (целые и дроби, которые изучаются с детства, и представить которые достаточно легко — отношения целых). Всем обычно лишь известно знаменитое иррациональное число π (часто встречающеюся в расчётах). Однако к иррациональным числам можно «прикоснуться»: их можно представить, они встречаются в реальной жизни, а особенно квадратные корни. А, например, комплексные числа уже гораздо менее интуитивны, их нельзя так найти в реальном мире (к ним можно «прикоснуться», например, скорее на уровне микромира в квантовой механике). Чтобы лучше понять квадратные корни можно начать с того же квадрата со стороной 1 и его диагонали: он сразу открывает интересное свойство квадратных корней, которым многие иррациональные числа не обладают: отрезок, длина которого равна квадратному корню из двойки, можно построить с помощью циркуля и линейки. Казалось бы, что в этом занимательного? Задача построения фигур с помощью циркуля и линейки вообще является очень известной и интересует геометров уже очень долгое время. Возможность точного построения чего-либо — доказательство его существования и повышение удобства использования. А также корень из двух вовсе несоизмерим с другими числами — иррационален, поэтому может показаться, что это невозможно, но в действительности лишь с помощью циркуля и линейки можно легко построить отрезок длинной в квадратный корень из любого натурального числа. Все квадратные корни, а не только пресловутый √2, связаны с длинами и пропорциями геометрических фигур. Известная во всём мире теорема Пифагора позволяет обнаруживать квадратные корни во множестве природных форм (от кристаллов и до растений). В течение долгого времени корень из двух был единственным известным иррациональным числом. Лишь примерно в 425 году до нашей эры в диалоге «Теэтет» Платон рассказывает, что его учитель впервые доказал иррациональность других корней (для сравнения доказательство иррациональности корня из двух приписывают пифагорийцам — приблизительно в 500х (может быть, где-то в 540-520) до нашей эры), а затем было придумано универсальное доказательство, приписываемое его другому ученику — Теэтету Афинскому. В честь этого самого учителя названа очень необычная геометрическая структура – спираль Феодора Киренского. Начиная с того же единичного квадрата с диагональю — возьмём его половину — прямоугольный треугольник со сторонами 1, 1 и корень из 2. Тогда корень из трёх будет диагональю треугольника со сторонами корень из 2 и 1 и т.д. Ряд чисел √n растёт в определённом порядке. Пропорции √n являются динамическими. У всех корней вообще много интересных геометрических свойств и применений. Этот параграф показывает, что корни и иррациональные числа очень «реальны», удобны и даже будничны. Ещё хотелось бы заострить внимание на том, что для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (отрезка длины 1), а извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки, что ставит квадратные корни в особое положение.

Квадратные корни всех натуральных чисел кроме точных квадратов являются иррациональными. Вообще, если квадратный корень не извлекается нацело, то он иррационален (Таэтет, как уже было сказано ранее).

Докажем теперь иррациональность корня из 2 (√2).
Доказательство.
Воспользуемся методом от противного: ◽ Пусть x = m n 2 = m 2 n 2 m 2 = 2 ⁢ n 2 m 2 | 2 ⇒ m | 2 Можно представить m = 2 ⁢ k Тогда 4 ⁢ k 2 = 2 ⁢ n 2 2 k 2 = n 2 n 2 | 2 ⇒ n | 2 n , m | 2 ∴ m n = 2 ⁢ k 2 ⁢ b ∴ 2 нельзя представить в виде m n ◽

Так как точное значение корней из неквадратов в привычном виде не записать, следует иметь представление об их приближённом значении.

fedor1113
К остальным темам