Квантовая механика уравнение де бройля

Квантовая механика уравнение де бройля

Элементы квантовой механики

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества.

§1 Волны де Бройля

В 1924г. Луи де Бройль (французский физик) пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена и на частицы вещества — электроны. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что электрон, корпускулярные свойства которого (заряд, масса) изучаются давно, имеет еще и волновые свойства, т.е. при определенных условиях ведет себя как волна.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов.

Идея де Бройля состояла в том, что это соотношение имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля.

— волна де Бройля

p = mv — импульс частицы, h — постоянная Планка.

Волны де Бройля , которые иногда называют электронными волнами, не являются электромагнитными.

В 1927 году Дэвиссон и Джермер ( амер. физик ) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов 2 dsin j = n l , а брэгговская длина волны оказалась в точности равной .

Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (Е » 50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Появились новые методы исследования вещества — нейтронография и электронография и возникла электронная оптика.

Макротела также должны обладать всеми свойствами ( m = 1кг, следовательно, l = 6 . 6 2 · 1 0 — 3 1 м — невозможно обнаружить современными методами — поэтому макротела рассматриваются только как корпускулы).

§2 Свойства волн де Бройля

• Пусть частица массы m движется со скоростью v . Тогда фазовая скорость волн де Бройля

.

Т.к. c > v , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме ( v _ф может быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой ).

• следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

т.е. групповая скорость равная скорости света.

• Волны де Бройля испытывают дисперсию. Подставив в получим, что v_ф = f (λ). Из-за наличия дисперсии волны де Бройля нельзя представить в виде волнового пакета, т.к. он мгновенно “ расплывется “ (исчезнет) за время 10 -26 с.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р. Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок D C мы сможем определить импульс частицы. Чем больше D C , тем точнее D р и наоборот, чем меньше D C , тем больше неопределенность в нахождении D р .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

( иногда записывают )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m , тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10 -12 кг , ? = 10 -6 и Δ x = 1% ?, Δv = 6,62·10 -14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δ x » 1 0 -10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27· 1 0 6 м/с. По классической механике при движении по радиусу r » 0 , 5 · 1 0 — 1 0 м v = 2,3·10 -6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

Из соотношения следует, что система имеющая время жизни D t , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность D n = D E / h , т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину n ± D E / h , будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

§4 Волновая функция и ее физический смысл

Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях — имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону ( т.е.

е — iωt ). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн ( немецкий физик ) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или y -функцией (пси — функцией).

Волновая функция — функция координат и времени.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV — физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ * — функция комплексно сопряженная с Ψ

Если частица находится в конечном объеме V , то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

Р = 1 Þ

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const , описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

y — функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

• непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),
• Волновая функция удовлетворяет принципусуперпозиции: если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями y ₁ , y ₂ . y _n , то она может находится в состоянии y , описываемой линейной комбинаций этих функций:

С _n ( n =1,2. ) — любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

§5 Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.

(1)

— Временное уравнение Шредингера.

— набла — оператор Лапласа

— потенциальная функция частицы в силовом поле,

Ψ( y , z , t ) — искомая функция

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ — функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей — один зависит только от координат, другой — только от времени:

(2)

Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.

(3)

— Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

волновые функции должны быть регулярными, т.е.

Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии — собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Е _n принимает дискретные значения, то спектр — дискретный, если непрерывные — сплошной или непрерывный.

§6 Движение свободной частицы

Частица называется свободной, если на нее не действуют силовые поля, т.е. U = 0.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае:

И собственные значения энергии:

Т.к. k может принимать любые значения, то, следовательно, и Е принимает любые значения, т.е. энергетический спектр будет сплошным.

Временная волновая функция

(- уравнение волны)

т.е. представляет плоскую монохромную волну де Бройля.

§7 Частица в “потенциальной яме” прямоугольной формы.

Квантование энергии.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим что, частица может двигаться только вдоль оси x . Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками x = 0, и x = ?. Потенциальная энергия U имеет вид:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для одномерной задачи

За пределы потенциальной ямы частица попасть не сможет, поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна 0.Следовательно, и Ψ за пределами ямы равна 0 .Из условий непрерывности следует, что Ψ = 0 и на границах ямы т.е.

В пределах ямы (0 £ x £ l ) U = 0 и уравнение Шредингера.

введя получим

;

из граничных условий следует

Из граничного условия

Þ

Энергия Е _n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е _n называются уровнями энергии, а число n , определяющее энергические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Т.е. частицы в «потенциальной яме» могут находиться только на определенном энергетическом уровне Е _n (или находятся в квантовом состоянии n )

Собственные функции:

А найдем из усилия нормировки

— плотность вероятности. Из рис. видно, что плотность вероятности меняется в зависимости от n : при n = 1 частица, скорее всего, будет посередине ямы, но не на краях, при n = 2 — будет или в левой или в правой половине, но не посередине ямы и не на краях, и т.д. Т.е нельзя говорить о траектории движения частицы.

Энергетический интервал между соседними уровнями энергии:

При n = 1 имеет наименьшую энергию отличную от нуля

Наличие минимума энергии следует из соотношения неопределенностей, т.к.,

C ростом n расстояние между уровнями уменьшается и при n ® ¥ Е _n практически непрерывны, т.е. дискретность сглаживается, т.е. выполняется принцип соответствия Бора: при больших значениях квантовых чисел законы квантовой механики переходят в законы классической физики.

Общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория является развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую, указывая границы её применимости.

§ 8 Туннельный эффект.

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Для классической частицы : при Е > U она пройдет над барьером, при Е U — отразится от него; для квантовой : при Е > U есть вероятность того, что частица отразится, при Е U есть вероятность того, что пройдет сквозь барьер.

Потенциальная энергия:

Уравнение Шредингера: для области 1 и 3 :

для области 2:

Решение этих диф. уравнений;

Для 1;

Для 2;

Для 3:

Т.к. в области 3 возможно распределение только прошедшей волны, то, Þ , В₃=0.

В области 2 решение зависит от соотношений Е > U или Е U . Физический интерес представляет случай Е U .

q = i b , где

Тогда решение уравнения Шредингера запишутся в виде:

Для 1;

Для 2;

Для 3:

Качественный вид функций показан на рис. 2. Из рис. 2 видно, что функция не равна нулю внутри барьера, а в 3 имеет вид волны де Бройля, если барьер не очень широк.

Явление “проникновения” частицы сквозь потенциальный барьер, называется туннельным эффектом. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы можно объяснить используя соотношения неопределенностей: неопределенность импульса D р на отрезке D x = ? составляет . Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной энергии барьера.

§9 Линейный гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное колебательное движение под действием квазиупругой силы — является моделью для изучения колебательного движения.

В классической физике — это пружинный, физический и математический маятники. В квантовой физике — квантовый осциллятор.

Записав потенциальную энергию в виде

Уравнение Шредингера запишется в виде:

Тогда собственные значения энергии:

т.е. энергия квантового осциллятора принимает дискретные значения, т.е. квантуется. Минимальное значение — энергия нулевых колебаний — является следствием состояния неопределенности так же, как и в случае частицы в “потенциальной яме”.

Наличие нулевых колебаний означает, что частицы не могут упасть на дно ямы, т.к. в этом случае был бы точно определен ее импульс p = 0, D p = 0, Þ , D x = ¥ — не соответствует соотношению неопределенностей. Наличие энергии нулевых колебаний противоречит классическим представлениям, по которым E _min = 0. — уровни энергии расположенные на равных расстояниях друг от друга. Из квантового рассмотрения следует, что частицу можно обнаружить вне области. По классическому рассмотрению только в пределах – x £ x £ x (Рис.2).

Квантово-механическая модель строения атома. Корпускулярно-волновые свойства электрона: уравнение Де Бройля, принцип неопределенности Гейзенберга (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7

В 1911г. Э. Резерфорд предложил модель атома, согласно которой атом состоит из положительно заряженного ядра, в котором находится почти вся масса атома, и располагающихся вокруг ядра электронов. Ядро состоит из протонов и нейтронов. Число электронов равно числу протонов и, поэтому, атом электронейтрален.

В основе квантово-механической теории строения атомов лежат их корпускулярно-волновые свойства. С движущимся электроном ассоциируется волна, длина которой определяется уравнением Де-Бройля: где λ — длина волны, (м); m — масса электрона; V-скорость движения частицы (≈108 м/с), h — постоянная Планка. Принцип неопределенности Гейзенберга: невозможно описать с высокой степенью точности местонахождение электрона (координаты), и его энергию (импульс) в один и тот же момент времени.

2. Уравнение Шредингера. Квантовые числа, волновая функция, понятие об атомной орбитали.

Уравнение Шрёдингера (1926 г) описывает волновые и корпускулярные свойства электрона в атоме водорода. Решениями уравнения Шредингера являются энергии электрона и волновая функция ψ(пси).

Волновая функция ψ зависит от координат (x, y, z), и энергии E электрона и не имеет определенного физического толкования. Квадрат волновой функции ψ2 определяет плотность вероятности нахождения электрона в точке с координатами (x, y, z). ψ2·ΔV –вероятность нахождения электрона в данном объеме атома ΔV. Чем больше ψ2·ΔV, тем плотнее электронное облако в данном объеме атома.

Область пространства, в которой вероятность нахождения электрона составляет не менее 90%, называют атомной орбиталью. Атомные орбитали различаются по энергии, размерам, форме, ориентации в пространстве и могут быть охарактеризованы тремя квантовыми числами (n, l, ml).

Главное квантовое число характеризует энергию электрона в атоме. принимает только целые положительные значения n = 1, 2, 3…∞. С увеличением n энергия и размер электронного облака (атомной орбитали) возрастает. Совокупность атомных орбиталей с одинаковым значением n называют уровнем или электронным слоем.

Орбитальное квантовое число l принимает значения от 0 до (n-1), например, при n = 3: l = 0, 1, 2. Характеризует форму атомных орбиталей (электронных облаков), для которых в зависимости от l приняты соответствующие обозначения: l 0, 1, 2, 3, 4, 5…

обозначение s, p, d, f, g, h…

Магнитное квантовое число определяет возможные ориентации электронного облака в пространстве. ml – может принимать положительные и отрицательные целочисленные значения от –l до +l через нуль. Так, для s — орбиталей (l = 0, ml = 0), возможна одна ориентация. Для р — орбиталей (l=1, ml = -1, 0, +1), что соответствует трем ориентациям р — орбиталей относительно трех осей. Для d — орбиталей (l=2, ml = -2, -1, 0, +1, +2) число возможных ориентаций – пять, для f – орбиталей — семь.

Спиновое (ms) квантовое число характеризует сложное движение электрона вокруг собственной оси; принимает значения +1/2 и –1/2.

3. Энергетическая диаграмма возможных состояний электрона в атоме водорода.

4. Распределение электронов по АО в многоэлектронных атомах. Принцип Паули, правило Гунда, правила Клечковского.

Распределение электронов в многоэлектронных атомах основано на трех положениях: принципе минимума энергии, принципе В. Паули и правиле Ф. Хунда.

Принцип наименьшей энергии. Электроны занимают в атоме орбитали с наименьшей энергией. Последовательность расположения АО по уровням энергии при заполнении электронами определяется правилом Клечковского: электроны в невозбужденном атоме располагаются в состояниях, где меньше сумма (n+l), так как энергия электронов зависит от n и l и не зависит от ml и ms. При одинаковом значении этой суммы в первую очередь заполняется орбиталь с меньшим значением главного квантового числа (n).

Принцип Паули. В атоме не может быть двух электронов, имеющих четыре одинаковых квантовых числа. Один электрон от другого на атомной орбитали должен отличаться спиновым квантовым числом. Как следует из принципа Паули, на атомной орбитали максимально может быть два электрона, отличающихся спином и это обозначается: ↑↓.

Правило Хунда. При заполнении энергетического подуровня, электроны стремятся заполнить свободные орбитали, сначала по одному с параллельными спинами, а затем по второму с противоположными спинами.

5. Периодический закон. Периодическая система. Электронные конфигурации атомов.

Периодический закон: свойства простых веществ, а также формы и свойства соединений элементов находятся в периодической зависимости от заряда ядра атомов элементов.

Периодическую систему химических элементов в настоящее время рассматривают как классификацию элементов в зависимости от зарядов ядра и от строения электронных оболочек невозбужденных атомов. Распределение электронов по атомным орбиталям называют электронной конфигурацией атома. И представляют в виде а) полной электронной формулы, например: 22Ti 1s22s22p63s23p64s23d2; б) краткой электронной формулы: 22Ti [Ar]4s23d2; в) электроно-графической формулы, в которой атомные орбитали обозначают в виде клеток (энергетических или квантовых ячеек), а электроны – стрелками ↑↓.

6. Периодические свойства атомов (радиусы атомов, энергия ионизации, сродство к электрону, электроотрицательность).

— атомный и ионный радиусы (r), определяемые как средние радиусы атома или иона, находимые из экспериментальных данных по межатомным расстояниям в различных соединениях;

— энергия ионизации, определяемая количеством энергии, необходимой для отрыва электрона от атома ();

— сродство к электрону, определяемое количеством энергии, выделяющейся при присоединении дополнительного электрона к атому ();

— Электроотрицательность (χ) — фундаментальное химическое свойство атома, количественная характеристика способности атома в молекуле притягивать к себе общие электронные пары.

7. Характерные степени окисления элементов.

Степень окисления — условный заряд атома в молекуле, вычисленный в предположении, что все связи имеют ионный характер. Понятие степени окисления введено в предположении о пол­ном смещении пар электронов к тому или другому атому (показывая при этом заряд ионов, образующих ионное соедине­ние). Поэтому следует помнить, что в полярных соединениях сте­пень окисления означает число электронов, лишь смещенных от данного атома к атому, связанному с ним.

8. Ковалентная химическая связь: механизмы её образования, разновидности. Длина, энергия, порядок (кратность) ковалентной связи.

Связь, образованную посредством перекрывания электронных облаков, то есть осуществляемую общей парой электронов с противоположными спинами, называют ковалентной связью.

Для объяснения природы ковалентной связи и механизма ее образования используются два метода – метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО). В основе метода ВС лежит теория Льюиса об образовании ковалентной связи формированием общей пары электронов между взаимодействующими атомами. Основные характеристики ковалентной химической связи – длина связи, энергия связи. С увеличением кратности связи уменьшается длина связи и увеличивается суммарная энергия связи.

9, 10. Насыщаемость ковалентной связи и валентные возможности атомов.

Направленность ковалентной связи и геометрия молекулы.

Ковалентной связи присущи следующие особенности – насыщаемость и направленность. Насыщаемость определяет стехиометрию молекулярных химических соединений (формульный состав, массовые соотношения элементов) и валентные возможности атомов (способность образовать ограниченное число ковалентных связей).

Направленность ковалентной связи определяет геометрическую структуру (форму) молекулы. Атомные орбитали имеют разные формы и размеры, разную ориентированность в пространстве, и перекрываются по определенным, предпочтительным направлениям, в которых достигается максимальная плотность перекрывания. Это приводит к образованию молекулы определенной геометрической формы (линейной, угловой, тетраэдрической и др). Например, атом серы в сероводороде образует связи с атомами водорода за счет p-электронов, ориентированных вдоль осей координат под углом 90о.

11. Полярность и поляризуемость ковалентной связи. Полярность молекулы.

Связь в двухатомных молекулах, образованная из одинаковых атомов (Н2) или атомов близких по электроотрицательности (ЭО), называется неполярной (гомеополярной). Связь, образованная различными атомами, отличающимися ЭО, называется полярной (гетерополярной).

Полярность связи обуславливается различием ЭО и размеров атомов. Полярность связи обуславливает полярность молекулы – то есть несимметричное распределение электронной плотности, при котором «центры тяжести положительных и отрицательных зарядов» в молекуле не будут совпадать в одной точке. Поляризуемостью ковалентной связи и (или) молекулы называют ее способность под действием внешнего электрического поля становиться полярной или более полярной. Поляризуемость π-связи выше, чем поляризуемость σ-связи. Поляризуемость молекулы возрастает с увеличением ее объема и числа π-связей.

12. Металлическая связь. Деление элементов на металлы и неметаллы. Металлические структуры.

Металлическая связь — химическая связь, обусловленная наличием относительно свободных электронов. Металлическая связь возникает в металлах, сплавах, интерметаллических соединениях. Валентные электроны внешних оболочек металла относительно легко удаляются, из атомов образуются катионы металла. Электроны делокализованы и могут свободно перемещаться по всему кристаллу. Оставшиеся катионы металлов притягиваются делокализованным электронным облаком («электронным газом»), заполняющим пространство между ними. Образованную подобным образом химическую связь называют металлической связью. Металлическая связь характеризуется ненаправленностью и ненасыщаемостью. Строение металлических кристаллов наиболее точно описывается «структурами с плотнейшей укладкой шаров».

Путь частицы или волна-пилот наносит ответный удар

Как так вышло, что одна из самых практичных и интуитивно понятных интерпретаций квантовой механики стала маргинальной? Всё довольно прозаично: предрассудки, конформизм и коммунисты.

Нечто астро-квантово-буддийское проецируется мозгом под действием волн из темного космоса. Автор — Stefan Heilemann, создающий шикарные обложки для потряснейших европейских музыкальных коллективов

В общем, история квантовой механики объясняется в учебниках как хроника, где каждый шаг естественно вытекает из предыдущего. Однако все было с точностью до наоборот. Развитие квантовой механики шло зигзагообразным путем, полным недоразумений и личных споров. Это была болезненная история, когда ученые были вынуждены отказаться от устоявшихся классических концепций и исследовать новые, творческие пути. Большинство новых маршрутов уходило в никуда. Другие были просто брошены. Некоторые из исследованных путей оказались успешными в создании новых математических формализмов, способных предсказывать эксперименты в атомном масштабе.

Даже такие успешные маршруты были достаточно болезненными, поэтому такие авторитетные ученые, как Альберт Эйнштейн или Эрвин Шредингер, решили не поддерживать их.

История

Квантовый мир необъясним в классических терминах. Предсказания о взаимодействиях материи и света, воплощенные в законах Ньютона и уравнениях Максвелла, находятся в явном противоречии с экспериментальными фактами в микроскопическом масштабе. Ключевой особенностью квантовых эффектов является их кажущаяся неопределенность, то, что отдельные атомные события непредсказуемы, неуправляемы и буквально не имеют причины. Закономерности проявляются только при рассмотрении большого ансамбля таких событий. Ряд квантовых явлений требует фундаментального пересмотра детерминистской классической картины мира:

• Самоинтерференция: пучок электронов, посылаемый по одному через барьер с двумя щелями, создает на экране интерференционную картину, характерную для волн.
• Туннелирование: переход носителей заряда через тонкую оксидную плёнку металла, имеющую диэлектрические свойства, и обеспечивающее проводимость точек механического соединения проводников (скрутки проводов, зажимы, джамперы).
• Стабильность материи: атомы и молекулы существуют только в определенных дискретных, или «стационарных», энергетических состояниях. По этой причине они не схлопываются, как предсказывает классическая электродинамика. Во время переходов между стационарными состояниями (квантовых скачков) атом обменивается дискретным количеством энергии с электромагнитным полем.
• Спин: пучок атомов, прошедший через неоднородное магнитное поле, расщепляется на дискретный набор потоков.

Дискретный, статистический и нелокальный характер этих явлений явно противоречит непрерывной, детерминистской и в целом локальной структуре мира, соответствующей классической физике частиц и полей.

Электроны, выпускаемые по одному через барьер с двумя щелями, постепенно образуют на экране интерференционную картину

С помощью уравнения Шредингера квантовая механика описывает законы эволюции статистических ансамблей аналогично подготовленных систем. На сегодняшний день полученные результаты согласуются со всеми экспериментальными данными. Но поскольку квантовая механика предсказывает только результаты измерений, выполняемых на статистических агрегатах физических систем, она сама по себе не дает объяснения экспериментальных фактов. Чего не хватает, так это описания действительных индивидуальных событий опыта, функциями которых были бы статистические явления.

В 1924 году Луи де Бройль в своей докторской диссертации предположил, что материя, помимо присущего ей частицеподобного поведения, может проявлять и волнообразное. Ранние попытки разработать общую формулировку динамики этих направляющих волн были безуспешными, пока в 1926 году Шредингер не разработал свое нерелятивистское волновое уравнение и далее не предположил, что, поскольку уравнение описывает волны в конфигурационном пространстве, то о частицах следует забыть. Вскоре после этого Макс Борн предположил, что волновая функция уравнения Шредингера представляет собой плотность вероятности нахождения частицы. После этих результатов де Бройль разработал интерпретацию квантовых явлений, основанную на неклассических траекториях, управляемых волновым полем. Она была представлена на Сольвеевской конференции 1927 года, где подверглась критике, что вынудило де Бройля оставить эту теорию.

В 1932 году Джон фон Нейман опубликовал книгу, где отстаивалась мысль, что все теории скрытых переменных невозможны. Эта теорема невозможности (а точнее анзац) была признана ошибочной Гретой Германн три года спустя, хотя это оставалось незамеченным сообществом физиков в течение более чем пятидесяти лет. К слову, Белл, когда создавал свою запрещающую теорему, тоже не повременил указать на нефизичность некоторых пунктов в работе фон Неймана.

Джон фон Нейман готов прояснить по формулам

В 1951 году была выпущена книга Дэвида Бома «Квантовая теория». Этот труд по праву можно считать одним из лучших изложений формализма волновой механики в рамках копенгагенского подхода. Иронично, что там же он предоставил “доказательство того, что квантовая теория несовместима со скрытыми переменными”. Кроме того, книга также содержит необычайно длинную главу, посвященную квантовой теории процесса измерения, где Бом обсуждает, как само измерение может быть описано с точки зрения временной эволюции многочастичной волновой функции, а не с точки зрения коллапса. Похоже, что Бом остался недоволен ортодоксальным подходом, который он изложил в своей книге, и начал разрабатывать собственную каузальную формулировку квантовой теории, опубликованную им в 1952 году.

Дэвид Бом беседует с Джидду Кришнамурти об устройстве Вселенной и смысле жизни

Дэвид Бом завершил работу де Бройля в двух фундаментальных аспектах. Во-первых, он продемонстрировал, что интерпретация волны-пилота приводит к точно таким же предсказаниям, как и у ортодоксальной квантовой механики. Во-вторых, он предложил объяснение проблемы измерения, не прибегая к коллапсу волновой функции.

Бомовскую механику проморгали каким-то образом и пришли к копенгагенской интерпретации
Хренников А.Ю.

Но Бом опоздал на четверть века. Нильс Бор и Вернер Гейзенберг предложили свою трактовку взаимосвязи новой теории с реальным миром. Да, для многих было неприемлемо введение объективной случайности, коллапса, дальнодействия и смелого тезиса о полноте квантовой механики (вектор состояния содержит исчерпывающее описание состояния квантовой системы). Но с практической точки зрения этот шаг был оправдан: колеблющееся научное сообщество нуждалось в стабилизации, и закрыв глаза на вопросы основ, вполне можно было заниматься разработкой успешных моделей. К тому же, копенгагенская интерпретация, по мере своего превращения в ортодоксальный подход, постоянно полировалась и обрастала более удобными формулировками. Но главный посыл остался неизменным — некоторые вопросы неуместны, так что, считай молча.

Хотя Эйнштейн и не был удовлетворен результатами Сольвеевской конференции, он также не дал явной поддержки экспериментальной волновой теории де Бройля-Бома. Остается почти неизвестным, что в 1927 году, когда де Бройль опубликовал свою экспериментальную волновую теорию, Эйнштейн разработал альтернативную версию экспериментальной волны с траекториями, определяемыми многочастичными волновыми функциями. Однако, прежде чем статья появилась в печати, Эйнштейн позвонил редактору, чтобы отозвать ее. Похоже, он не хотел мириться с таким понятием, как действие на расстоянии (частицы могут мгновенно влиять друг на друга на огромной дистанции). Как отец теории относительности, он считал, что действие на расстоянии не может передаваться быстрее скорости света.

Барашик сделал очевидный вывод на основе умозрительных суждений. (Смешарики / Творец)

Существование более-менее устоявшегося подхода, критика Эйнштейна, запрещающая теорема фон Неймана, а также активная социальная деятельность Дэвида Бома в молодости (в частности, якшание с коммунистами с последующим тюремным заключением) в сумме выстроили против него, а заодно, и против его теории, скептическое предубеждение. Собственно, для забвения этого достаточно, но идея использовать для интерпретации явлений микромира каузальный онтологический подход пришлась по сердцу «нелокальному реалисту» Джону Беллу.

Но почему тогда Борн не говорил мне об этой «волне-пилоте»? Хотя бы не указал на то, что было в ней неправильно? Почему эту теорию не рассматривал фон Нейман? Более того, почему люди приводят доказательства «невозможности» после 1952 года и даже в 1978 году? Даже Паули, Розенфельд и Гейзенберг не могли критиковать бомовскую версию более содержательно, чем обозвав ее «метафизической» и «идеологической»? Почему представление о «волне-пилоте»
игнорируется в учебниках? Не следует ли думать о ней если не как о единственно правильном пути, то хотя бы как о лекарстве против самоуспокоения? Чтобы показать, что неопределенность, субъективность и индетерминизм не возникают для нас из экспериментальных данных, но только из свободного теоретического выбора.
Джон Стюарт Белл, 1987

Наиболее значимым вкладом Белла в физику, вероятно, является демонстрация того, что квантовая механика нелокальна, в отличие от того, что ожидал Эйнштейн. В 1964 году, вдохновленный статьей ЭПР и работой Бома о нелокальных скрытых переменных, Белл разработал теорему, устанавливающую четкие математические неравенства, теперь известные как неравенства Белла для экспериментальных результатов, которые будут выполняться локальными теориями, но будут нарушены нелокальными. За последние полвека было проведено большое количество экспериментов для проверки неравенств. Эти эксперименты подтвердили, что неравенства Белла нарушаются. Поэтому мы должны заключить, что результаты квантовых экспериментов не могут быть объяснены с помощью локальных теорий скрытых переменных.

Согласно Беллу, мы должны принять реальное существование в природе причинно-следственной связи со скоростью, превышающей скорость света (спокойно, это не распространяется на классические каналы связи). Экспериментальное нарушение неравенств Белла дало поддержку не только Копенгагенской интерпретации, но и формулировке квантовой теории Бома, поскольку обе теории являются нелокальными.

К сожалению, произошло историческое недоразумение относительно влияния нарушения неравенств на бомовскую механику. В одном престижном журнале выкрасовалось утверждение:

В середине 1960-х годов Джон С. Белл показал, что если бы скрытые переменные существовали, экспериментально наблюдаемые вероятности должны были бы опускаться ниже определенных пределов, названных неравенствами Белла. Эксперименты были проведены рядом групп, которые обнаружили, что неравенство было нарушено. Их коллективные данные решительно опровергали возможность существования скрытых переменных.
D. Kleppner and R. Jackiw, One Hundred Years of Quantum Physics, Science 289(5481), 893 (2000).

Автор этого предложения опустил прилагательное «локальных», когда упоминал скрытые переменные. Поэтому читатель, у которого нет времени изучать работы Белла и Бома, сочтет, что механика Бома опровергается теоремой Белла. Однако все обстоит как раз наоборот. К сожалению, это недоразумение появилось и продолжает гулять во многих научных статьях, учебниках и интернетах.

Квантовая жидкость

Теория де Бройля-Бома заключается в том, что волновая функция реально существующий объект, эволюционирующий согласно уравнению Шредингера. Она же влияет на поведение частиц — корпускул, подчиняющихся квантовому аналогу уравнений Гамильтона-Якоби. В отличие от собратьев из старой доброй механики они, помимо классического взаимодействия, учитывают влияние так называемых квантовых сил.

Поведение частиц, влекомых «волнами квантовой жидкости» очень похоже на подпрыгивание капель по волнам Фарадея

видео

Настолько похоже, что эту гидродинамику чуть не связали с макропроявлением квантовых эффектов. Но более тщательные эксперименты развеяли подобные надежды. Кстати, лидером одной из групп, топчущих чужие надежды, был Томас Бор, внук того самого Бора и сын другого того самого Бора.

Подробней про исследования капель смотрим здесь

Теория де Бройля-Бома детерминистична и явно нелокальна: скорость любой отдельной частицы зависит от конфигурации системы, заданной ее волновой функцией (интимные подробности смотри в приложении); последняя зависит от граничных условий системы, которыми, в принципе, может быть вся Вселенная. Да, это подразумевает свои накладные расходы, но статистическая физика как раз и формировалась для подобных проблем.

Измерение

Казалось бы, теория озабочена исключительно «результатами измерений» и не говорит ни о чем другом. Что именно позволяет некоторым физическим системам играть роль «измерителя»? Может быть, волновая функция мира ждала схлопывания в течение тысяч миллионов лет, пока не появится одноклеточное живое существо? Или же ему придется подождать немного дольше, чтобы получить более квалифицированную систему. с докторской степенью? Если эта теория применима к чему-либо, кроме высоко идеализированных лабораторных операций, разве мы не обязаны признать, что более или менее «измерительные» процессы происходят более или менее постоянно, более или менее повсеместно? Разве мы не схлопываемся тогда все время? Первое обвинение против «измерения», содержащееся в фундаментальных аксиомах квантовой механики, состоит в том, что оно закрепляет там изменчивое разделение мира на «систему» и «аппарат».
J. Bell, Against ‘measurement’

При изучении квантовой системы, возникает необходимость ее отделения от остальной Вселенной. Это разделение произвольно, но обязательно в любом практическом вычислении, поскольку рост степеней свободы усложняет моделирование. К тому же, закрыв глаза на всякую нелинейщину, удобно использовать уравнение Шредингера и разбивать задачу на подсистемы.

В принципе, разделение квантовой системы и измерительного аппарата является чисто техническим; оно не является прямым следствием квантовой теории, которую мы выбираем для описания квантового мира. Типичное ортодоксальное измерение предполагает, что явно моделируется только квантовая система, в то время как измерительный аппарат заменяется соответствующим оператором, действующим на волновую функцию системы.

Набор юного экспериментатора

То есть предсказание некоторого экспериментального свойства квантовой системы описывается с помощью оператора, собственные значения которого дают возможные результаты измерения. При измерении определенного собственного значения начальная волновая функция преобразуется в собственную функцию введенного оператора. Это так называемое фон Неймановское (или проективное) измерение. Таким образом, эволюция во времени волновой функции квантовой системы управляется двумя совершенно различными законами:

Сначала, динамическая эволюция задается уравнением Шредингера. Этот динамический закон детерминирован в том смысле, что конечная волновая функция квантовой системы совершенно определена, когда мы знаем начальную волновую функцию и гамильтониан квантовой системы.

А затем происходит таинственный коллапс, и начальная волновая функция заменяется одним из собственных состояний конкретного оператора. В отличие от динамического закона, заданного уравнением Шредингера, коллапс не является детерминированным, так как результат выбирается случайным образом из спектра оператора.

Проходя через магнитное поле, частица со спином отклоняется. Но, в зависимости от времени вмешательства в эволюцию системы, характер траекторий выходит различным.

В Бомовской же механике измерение лучше объяснить, предположив, что квантовая система и измерительный прибор являются двумя взаимодействующими системами. Тогда процесс измерения трактуется так же, как и любой другой квантовый процесс взаимодействующих частиц, и предыдущие трудности измерения ортодоксальной интерпретации просто исчезают. По крайней мере, с концептуальной точки зрения. Нет необходимости вводить операторы. Здесь вся квантовая система описывается траекториями и волновыми функциями многих частиц. В таком случае, можно считать, что эволюция идет своим ходом независимо от того, имеет ли место процесс измерения или нет.

Бомовский и копенгагенский подходы измерения дают одни и те же вероятностные предсказания. Однако математическая реализация уравнений движения в каждом конкретном случае совершенно различна. В случае волны-пилота мы получаем проблему многих тел, для упрощения которой используется мощь методов математической физики. Да, сложно, но в теории квантовых диссипативных систем такой подход может быть вполне оправдан. Собственно, при исследовании банальной интерференции уже дошли до того, что воздействие на материал интерферометра начинает играть существенную роль.

С другой стороны, во многих ситуациях волна распадается на части, например при взаимодействии с каким либо интерферометром. Эти части могут не иметь заметного перекрытия, потому частица будет локализована на одном гребне, а остальные останутся «пустыми». Они так же обладают импульсом и ощущают внешние потенциалы, но не переносят корпускул, а при наложении на волну содержащую частицу, повлияют на ее последующее движение.

Такие особенности модели вызывали критику: траектории выглядят «сюрреалистичными», и есть опасения, что пустая волна убьёт кота.

Но прогресс по поиску траекторий реальных частиц не стоит на месте: проводятся эксперименты, всяческие слабые измерения, предлагаются различные подходы, например, с учетом полуцелого спина или с попытками отловить спонтанную эмиссию. Дискуссии крутятся — формализм мутится проясняется. Стоит обратить внимание, что это всё свежатинка, так сказать, периферия науки!

Робко заглядывая вперед

When they do admit some ambiguity in the usual formulations, they are likely to insist that ordinary quantum mechanics is just fine ‘for all practical purposes’. I agree with them about that: ORDINARY QUANTUM MECHANICS (as far as I know) IS JUST FINE FOR ALL PRACTICAL PURPOSES. Even when I begin by insisting on this myself, and in capital letters, it is likely to be insisted on repeatedly in the course of the discussion. So it is convenient to have an abbreviation for the last phrase: FOR ALL PRACTICAL PURPOSES = FAPP.
J. Bell, Against ‘measurement’

Дэвид Бом никогда не утверждал, что его подход отметет все остальные варианты и останется единственным полезным. Он лишь хотел показать, что каузальная онтологичная теория для квантовой механики вполне реализуема. Во многом сыграло его мировоззрение, заключающееся во всеобщей взаимосвязи всего сущего, в том числе материи и разума. Помимо достижений в квантовой теории Бом осуществил вклад в нейропсихологию и теорию сознания. В поисках ответов на извечные вопросы он также ударился в мистицизм, восточную мудрость и панпсихизм, что тоже сыграло свою роль в предвзятом отношении научного сообщества к его работам. Некоторые даже только из-за этого причисляют теорию волны-пилота к фричеству.

Злобный слон тащит огромное Тай-Чи в европейскую философию. Родовой герб Нильса Бора

Как минимум теория Бома стоит внимания. В идеале ее, как и другие интерпретации, нужно включить в рабочие программы по квантовой механике, чтобы у неофитов была возможность рассматривать альтернативы, сравнивать и анализировать. Для домохозяек и фанатов научпопа интерпретации — это лишь повод поупражняться в демагогии, а для исследователя же — это набор аналогий и инструментов, которые полезны в фундаментальной науке.

Если вам нужно новое покрытие для сковородок или уточнение при моделировании лекарств, то сойдет и ортодоксальная интерпретация. Нет, я не умаляю успехов стандартного подхода — так предсказательная кристаллография показывает воистину потрясающие результаты. Но вот когда работаешь на стыке классики и квантового мира, уже приходится немного поизвращаться.

Да никто и не говорит, что нужно принять конкретный подход и только ему следовать. Можно их комбинировать, а то и создать свой. Так П. Холланд на основе работ Бома сформулировал более удобную версию интегралов по траекториям и собственную интерпретацию. Также, Хренников А.Ю. предлагает свою предквантовую классическую статистическую теорию поля. Там он использует подход к суперанализу, в рамках которого рассматриваются настоящие функции суперточек — отображений множеств с суперкоординатами.

‘Суперскость’ определяет градус эпичности

И вроде даже теория экспериментально проверяема. Правда там платой за детерминизм будет бесконечная размерность пространства. Зато тогда выходит, что квантовая механика — это классическая теория на бесконечномерном фазовом пространстве, описывающая гауссовы ансамбли бесконечномерных гармонических осцилляторов. Вот уж воистину, цивилизация пружин.

Дальнейшее чтиво

Статьи перебивать лень (их три дюжины набралось), но если кого сильно интересует, скину ссылку на облако. А так, достаточно книжек:

• The quantum theory of motion: an account of the de Broglie-Bohm causal interpretation of quantum mechanics / P.R. Holland, 1993 — одна из первых монографий по теме. Подробно разобраны все нужные формулы, игрушечные модели и совсем недетские задачи.
• Quantum dynamics with trajectories: introduction to quantum hydrodynamics / Robert E. Wyatt, 2005 — более общий подход к траекториям и к гидродинамике. Лично меня зацепила квазиклассика, а ля, броуновское моделирование для квантовой химии — будет хорошим трамплином к КТД.
• Applied Bohmian Mechanics From Nanoscale Systems to Cosmology / X. Oriols, J. Mompart, 2019 — внимательно читаем название и год выпуска. Ага! Помимо всех основ и техник моделирования, скажем, фотоионизации водорода, есть наметки на релятивизм и космологию. Ну а дальше пробегаемся по списку литературы, следим за деятельностью указанных научных групп и получаем новиночки из первых рук.
• Тем, кому интересно пощупать руками формулы и попробовать закодить, можно посоветовать наброски в следующей части

Ну а после расшаривания всех ссылок и ознакомления с литературой, уже можно оставить этот псевдофизический бред в “интерпретации”, отрезветь, заткнуться и считать.