Лабораторная работа по решению систем алгебраических уравнений

Отчет по лабораторной работе №2 на тему «Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«Ижевский государственный технический университет»

на тему «Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами»

по дисциплине «Вычислительная математика»

ст. преподаватель кафедры АСОИУ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Написать программу, реализующую алгоритмы:

а) метода простых итераций;

б) метода Зейделя.

с точностью e = 10-12.

В программе требуется:

1) предусмотреть приведение СЛАУ к виду, пригодному для итераций;

2) организовать проверку условия сходимости методов;

3) выбрать начальное приближение;

4) сделать априорную оценку количества шагов и подсчитать реальное количество шагов для достижения заданной точности указанных методов;

5) подсчитать апостериорные оценки методов.

Провести сравнительный анализ метода простых итераций и метода Зейделя.

2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

2.1 Итерационные методы решения СЛАУ

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Преобразуем систему (2) тем или иным способом (таких способов существует множество; некоторые из них будут рассмотрены ниже) к эквивалентной ей системе вида:

где x – тот же вектор неизвестных, a, b — некоторые новые матрица и вектор соответственно.

Эта система называется приведенной к нормальному виду. Она пригодна для итерационного процесса.

2.2 Методы простых итераций (МПИ) решения СЛАУ

Пусть система линейных алгебраических уравнений (2) приведена к нормальному виду (3) тем или иным способом. Решим ее методом простых итераций. Используя систему (3), можно определить последовательность приближений x(k) к неподвижной точке x* рекуррентным равенством

Итерационный процесс (4), начинающийся с некоторого вектора

x(0) =( x ,…, x)Т, будем называть методом простых итераций (МПИ).

Приближения к решению СЛАУ методом простых итераций могут быть записаны в виде следующей системы равенств:

(5)

Выбор начального приближения

Сходимость МПИ гарантирована при любом начальном векторе x(0). Очевидно, что итераций потребуется меньше, если x(0) ближе к решению x*. Если нет никакой информации о грубом решении задачи (3) или решении близкой задачи, то за x (0) обычно принимают вектор b свободных членов системы (3).

Способы приведения СЛАУ к нормальному виду

Для решения СЛАУ итерационными методами систему (2) нужно привести к эквивалентной ей системе (3), которая называется системой, приведенной к нормальному виду каким-либо способом. Рассмотрим их.

1. Если в матрице коэффициентов A наблюдается диагональное преобладание, т. е.

, j#i, i =1,2,…n,

то систему (3) можно получить, разделив уравнения системы на соответствующие диагональные элементы и выразив x1 через первое уравнение системы, x2 – через второе и т. д. В результате получим:

— новая матрица коэффициентов

— новый вектор свободных членов

2. Иногда выгоднее приводить систему (2) к виду (3) так, чтобы коэффициенты aii не были равны нулю.

Вообще, имея систему

, i = 1, 2, … n,

,

где # 0. Тогда исходная система эквивалентна нормальной системе:

, i =1, 2, … n,

где ; при i # j

	Вычисление это получение из входных данных нового знания
Как люди считали в старину и как считали цифры — часть 1 Математическое моделирование, численные методы Хорошо ли вы считаете? — считать приходится везде Необыкновенная арифметика — часть 1 Когда не следует пользоваться шаблонными приемами вычислений

Алгебра

Протоколы

Лабораторная_работа «Решение системы линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Матричные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Цель работы: приобрести навыки решения линейных алгебраических уравнений в среде Excel .

1. Изучить представленный ниже материал, повторить приведенные примеры

В общем виде система линейных алгебраических уравнений записывается следующим образом:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX = b , где

— матрица коэффициентов системы уравнений;

— вектор неизвестных; — вектор правых частей.

Метод обратной матрицы

Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к матрице А . Система уравнений примет вид:

Вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A -1 b .

В этом случае неизвестные x ₁ , x 2 ,…, x _n вычисляются по формуле:

где  – определитель матрицы A ;

 _I – определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i -го столбца вектором b.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на следующих примерах.

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

Матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

.

Введем эти данные в рабочий лист Excel (рисунок 12).

Рисунок 12 – Шаг 1 решения системы линейных уравнений

Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A . Для этого определим ячейки для хранения обратной матрицы, пусть это будут ячейки B6:E9.

Обратимся к мастеру функций, и выберем функцию МОБР , щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на следующем шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив . Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица — в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Если поле Массив заполнено, нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. Рабочий лист Excel примет вид, изображенный на рисунке 13.

Р
исунок 13 – Шаг 2 решения системы линейных уравнений

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b . Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и выберем функцию МУМНОЖ , предназначенную для умножения матриц. На втором шаге мастера функций в диалоговом окне введем в поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b ).

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор х и получить в результате вектор b . Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции = МУМНОЖ (В1:Е4;Н6:Н9), так как было описанной выше.

В
результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рисунке 13.

Рисунок 13 – Шаг 3 решения системы линейных уравнений матричным методом

Решим пример методом Крамера.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рисунок 14).

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I12= МОПРЕД (B11:E14) ,

I13= МОПРЕД (B16:E19),

I14= МОПРЕД (B21:E24) .

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 — вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу=I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Рисунок 14 — Решения системы линейных уравнений методом Крамера

2. Решить системы уравнений согласно вариантам с помощью обратной матрицы и методом Крамера.

При решении систем обязательно выполнить проверку.

Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Лабораторная работа: Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

о выполнении лабораторной работы № 5(2 часть)

«Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)»

студентки группы 2Н14 физического факультета

Дмитриевой Ирины Георгиевны

Задание 1 . Привести систему уравнений к итерационному виду.

Приведем ее к итерационному виду. Для этого поделим каждое уравнение на соответствующий диагональный элемент, мы можем так сделать, потому что диагональные элементы не равны нулю. После деления на соответствующий диагональный элемент каждое уравнение из первого уравнения системы выражаем , из второго —, из третьего, соответственно,-. Получаем эквивалентную систему исходной:

Эта система является системой приведенной к итерационному виду.

Задание 2. Проверить выполнение условия сходимости итерационного метода.

Проверим нашу систему на сходимость. Это проверяется следующими тремя условиями:

1.

2.

3.

Для этого я воспользуюсь одним из условий сходимости для метода простой итерации, например, третьим, которое говорит о том, что сумма квадратов всех коэффициентов при неизвестных в правой части системы должна быть меньше единицы.

Оно записывается в следующем виде:

Проведем соответствующие вычисления:

Из проделанных вычислений можно сделать вывод, что наша система является сходящейся.

Задание 3. Составить программу на языке С++ для решения приведенной системы с заданной тонностью указанным методом. Округлить результат с заданной точностью.

Для реализации метода простой итерации нам для начала необходимо проверить нашу систему на выполнение условия сходимости.

Проверяем ее мы с помощью условия:

Если это условие сходимости по евклидовой метрике выполняется, то мы можем приступать к дальнейшей реализации метода простой итерации. Далее мы оцениваем точность нашего метода. Она оценивается по следующей формуле:

В результате реализации программы получили следующие ответы:

n1, n2, n3 — количество итераций.

Задание 4. Сравнить результаты выполнения задания 3 с результатами решения заданной системы прямыми методами (лабораторная работа 5). Сделать выводы по результатам работы.

В предыдущей лабораторной работе получила следующие корни, с точностью до десяти цифр:

Сравним результаты, полученные в лабораторной работе 5(часть 1), с результатами задания 3 этой лабораторной работы(2 часть):

ξ=0.001

Сравнив результаты системы, полученные при решении итерационным методом и прямым методом, можно сказать, что они практически не отличаются. Разница заметна лишь из-за того, что в прямом методе мы не округляли, а в итерационном мы пользуемся функцией округления. Корни отличаются на незначительно малое число.