Лабораторная работа решение квадратных уравнений

Исследовательская работа по алгебре 8 класс «Различные способы решения квадратных уравнений»

Человечество прошло длинный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание всё более полным и совершенным.

Уравнения – язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа по алгебре 8 класс «Различные способы решения квадратных уравнений»»

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Глава 1.Квадратные уравнения: из древности до наших дней 4

Глава 2. Тезаурус по теме.

2.1. Определение квадратного уравнения и его виды 8

2.2. Решение квадратного уравнения общеизвестными способами 9

Глава 3. Способы решения квадратных уравнений, отличные от традиционных

3.1. Метод выделения полного квадрата

3.2. Решения уравнений способом «переброски». 12

3.3. Учёт свойств коэффициентов квадратного уравнения…………………. 13

3.4. Решение квадратного уравнения графическим способом………………. 15

3.5. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки………. 16

3.6. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………..18

3.7. Геометрический способ решения квадратных уравнений…………………19

3.8.Решение уравнений с использованием теоремы Безу……………. 20

Глава 4.Разработка буклета памятки………………….…………………………..22

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Сегодня все пространство окружающее современного человека связано с математикой. А постоянные открытия в физике, технике и информационных технологиях говорят о том, что этот процесс постоянно растет . Поэтому решение многих практических задач сводится к различным уравнениям, и очень часто эти уравнения являются квадратными.

В школьном курсе рассматривается несколько типов квадратных уравнений, и способы их решения по формулам. Вместе с тем, современные научно—методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Выбор способа должен оставаться за учащимися. Каждый ученик должен уметь верно и главное рационально решать квадратные уравнения. Так как в некоторых случаях можно решать их устно, только для этого необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который может пригодиться во время экзаменов (ОГЭ и ЕГЭ, учитывая ограниченность экзамена во времени), при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.

Таким образом, возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет актуальность проблемы выполненной работы.

Целью работы является выявление способов решения уравнений второй степени, отличных от изучаемых в школьной программе и оценка их с точки зрения удобства применения.

1)Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом.

2)Описать технологии различных существующих способов решения уравнений второй степени.

3)Провести анализ этих способов, сравнить их.

4)Привести примеры применения различных способов решения уравнений.

5)Составить буклет-памятку со всеми изученными способами решения квадратных уравнений.

Объект исследования: уравнения второй степени.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

ГЛАВА 1. Квадратные уравнения: из древности до наших дней

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000лет до нашей эры вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, как неполных, так и, полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VIIв.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме.В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

«Квадраты равны числу», т. е. ax 2 =c (5x 2 =80).

«Квадраты и числа равны корням», т. е. ax 2 +c=bx (х 2 + 10х=39).

«Квадраты и корни равны числу», т. е. ax 2 +bx=c (x 2 +21=10x).

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVIIв., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники 16-17вв. и частично 18.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 +bх=с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c , было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых вXVIв. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь вXVIIв. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была сформулирована им впервые в 1591г.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета ещё далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Глава 2. Тезаурус по теме.

2.1. Определение квадратного уравнения и его виды.

1) Алгоритм – точное предписание (правило) о выполнении в определенном порядке указанных операций (шагов алгоритма), позволяющее решать все задачи определенного вида.

2) Квадратным уравнением называют уравнения вида:

а – первый или старший коэффициент;

b – второй коэффициент или коэффициент при х;

с – свободный член.

3) Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1;квадратное уравнение называют непереведенным, если старший коэффициент отличается от 1.

4)Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

5) Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

2.2. Решение квадратного уравнения общеизвестными способами.

Разложение левой части уравнения на множители.

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению.

Решим уравнение х 2 +10х-24=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Х 2 +10х-24=х 2 +12х-2х-24=х(х+12)-2(х+12)=(х+12)(х-2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х=2,а уравнение х 2 +10х-24=0.

Решение квадратного уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения ax 2 +bx+c=0 , а ≠ 0, на 4а и, следовательно, имеем :

4а 2 х 2 +4аbc+4ac=0

((2ax) 2 +2ax ∙ b + b 2 )-b 2 +4ac=0

2ax+b = ±

2ax =-b ±

X_1,2=

Выражение b 2 — 4 ac называют дискриминантом и обозначают D, причем

Если D0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два различных корня;

Если D=0, то два одинаковых корня;

Решение уравнений с использование теоремы Виета (прямой и обратной)

1)Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид:

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

А) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p0, то оба корня отрицательные, если p

х 2 -3x+2=0; x₁ = 2 b x₂=1, так как q = 20 и q = 2 0 и p = – 3

х 2 +8х + 7 = 0; х₁ = – 7 и х₂ = – 1, так как q = 7 0 и p = 8 0.

Б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0. Например, х 2 + 4х – 5 = 0; х₁ = – 5 и х₂ = 1, так как q = – 5 0; х 2 – 8х – 9 = 0; х₁ = 9 и х₂ = – 1, так как q = – 90.

2) Теорема Виета для квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 имеет вид :

х₁х₂ = ,

х₁+х₂ = — .

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Решить уравнение x 2 -9x+14=0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂, такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

Решить уравнение : x 2 +3x-28

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

Нетрудно заметить, что такими числами будут — 7 и 4. Они и являются корнями данного уравнения.

Глава 3. Способы решения квадратных уравнений, отличные от традиционных

3.1. Метод выделения полного квадрата

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2 • х • 3 .

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х и 3. Поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , т.к.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 +6х-7=х 2 +2• х • 3 +3 2 — 3 2 -7= (х+3) 2 — 9 -7= (х+3) 2 -16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х+ 3) 2 -16 = 0, т.е. (х+ 3) 2 = 1б.

Следовательно, х + 3 = 4, х ₁= 1, или х +3 = -4 , х₂ = — 7.

3.2 Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 +Ьх+ с= 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + аЬх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

равносильному данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получим х₁ = и х₂ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как 6ы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

2х 2 — 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме у₁ = 6 х₁ = х₁ = 3

У₂ = 5 х₂ = х₂ = 2,5

3.3. Учёт свойств коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + Ьх + с = 0,а≠0.

1. Если, а + Ь + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то

х₁=1, х₂= .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведённое квадратное уравнение: х 2 + х + = 0.

Согласно теореме Виета x₁ + x₂ = —

x₁x₂ =

По условию, а + Ь + с = 0, откуда Ь = — a — с. Значит,

x₁ + x₂ = — = 1 +

x₁x₂ = 1 •

Получаем x₁ = 1, x₂ = , что и требовалось доказать.

2. Если, a — b + c = 0, или b = a + c, то x₁ = — 1, x₂ = — .

Доказательство. По теореме Виета

x₁ + x₂ = —

x₁x₂ =

По условию, a — b + c = 0, откуда b = a + c . Таким образом,

x_{1 +} x₂ = — = -1 —

т.е. х₁ = -1 и х₂ = , что и требовалось доказать.

1.Решим уравнение 345х 2 —137х — 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х₁ = 1, х₂ = = .

2. Решим уравнение 132x 2 + 247x + 115 = 0

Решение. Т.к. a – b + c = 0 (132 — 247 + 115 = 0 ), то x₁ = -1, x₂ = —

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

X_1,2 = можно записать в виде х_1,2 =

Решим уравнение 3x 2 – 14x + 16 = 0

Решение. Имеем : a = 3, b = — 14, c = 16, k = — 7;

D=k 2 – ac = (-7) 2 – 3 • 16 = 49 -48 =1, D 0 , два различных корня ;

В. Приведенное уравнение х 2 + px + q = 0

Совпадает с уравнением общего вида, в котором a=1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

X_1,2 =

принимает вид: x_1,2 = , или x_1,2 = — 2 – q. (2).

Формулу (2) особенно удобно использовать, когда p – чётное число.

1. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х_1,2 = 7 ± = 7 ± = 7 ± 8

3.4. Решение квадратного уравнения графическим способом

Если в уравнении : х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px – q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи :

-прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут качаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

-прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим графически уравнение : х 2 — 3х — 4 = 0

Решение. Запишем уравнение в виде : х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х₁ = -1 и х₂ = 4.

3.5. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы не всегда удобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точность получаемых результатов невелика. Существует способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ — корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х₁х₂/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS SK, или R a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках В (х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох в точке В (х₁; 0), где х₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

3.6. Решение квадратных уравнений с помощью номограмм

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициент там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Если дано полное квадратное уравнение, то его надо привести к приведенному квадратному уравнению z 2 + pz + q = 0

Затем второй коэффициент и свободный член из уравнения отметить на соответствующих осях p и q, полученные точки соединить прямой.

Прямая пересекает кривую шкалу в двух точках – корнях данного уравнения, если корни положительные.

Если уравнение имеет корни разного знака, то прямая пересечет кривую шкалу в одной точке – это положительный корень. Отрицательный корень находят, вычитая положительный корень из –p.

Если же корни отрицательные, то по номограмме находят два положительных корня t₁ и t₂ для уравнения z 2 – pz + q = 0, а для уравнения z 2 + pz + q = 0 корнями будут z₁ = -t₁, z₂ = -t₂

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z₁ = 8,0 и z₂ = 1,0

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5.

3) Для уравнения z 2 — 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t 2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t₁ = 0,6 и t₂ = 4,4, откуда z₁ = 5t₁ = 3,0 и z₂ = 5t₂ = 22,0.

3.7. Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми. Уравнение х 2 + 10х = 39

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39».

Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – четыре прямоугольника высотой . В углах фигуры построим четыре квадрата со стороной . В углах фигуры построим четыре квадрата .

Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:

X 2 + 4 • • ( ) 2 = x 2 + 10x + ( ) 2 • 4

По условию x 2 + 10x = 39, т.е. площадь большого квадрата равна

39 + ( ) 2 • 4 = 39 + + 25 =64.

Значит, его сторона равна 8, тогда x + 2 • ( ) = 8, x = 3 (Ал–Хорезми не признавал отрицательных чисел)

А вот, например, как древние греки решали уравнение y 2 + 6y – 16 = 0

Решение представлено на рис., где у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8.

3.8. Решение уравнений с использованием теоремы Безу

Теорема Безу. Если уравнение a₀x n + a₁x n -1 … + a_n_-1x + a_n = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободный член.

Следствие 2: Если b является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на (x-b) без остатка.

Теорема Безу даёт возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше.

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приёмом – он называется понижением степени – можно найти все корни заданного многочлена.

Решить квадратное уравнение: х 2 – 4х + 3 = 0

Делители свободного члена ±1, ±3.

Проверим 1, подставив в уравнение 1 – 4 + 3 = 0. Значит 1 – это корень данного уравнения. Тогда квадратный трёхчлен х 2 — 4х + 3 делится нацело на (х-1).

Разделим f(x) на (x-1), получим:

Х 2 – 4х + 3 = (х-1)(х-3)

В ходе выполнения работы с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, стало очевидным, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Некоторые ( такие как, решение с использованием теоремы Безу и решение с помощью циркуля и линейки) удобно применять, когда коэффициенты невелики, другие – допускают большие коэффициенты ( например, учёт коэффициентов): графический не всегда точен, а геометрический понятен, но громоздок. Можно сделать вывод , что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения.

Составление буклета-памятки, обобщить способы решения квадратных уравнений, которые не изучают в школе. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

Данные буклеты я раздам одноклассникам и ученикам других классов. Они могут воспользоваться собранными в буклет-памятку материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую провести опрос, насколько интересна информация, предложенная в буклете, и используют ли они данные способы для решения квадратных уравнений, если да, то какой способ они считают наиболее простым и понятным.

1.Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. – М., Просвещение, 1990. С. 83.

2.Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1972.

3.Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М., Квант, № 4/72. С. 34.

4.Соломник В.С., Милов П.И. Сборник задач по алгебре и элементарными функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М., Просвещение, 1970.

Методические рекомендации по изучению тем: 1. Квадратные уравнения. 2. Квадратичная функция. 3. Квадратные неравенства методом УДЕ

Разделы: Математика

Введение
“Противопоставление облегчает и ускоряет наше здоровое мышление”
Академик И.Павлов“В каждый момент – в нашем мозгу происходит развертывание впечатлений, сопоставление наблюдений с уже известными образами. Отличительная особенность этого состоит в широком, использовании аналогий и прототипов”
Академик И. Пригожин

Все согласны с тем, что нет “царского пути в математику”. Много труда в терпения, настойчивости и внимания требуется от учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный минимум знание по этому предмету.
Мы привыкли сейчас к открытиям, одно поразительнее другого:
изобретены лазеры и голография;
расшифрован код наследственности;
синтезирован ген;
научались выращивать копии животных.
Недалеко, видимо, то время, когда и в психологии в педагогике будут найдены такие средства обучения, эффективность которых трудно сейчас представить.
Н.Е. Жуковский имел основания считать, что методы обучения математике можно сделать столь совершенными, что ее будет понимать “всякий желающий из публики”.
Добиться того, чтобы человек за меньшее, чем прежде, время овладел большим объемом основательных и действенных знаний, – такова одна из главных забот современной педагогики.
Нередко структура учебника математики определяет лишь формально – логическими связями самой науки математики, вне учета закономерностей усвоения математических знаний.
Между тем средства формальной логики ограничены, они упорядочивают отвлеченные результаты мышления, но никак не сам процесс мышления, к этим результатам приводящий.
Формально – логические соображения не только не являются единственными, но и не являются главными при решении вопросов методики: дело в том, что категории формальной логики не учитывают фактора времени, учет которого являются важнейшем элементом для совершенствования процесса обучения.
Как при изобретении новых механизмов, так и при конструировании новых методов обучения исходным толчком к удачным находкам и обобщениям могут стать соображения, связанные с любой из указанных наук. Это человек для удобства создал разные науки, а “природа не знает деления на науки”.
Укрупненная дидактическая единица – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостностями, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.
Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общо, оно вбирает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:
совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);
обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств т.п.);
рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);
обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;
реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами).
Общность выводов теоретического анализа позволяет предвидеть и выгоды переноса указанной методической системы с младших классов на старшие, с математики на друга учебные предметы, от школьной практики в вузовскую дидактику.
Фактором, обеспечивающим высокое качество укрупненного знания, может выступить:
общий графический образ;
общность символов для группы формул;
наличие одних и тех же слов или словосочетаний в сравниваемых высказываниях, в цепи доказательств и в ткани развивающихся системных знаний, предыдущие и последующие во времени звенья должны иметь, как правило, больше общих носителей информации, начиная, с возможно более низкого, кода.
Цели: формирование умения решать квадратные уравнения и неравенства, строить графики квадратичных функций, развитие самостоятельного и творческого мышления, воспитание самостоятельной и творческой личности, потребности к учению.
Задачи:
изучить одновременно взаимообратные действия и операции;
обеспечить единство процессов составления и решения уравнений, неравенств;
сформировать общеучебные, интеллектуальные практические умения.
Тематическое планирование курса алгебры 8-го класса
(3 ч. в неделю, всего 102 часа)
Сейчас существует множество учебников я методических рекомендаций по изучению “Алгебры 7-11 кл.”. Учителю в данной сфере важно выбрать для своих учеников наиболее оптимальный и адаптированный вариант для контингента учащихся данного класса. А самое главное, расположить изучаемый материал в логической последовательности, чтобы повысить эффективность и качество усвоения изучаемого материала. Так например, можно укрупнить и преподать в логической цепи такие темы “Линейная функция. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств”. Мне бы хотелось остановиться на изложении следующих тем “Квадратные уравнения Квадратичная функция. Квадратные неравенства”.
Примерное тематическое планирование курса алгебры 8 класса
(3 часа в неделю, всего 102 часа)
15 ч.
18 ч.
12 ч.
20 ч.
17 ч.
13 ч.
7 ч.
Приближенные вычисления
Квадратные корни
Иррациональные числа
Квадратные уравнения
Квадратичная функция
Квадратные неравенства
Итоговое повторение
Планирование тем в такой последовательности предусматривает работу учащихся 8 классов по учебнику О.П. Эрдниева, П.М. Эрдниева “Математика” 8 класс.
Изучение темы “Квадратные уравнения” начинается с III четверти, на которую я отвожу – 20ч.
Вид квадратных уравнений с заданными корнями. Решение неполных квадратных уравнений.
Решение приведенных квадратных уравнений т. Виета
Решение полных квадратных уравнений т. Виета
Решение биквадратных уравнений
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Обобщающий урок
Контрольная работа
– 3 ч.
– 4 ч.
– 4 ч.
– 3 ч.
– 4 ч
– 1 ч.
– 1 ч.
Важно, что на обобщающем уроке учащиеся вместе с учителем систематизируют и упорядочивают всю информацию по решению квадратных уравнений, заполнив следующую таблицу:
Виды квадратных уравнений
ах2+bx+c=0Если b=0 или c=0, то уравнение имеет вид ax 2 +c=0; ax 2 +bx=0 и называется
неполнымЕсли a=1, то уравнение имеет вид x 2 +px+q=0 и называется
приведеннымЕсли b, c, a ? 0, то уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и называется
полным
Формулы корней квадратных уравнений1. ax 2 +bx=0
x(ax+b)=0
x₁=0, или x₂=-b/a
(2-а корня)
2. ax 2 +c=0
ax 2 =-c
x 2 =-c/a
x_1,2= ±
если –c/a >0
(2 корня)
если –c/a 0
ax 2 -c=0
x 2 -c/a=0
(x-)(x+)=0
x₁=- или x₂=x 2 +px+q=0
x_1,2=-p/2±
если p 2 /4-q>0, то 2 корня
если p 2 /4-q=0, то 1 корень
если p 2 /4-q 2 +bx+c=0
x_1,2=
b 2 -4ac=D – называется дискриминант
если D>0, то 2 корня
если D=0, то 1 корень
если D 2 +px+q=0
x₁+x₂=-p
x_1? x₂=qax 2 +bx+c=0
a
a
x₁+x₂=-b/a
x_1? x₂=c/bСумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятом с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
На изучение темы “Квадратичная функция” отвожу 17 часов и распределяю материал следующим образом:
График квадратичной функции у = ах 2
Построение графика функции у = ах 2 + bх + с переносом графика функции у = ах 2 . Применение метода неопределенных коэффициентов
Построение графика квадратного трехчлена выделением полного квадрата
Координаты вершины параболы
Исследование квадратного трехчлена
Обобщающей урок
Контрольная работа
2 часа
4 часа
4 часа
2 часа
3 часа
1 час
1 час
Можно изучение квадратичной функции вида у = ах 2 провести в форме лабораторной работы. Урок можно построить следующим образом.

Урок №1-2
Тема: Функция у = ах 2

Цель: Построение функции у = ах 2 , свойства данной функции; построение графиков функции вида у = ах 2 , изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Ход урока

1. Построение графика функции у = ах 2 , изучения ее свойства

Рассмотрим функцию у = ах 2 , то есть квадратичную функцию у = ах 2 +bх+с при a= 1, b =с = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений:

x	± 4	± 3	± 2	± 1	± 0,5	0
y=ax 2	16	9	4	1	0,25	0

Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кривой, получим график функции у = ах 2 .

Кривая, являющаяся графиком функции у = ах 2 , называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у = ах 2 .

значениями аргумента (абсциссами) могут быть любые числа. Говорят, областью изменения аргумента является множество действительных чисел;
график функции у = ах 2 симметричен относительно оси ординат, то есть, ось ординат является осью симметрии параболы;
парабола у = ах 3 проходит через начало координат, то есть, парабола у = ах 3 касается оси абсцисс в точке (0;0), которая является вершиной параболы;
функция у = аx 2 является возрастающей на промежутке х>0.
функция у = ах 2 является убывающей на промежутке х 2

Цель: изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Оборудование:

Матрица “Расположение и форма параболы у = ах 2 в зависимости от значения коэффициента а”.
Таблицы функции у = х 2 _, у = 2х 2 , у = 0,5х 2 .
Маркеры трех цветов (красный, зеленый, синий).

I часть

1. Построить таблицу значений функций у = ах 2 , а>0.

a) y=0,5x 2

b) y=x 2

c) y=2x 2

аргумент	x	0	± 1	± 2	± 3	значение a
функция	y=ax 2
(e₁)	y=0,5x 2	0	0,5	2	4,5	a=0,5
(e₂)	y=x 2	0	1	4	9	a=1
(e₃)	y=2x 2	0	2	8	18	a=2

2. Построим на одном чертеже графики трех данных функция е₁ – у=0,5х 2 – синим цветом; е₂— у=х 2 – красным цветом; и е₃ – у=2x 2 – зеленым цветом.

3.. Учащееся сравнивают положение графиков функции вида у = ах 2 (а>0) и отмечают чем похожи все три параболы:

а) они имеют одинаковую форму;
б) ветви парабол неограниченно стремятся ветвями вверх;
в) ветви всех парабол симметричны относительно оси ординат 0_у;
г) все эти параболы имеют самую низкую общую точку (0; 0), т.е. функция имеет минимум.

4. Чем отличаются положения графиков функций вида функции у = ах 2 (а>0):
функция вида у=ах 2 (а>О) возрастает тем круче (а соответствующая парабола тем быстрее поднимается вверх), чем больше коэффициент при х 2

II часть

5. Сравнить графики двух функций вида у = ах 2 (например, у = 0,5 х 2 и у = – 0,5 х 2 ), у которых коэффициентами а являются противоположные числа 0,5 и – 0,5.

6. Построить таблицу значений функций у = 0,5х 2 и у = -0,5х 2

Абсцисса	±1	±2	±3	±4
y=0,5x 2 (e₁)	0,5	2	1,5	8
y=-0,5x 2 (e₁ 1 )	-0,5	-2	-1,5	-8

7. Достроим в той же таблице недостающий график функции у = -0,5х 2 (см. таблицу)

8. Сравнить положения графиков функции у = 0,5х 2 и y=-0,5x 2

а) точка О (0; 0) есть самая низшая точка параболы у = 0,5 х 2 и наибольшая параболы у=-0,5х 2
б) графики (e₁ и e₁ 1 ) двух функций у = 0,5х 2 и у = – 0,5х 2 симметричны друг другу относительно оси абсцисс.

9. Чем отличаются положение графиков функций вида у=0,5x 2 ,у=-0,5х 2

Запомним важное правило:

Если в уравнении квадратичной функции у=ах 2 коэффициент, то парабола неограниченно стремится ветвями

Верно и обратное:

Если парабола стремится ветвями , то коэффициент a в уравнении квадратичной функции y=ax 2

y=0,5x 2l₂

y=x 2l₃

y=2x 2a>0

После прохождения всех способов построения графика функции у =ах 2 +bх+с переносом графика функции у=ах 2 можно провести урок по решению взаимно обратных задач: по заданному графику составить уравнение функции и обратные задачи – это по заданному уравнению функции у = ах 2 +bх+с построить её график. На этом же уроке необходимо завершить работу над матрицей “Взаимное расположение квадратной функции у=ах 2 +bх+с относительно оси абсцисс”.

Урок №10

Тема: Построение графика функций у=ах 2 +bх+с переносом графика функций у=ах 2

Цель:

Закрепление навыков учащихся по построению графиков функций вида у=ах 2 +bх+с, выполнение обратных задач, завершение работы над матрицей.
Формирование умения выделять существенные признаки и свойства функция вида у=ах 2 +bх+c и построение её графика
Воспитание положительного отношения к знаниям.

I. Устная работа

Назовите основные свойства функции у=ах 2 ?
Как можно записать квадратичную функцию?
Что значит, построить график функции у=ax 2 +bx+c?
Что нужно вычислять в первую очередь при построении графика функции у=ax 2 +bx+c?
Сколько вы знаете способов их нахождения?

II. Выполнение заданий на чтение графиков

Задача: По заданному графику составить уравнение функции. (У доски работают трое учащихся, выполняют задания по трём заданным графикам).

Урок — лабораторная работа 8 класс «Свойства коэффициентов квадратного уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Свойства коэффициентов 8кл.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

ЭТО НЕОБЫЧНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У.У. Сойер (английский математик XX века)

О чем свидетельствуют клинописные тексты Вавилонские глиняные таблички с решениями задач в виде уравнений (около 2 тысяч лет до н.э.) — самые ранние свидетельства об изучении квадратных уравнений.

От древних греков до Ньютона

Десять способов решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по формуле Разложение левой части уравнения на множители Теорема Виета Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента Метод выделения полного квадрата Графический способ решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Геометрический способ решения квадратных уравнений

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1= 1, х2 = Если b = а + с, то х1= – 1, х2 = –

Графический способ решения квадратных уравнений Решим графически уравнение ах2 + bx +с = 0 Построим графики функций y = ax2 и y = — bx — c одной системе координат х1 и х2 – корни уравнения ах2

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 1. Выберем систему координат. 2. Построим точки– центр окружности и А(0; 1). 3. Проведем окружность с радиусом SA. Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения.

При этом возможны случаи

Выбранный для просмотра документ УРОК 8 класс.docx

Острянина Ирина Витальевна

учитель математики первой категории

Новоишимской СШ №2

Района имени Габита Мусрепова

Алгебра 8 класс

Тип урока : лабораторная работа

Тема: Решение квадратных уравнений. (Урок является последним в теме «Решение квадратных уравнений по формулам корней», теорему Виета учащиеся будут изучать на следующем уроке).

1. Выявление свойств коэффициентов квадратного уравнения.

2. Использование выявленных свойств при решении квадратных уравнений.

3. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

Задачи урока: обучающие и развивающие:

Проанализировать влияние коэффициентов на решение квадратного уравнения.

Исследовать сумму коэффициентов квадратного уравнения, закономерностей корней.

Исследовать влияние коэффициентов на знаки корней квадратного уравнения.

Нахождение корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

Развивать логическое мышление, математическую речь, мышление, память.

Воспитывать творческую личность, прививать интерес к предмету, к исследовательской деятельности.

Раздаточный материал: ход лабораторной работы, набор уравнений, задания ВОУД.

I этап: Актуализация

При решении текстовых задач с несколькими неизвестными используется алгебраический метод решения, т.е. составление и решение уравнений. Многие задачи приводят к квадратным уравнениям. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры. Современные обозначения и решение квадратных уравнений были найдены в трудах Леонардо Фибоначчи, Михаила Штифеля, Рене Декарта, Исаака Ньютона и Франсуа Виета.

Решение квадратных уравнений по формулам связано с вычислениями выражений, зависящих только от значений коэффициентов квадратного уравнения; с помощью теоремы Виета корни квадратного уравнения могут быть найдены подбором, могут быть определены знаки корней, но многие свойства коэффициентов не отражены в школьных учебниках математики, а зная их, можно экономить время и эффективно решать уравнения.

II этап: Анализ домашней работы: Наибольшее число ошибок допускается при нахождении дискриминанта, а именно в произведении 4ас неверно определяется знак «-» или «+».

Повторим материал 6 класса: если в произведении чётное число отрицательных множителей, то ставится знак «+», если в произведении нечётное число отрицательных множителей, то ставится знак «-». Примечание: число 4 формуле имеет знак «-».

D = b – 4 ас.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

Проверим: Решим: (устно)

D = 4 — 4 5 (-1)= 16+20=36

D = (-2) — 4 16 (-5)= 4+320=324

D = (-36) — 4 28 11= 1296 — 1232= 64

D = 21 — 4 (-49) (-2)= 441-392=49

D =(–3) – 4 (-2) (-1) =

D = 6 – 4 9 1 =

D = 1 – 4 (-20) 1 =

III этап: лабораторная работа

Тема: Решение квадратных уравнений.

Цель: исследование свойств коэффициентов квадратного уравнения; существования наличия связей между коэффициентами квадратного уравнения, которые помогут более эффективно и экономично решать его.

Практическое нахождение корней уравнения с помощью циркуля и линейки.

Оборудование : набор квадратных уравнений, циркуль, линейка, карандаш.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Некоторые свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1 . Если а и с имеют противоположные знаки , то уравнение имеет действительные корни. А именно:

Если с – положительное число корни имеют одинаковые знаки (в 0, то корни отрицательные).

Если с – отрицательное число корни имеют противоположные знаки ( в>0, то корень больший по модулю отрицательный).

Выполнить задание: тесты ВОУД

Если а + в + с = 0 , то х = 1, х = .

а+ b + c = 0, х = 1, х = . 1+ 4+(–5)= 0.

Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D = b – 4 ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36.

х = = = – 5.

х = = = 1.

Если а + с = в , то х = –1, х =

Если b = а+ c , то х = –1, х = . 8 =2 +6.

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D = b – 4 ас= 8 – 4∙2∙6= 16.

х = = = –3.

х = = = –1.

4. Закономерность коэффициентов:

х = – а ; х = – .

Пример. Рассмотрим уравнение 6 х 2 + 37 х +6 = 0.

х = –6; х = – .

х = а ; х = .

Пример. Рассмотрим уравнение 15 х 2 –226 х +15 = 0.

х = 15; х = – .

х = – а ; х = .

Пример. Рассмотрим уравнение 17 х 2 +288 х – 17 = 0.

х = –17; х = .

х = а ; х = – .

Пример. Рассмотрим уравнение 10 х 2 –99 х – 10 = 0. х = 10; х = – .

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический метод решения квадратных уравнений имеет существенные недостатки: он достаточно трудоёмкий, при этом точность построения кривых — парабол низка.

Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке , пересекающую ось y в точке C(0;1).

Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох – корни уравнения.

длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;

радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;

радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве нет.

Оценка : в течение урока по ходу решения уравнений: по тексту лабораторной работы, из набора, а также за задания ВОУД учащиеся получают карточки (см. приложения) и в конце урока каждый находит среднее арифметическое своих оценок.

1. Теоритический материал. х2 + рх + q = 0,

Рассмотреть приведённое квадратное уравнение, где р и q – любые числа отличные от нуля.

Если свободный член q приведённого квадратного уравнения положителен ( q > 0 ) , то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня

и это зависит от второго коэффициента р. Если р > 0 , то оба корня отрицательны ,

х – 14х + 48 = 0 х + 19х + 90 = 0

х = 6 , х =8 , х = -9 , х =-10

ОТВЕТ : 6; 8 ОТВЕТ : — 9 ; — 10

Если свободный член q приведённого квадратного уравнения отрицателен ( q , то уравнение имеет два различных по знаку корня ,

х – 2х — 15 = 0 х + 2х — 8 = 0

х = 5 , х =-3 х =-4 , х =2

ОТВЕТ : 5 ; -3 . ОТВЕТ : — 4 ; 2.

2. Решить квадратные урвнения с помощью циркуля и линейки

№ 121 (1,2) учебник для 8 класса «Алгебра» /А. Абылкасымова, И. Бекбоев , А. Абдиев, З. Жумагулова/.

3. Решить квадратные уравнения с использованием свойств коэффициентов :

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/563185

http://infourok.ru/material.html?mid=31942