Лабораторная работа решение систем уравнений

1. Решение нелинейных уравнений в MS Excel

1.1 Отделение корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x *, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ) , с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f ( x )= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

1.2 Решение уравнений, используя инструмент “Подбор параметра”

Используя возможности Excel , можно находить корни нелинейного уравнения вида f ( x )=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится вычисление значений функции в диапазоне вероятного существования корней от значений аргумента, изменяющегося с определенным шагом;

2. В таблице выделяются ближайшие приближения к значениям корней (пары соседних значений функции с разными знаками);

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения.

2. Работа с матрицами в MS Excel . Решение систем уравнений.

Нахождение определителя матрицы

Перед нахождением определителя необходимо ввести матрицу в диапазон ячеек Excel в виде таблицы.

Для нахождения определителя матрицы в Excel необходимо:

· сделать активной ячейку, в которой в последующем будет записан результат;

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОПРЕД и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы матрицы, и нажать OK .

Нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы матрицы ( количество строк и количество столбцов должны равняться соответствующим параметрам исходной матрицы).

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОБР и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы исходной матрицы, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Для перемножения матриц необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы результирующей матрицы.

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МУМНОЖ и нажать OK ;

· на втором шаге задать два диапазона ячеек с элементами перемножаемых матриц, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Решение системы уравнений в Excel .

Решение системы уравнений при помощи нахождения обратной матрицы.

Пусть дана линейная система уравнений.

Данную систему уравнений можно представить в матричной форме:

Матрица неизвестных вычисляется по формуле

где A -1 – обратная матрица по отношению к A .

Для вычисления уравнения в Excel необходимо:

· ввести матрицу A;

· ввести матрицу B;

· вычислить обратную матрицу по отношению к А ;

· перемножить полученную обратную матрицу с матрицей B .

Порядок выполнения работы

Задание 1

Найти все корни уравнения 2x 3 -15sin( x )+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

1. Построить таблицу значений функции f ( x ) для значений x от –3 до 3, шаг 0,2.

Для этого ввести первые два значения переменной x , выделить эти две ячейки, с помощью маркера автозаполнения размножить значения до 3.

Затем ввести формулу для вычисления f ( x ). Скопировать формулу с использованием маркера автозаполнения на весь столбец.

Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды меняет знак, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке три корня.

2. Выделить цветом пары значений x и f ( x ), где f ( x ) меняет знак (см .р исунок 2).

3. Построить график функции f ( x ).

Рисунок 2. Поиск приближенных значений корней уравнения

4. Скопировать рядом с таблицей произвольную пару выделенных значений x и f ( x ) (см .р исунок 3).

5. Выполнить команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 3) заполнить следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 3. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

6. После щелчка на ОК должно получиться значение первого корня -1,65793685 .

7. Выполнить последовательно операции, аналогичные предыдущим, для вычисления значений остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

Задание 2

Решить систему уравнений:

1. Ввести значения элементов матриц A и B уравнения в ячейки Excel .

2. Вычислить обратную матрицу с помощью матричной функции МОБР.

3. Перемножить обратную матрицу A -1 на матрицу B с помощью матричной функции МУМНОЖ (Порядок умножения важен ­– первой должна идти матрица A -1 а второй B .)

4. Проверить правильность полученной матрицы корней X .

Контрольные вопросы

1. Порядок действий для решения нелинейного уравнения с помощью инструмента Подбор параметра MS Excel .

2. Порядок действий для решения системы уравнений матричным методом в MS Excel .

Лабораторная работа: Решение уравнений, неравенств и их систем

Кафедра: Информационные Технологии

На тему: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ.

Москва, 2008 год

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

· знать команды, используемые при решении уравнений и их систем, неравенств и их систем в системе аналитических вычислений Maple;

· уметь применять указанные команды для решения математических задач.

Система аналитических вычислений Maple обладает возможностью решения алгебраических уравнений, неравенств и их систем как в аналитическом так и в численном виде. Для начала несколько подробнее остановимся на самих уравнениях и неравенствах.

Два выражения, соединенные знаком равенства (=), представляют самостоятельный тип данных Maple — уравнение(equation). Уравнения можно присваивать обычным переменным Maple, с уравнениями можно осуществлять преобразования, используя обычные арифметические действия, которые выполняются отдельно для левой и правой частей уравнений. Эти действия позволяют преобразовать уравнения к виду, удобному для использования, а иногда и облегчающему Maple поиск решения. Некоторые преобразования, которые можно осуществлять с уравнениями в системе Maple, приведены в примере 1.

Пример 1. Допустимые операции с уравнениями.

При проверке типа переменной, значением которой является уравнение, с помощью команды whattype () результатом является равенство =, означающее, что тип проверяемой переменной является уравнением.

Как и при задании уравнений два выражения, соединенные знаками >=(больше или равно), (больше) или (меньше), представляют новый тип — неравенство (inequation).

Пример 2. Неравенства.

> d-(h , либо a:=x^2+7*x+y^3=0;

В некоторых случаях команда solve() возвращает пустую последовательность NULL. Это означает, что решения или не существует, или Maple не удалось его найти. Если не удалось найти все решения, то глобальная переменная _SolutionsMayBeLost устанавливается равной true.

Последнее уравнение из примера 3. решалось без указания переменной, относительно которой следовало бы решать уравнение. Maple решил их относительно всех неизвестных величин, входящих в уравнение. Причем он выбрал неизвестную х в качестве параметра (х = х), а неизвестную переменную у выразил через введенный параметр х. Чтобы получить решение, следует параметру х присвоить произвольное значение, тогда значение неизвестной у будет определено однозначно.

В общем случае полиномиальное уравнение степени выше 4 может не иметь решения, выраженного с помощью радикалов. В этом случае для представления результатов Maple использует специальную функцию RootOf(), которая применяется для обозначения любого корня выражения, заданного в качестве ее параметра:

В этом примере функция RootOf (_Z + 2 cos(_Z)) представляет любое решение уравнения _Z + 2 cos(_Z) =0. Переменная _Z – это системная переменная, сгенерированная Maple, которая всего лишь заменяет переменную х нашего уравнения. Опция index со значением, равным целому числу, служит для нумерации и упорядочивания корней уравнения. Заметим, что с помощью функции evalf ( ) можно получить приближенные числовые значения функции RootOf.

С помощью команды solve() можно решать и тригонометрические

уравнения. По умолчанию Maple решает их на промежутке [–p, p]. Для получения всех решений тригонометрических уравнений следует задать значение глобальной переменной _EnvAllSolutions равным true. Использование глобальной переменной _EnvAllSolutions показано на следующем примере:

Originally _Z1, renamed _Z1

is assumed to be: integer

Originally _B1, renamed _B1

is assumed to be: OrProp(0,1)

Как видно, в случае _EnvAllSolutions:=true Maple действительно строит все решения тригонометрического уравнения с использованием целочисленной системной переменной _Z1

) означает, что на значения переменной наложены некоторые ограничения. В данном случае эта переменная может принимать только целочисленные значения. (В этом можно убедиться, выполнив команду about(_Z1).) Подобные переменные используются Maple для представления всех решений тригонометрических уравнений. Префикс _Zв имени переменной, сгенерированной Марlе, служит указанием того, что эта переменная может принимать только целые значения. Кроме указанных переменных также используются переменные с префиксом _NN, принимающие неотрицательные целые значения, и префиксом _B, для представления переменных с двоичной областью значении (0 или 1).

Для систем аналитических вычислений решение любого трансцендентного уравнения, в том числе и тригонометрического, достаточно сложная и серьезная проблема. Бывает, что простое трансцендентное уравнение может и не решаться в Maple. Здесь следует помнить о том, что Maple использует алгоритмический подход для решения уравнений, и, возможно, ему следует помочь, сделав кое-какие не стандартные преобразования уравнения, приведя его к другому виду.

Обычно, решив уравнение или систему уравнений, мы осуществляем проверку полученного решения, подставляя его в исходное уравнение или систему. Точно также следует поступать и при работе в Maple. Для проверки решений можно использовать функцию eval( ):

Из примера видно, что последовательность множеств, представляющих два полученных решения, сохранена в переменной answ. Для проверки правильности полученных решений, подставляем эти решения в исходную систему и вычисляем полученные выражения с помощью команды eval(). В результате вычисления системы уравнений на двух полученных решениях мы получили тождества, что говорит о правильности наших решений. Если для дальнейших вычислений необходимо иметь значения первого решения в виде отдельных переменных, то той же самой командой eval () можно извлечь их, вычислив, соответственно, неизвестную х и у на первом решении:

Для проверки решения можно использовать функцию mар() вместе с функцией subs(), которая за одну операцию проверит все решения. Это удобно, когда решений очень много и для каждого из них пришлось бы выполнять команду eval(), если использовать предыдущий подход. Для решения нашей системы вызов команды mар() выглядит так:

Команда solve () может решать неопределенные системы уравнений, в которых количество уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае система Maple сама решает, какие из неизвестных принять за параметры, а какие за неизвестные, относительно которых следует строить решение:

Здесь решение получено в параметрической форме относительно неизвестных y, t и z, которые выбраны системой. Можно явно указать, относительно каких неизвестных следует решать систему уравнений, тогда оставшиеся будут рассматриваться как параметры:

В этом решении явно указаны неизвестные у и z, и полученное решение зависит от двух параметров х и t.

С помощью функции eval () можно вычислить значения решения при конкретных значениях параметров:

Бывает, что при решении систем уравнений ответ получается в виде множества уравнений, в которых левая часть является неизвестной переменной. Чтобы присвоить найденные значения переменным, относительно которых решалась система, следует применять команду assign(). Эта команда присваивает переменным, стоящим в левой части уравнений из множества решений, значения, равные правым частям. Можно сказать, что эта команда заменяет знак равенства (=) на знак операции присваивания (:=) во множестве, состоящем из уравнений, в которых левые части представлены неизвестными:

Если решение получено в виде последовательности выражений, то получить значение соответствующего решения можно с помощью индекса.

Напомним, что в приведенном примере Iозначает комплексную мнимую единицу, равную .

По умолчанию Maple пытается найти аналитическое выражение для корней уравнения. Если это не удается, то, как отмечалось выше, в области вывода ничего не печатается. В подобных случаях (если корни действительно существуют) можно воспользоваться командой fsolve(), которая находит численное решение уравнения или системы уравнений. Формат команды отличается от формата команды solve() наличием третьего параметра опция:

fsolve (уравнения, переменные, опция);

Задание первых двух параметров соответствует заданию аналогичных параметров в командеsolve(), а параметр опция может принимать значения из таблицы 1.

Таблица 1. Значения параметра опцuя команды fsolve ( )

Для произвольного уравнения по умолчанию эта функция находит одно решение, но для полиномов определяются все действительные корни. Для нахождения всех корней полинома, включая комплексные, следует задать опцию complex. В примере 4 показано использование команды численного решения уравнений.

Пример 4. Численное решение уравнений.

Здесь также показано, как можно последовательно находить корни произвольного уравнения, задавая интервал изменения неизвестной величины с учетом полученного решения на предыдущем шаге нахождения корня (последние три команды).

4. Другие команды решения уравнений

Кроме универсальных команд solve () и fsolve () решения уравнений и систем уравнений, система Maple содержит специализированные команды, предназначенные либо для решения определенного класса уравнений, либо нахождения решений в заданном числовом поле. Здесь эти команды описаны предельно кратко для того, чтобы читатель знал об их существовании. Более подробно об этих командах можно узнать в справочной системе Maple, выполнив команду ?имя_команды, где вместо параметра имя_команды следует подставить ее действительное имя.

Команда isolve () ищет все целые решения уравнений. Если в уравнении задано несколько неизвестных, то строится решение относительно всех заданных неизвестных.

Пример 5. Целочисленное решение уравнений.

В решении последнего уравнения примера 5 использована целочисленная переменная _Z1 сгенерированная Maple.

Команда msolve () также ищет целочисленные решения уравнения, но только по модулю, заданному вторым параметром.

Пример 6. Целочисленное решение уравнений по заданному целому модулю.

Команда rsolve () строит общее решение рекуррентного уравнения, используя начальные значения, если они заданы, или через их символьные обозначения, если они не заданы.

Пример 7. Решение рекуррентных уравнений.

> rsolve(,F(n)); # Без начальных условий

# Используя заданные начальные условия

5. Решение неравенств

Команда solve () используется для решения неравенств и систем неравенств в области вещественных чисел точно так же, как и для решения уравнений и систем уравнений. Ответ выражается либо в виде множества неравенств, либо через функции RealRange () и Open (). Первая определяет замкнутый отрезок действительных чисел, а вторая используется для указания того, что граничная точка не входит в построенное решение. Для задания решения в виде множества, следует задать в виде множества либо само неравенство, либо неизвестную, относительно которой ищется решение. Если этого не сделать, то ответ будет получен с использованием указанных функций определения действительных отрезков.

Пример 8. Решение неравенств.

В примере 8 решены два неравенства, для каждого из которых построено решение в виде множества и в форме действительных интервалов.

1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с.

2. Дьяконов В.П. Математическая система MapleV. – М.: Издательство “Солон”,1998.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с.

4. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:БХВ — Петербург, 2001.– 528 с.

5. Манзон Б.М. MapleVPowerEdition – М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”,1998г.

Лабораторная_работа «Решение системы линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Матричные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Цель работы: приобрести навыки решения линейных алгебраических уравнений в среде Excel .

1. Изучить представленный ниже материал, повторить приведенные примеры

В общем виде система линейных алгебраических уравнений записывается следующим образом:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX = b , где

— матрица коэффициентов системы уравнений;

— вектор неизвестных; — вектор правых частей.

Метод обратной матрицы

Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к матрице А . Система уравнений примет вид:

Вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A -1 b .

В этом случае неизвестные x ₁ , x 2 ,…, x _n вычисляются по формуле:

где  – определитель матрицы A ;

 _I – определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i -го столбца вектором b.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на следующих примерах.

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

Матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

.

Введем эти данные в рабочий лист Excel (рисунок 12).

Рисунок 12 – Шаг 1 решения системы линейных уравнений

Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A . Для этого определим ячейки для хранения обратной матрицы, пусть это будут ячейки B6:E9.

Обратимся к мастеру функций, и выберем функцию МОБР , щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на следующем шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив . Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица — в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Если поле Массив заполнено, нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. Рабочий лист Excel примет вид, изображенный на рисунке 13.

Р
исунок 13 – Шаг 2 решения системы линейных уравнений

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b . Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и выберем функцию МУМНОЖ , предназначенную для умножения матриц. На втором шаге мастера функций в диалоговом окне введем в поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b ).

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор х и получить в результате вектор b . Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции = МУМНОЖ (В1:Е4;Н6:Н9), так как было описанной выше.

В
результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рисунке 13.

Рисунок 13 – Шаг 3 решения системы линейных уравнений матричным методом

Решим пример методом Крамера.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рисунок 14).

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I12= МОПРЕД (B11:E14) ,

I13= МОПРЕД (B16:E19),

I14= МОПРЕД (B21:E24) .

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 — вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу=I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Рисунок 14 — Решения системы линейных уравнений методом Крамера

2. Решить системы уравнений согласно вариантам с помощью обратной матрицы и методом Крамера.

При решении систем обязательно выполнить проверку.

Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.