Лабораторные работы по методам численного решения уравнений

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра вычислительной техники

Лабораторная работа №1

по дисциплине «Вычислительная математика”

По теме: «Численные методы решения нелинейных уравнений”

Группа: АВТ-941 Преподаватель: Балакин В. В.

Студента: Ю дин Фёдор Александрович

Новосибирск, 2021 г

1. Описание задания . 3

1.1. Исходные данные. 3

1.2. Цели и задачи работы . 3

2. Описание методов. 3

2.1. Метод простых итераций . 3

2.2. Метод половинного деления. 4

2.3. Метод хорд и касательных . 4

3. Ход работы . 5

3.1. Метод простых итераций. Реализация в MathCAD . 5

3.2. Метод половинного деления. 6

3.3. Метод хорд и касательных . 7

4. Сравнение методов решения нелинейных уравнений по скорости. 8

1.1.Исходные данные

1.2.Цели и задачи работы

1. В соответствии с вариантом контрольного задания найти корни заданного нелинейного уравнения x + 2lg(x) = 1.45 с точностью 𝜀 = 0,0001 тремя методами:

• Методом простых итераций
• Методом касательных (метод Ньютона)
• Методом хорд и касательных

1. Для каждого метода исследовать обусловленность задачи (численного метода) и влияние заданной точности 𝜺 на число потребовавшихся итераций.
2. Сравнить методы по скорости сходимости и выбрать наиболее быстро сходящийся вычислительный процесс.
3. Применить и сформулировать рекомендации по использованию средств MathCAD для решения нелинейных уравнений.
4. Проанализировать результаты работы и сделать выводы.

2.Описание

2.1. Метод простых итераций

Метод, входящий в список простейших численных методов решения уравнений. Его суть лежит на принципе сжимающего отображения, который применителен к численным методом. В общем виде также называется методом последовательных приближений. Метод итераций широко распространен в математике, его применяют при решении дифференциальных, интегральных, интегродиффренциальных уравнений и во многих других вычислительных задачах. Идея метода состоит в приведении f(x) = 0 к уравнению x = φ(x) таким образом, чтобы отображение φ(x) было сжимающим. Если это удается, то последовательность итераций xi+1 = φ(xi) сходится.

Алгоритм данного метода следующий:

1. Подобрать функцию φ(x) = 𝑥 + 𝑘𝑓(𝑥)
2. Взять приблеженное значений x0 и найти более точный результат при помощи формулы xn+1 = φ(xn), n = 0,1,2, …
3. Перейти к пункту 2 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм продолжить до того времени, пока не будет выполнено условие |𝐹(𝑥)| Метод хорд и касательных

Суть метода состоит в разбиении отрезка [a; b] на три отрезка с помощью хорды и касательной, затем выбирается новый отрезок от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение.

Комбинированный метод применим, если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической.

Условие начальной точки для метода хорд: f(x)f’’(x) 0.

Алгоритм решения:

1. Если f(a)f’’(a) 0, то a = a − f(a)/f’(a).
2. Если f(b)f’’(b) 0, то b = b − f(b)/f’(b).
3. Если |a-b| > ε, то вернуться к первому пункту.
4. x = (a+b)/2.

3.Ход работы

1. Метод итераций

Зависимость количества потребовавшихся итераций от заданной точности ε

1. Метод половинного деления

Зависимость количества потребовавшихся итераций от заданной точности ε

1. Метод хорд и касательных

N	ε	Количество итераций
1		1
2		2
3		3

4. Сравнение методов решения нелинейных уравнений по скорости

Уравнение	Метод	Количество итераций
	Метод итераций	22
	Метод половинного деления	13
	Метод хорд и касательных	1

1. Вывод

В ходе лабораторной работы №1 реализованы такие методы как метод итерации, метод хорд и касательных, метод половинного деления. Самым быстрым оказался метод хорд и касательных, так как для получения решения с нужной точностью потребовалась одна итерация, что достаточно мало по сравнении с методом итерации, так как для получения того же результата понадобилось 22 итерации. В методе хорд и касательный потребовалась только одна итерация, потому что задана такая функция, касательная к которой будет близка к нулю. С помощью оператора solveбыло найдено решение данного нелинейного уравнение, оно совпало с решением, которое было получено в результате использования численных методов решения. Решением нелинейного уравнения является х=1,2536±0,0001

Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы»

Лабораторная работа №1

Тема: «Методы оценки погрешностей»

Задание 1. Число x , все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного числа найдите предельную абсолютную и предельную относительную погрешности. В записи числа укажите количество верных цифр (в строгом и широком смысле).

Задание 2. Вычислите с помощью МК значение величины при заданных значениях параметров , используя «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:

по правилам подсчета цифр;

с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей;

по способу границ.

Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.

Задание 3. Вычислите значение величины при заданных значениях параметров , используя один из инструментальных пакетов, с пошаговой и итоговой регистрацией результатов вычислений двумя способами:

по методу строго учета границ абсолютных погрешностей;

по методу границ.

Задание 4. Составьте программы и вычислите на ЭВМ значения величины при заданных значениях с пошаговой и итоговой регистрацией результатов двумя способами:

по методу строго учета границ абсолютных погрешностей;

по методу границ.

Результаты, полученные в заданиях 3 и 4 разными способами, сопоставьте между собой и сравните с ответами, полученными при выполнении задания 2.

Пояснения к выполнению лабораторной работы №1

Исходные данные для выполнения всех заданий содержаться в табл. 1.7 (числа — приближенные, в их записи все цифры верны в строгом смысле, коэффициенты – точные числа).

Для выполнения заданий необходимо изучить материал гл. 1 «Методы оценки ошибок вычислений» учебника «Численные методы» под ред. М.П. Лапчика, подробно разобрав все приведенные в тексте примеры (лучше всего при этом иметь под руками МК, а также компьютер хотя бы с одним из инструментальных средств: Excel , MathCad , Maple и др.).

Для выполнения задания 1 требуется владение основными определениями и понятиями теории приближенных вычислений (см. подразд. 1.3 и 1.4).

При выполнении задания 2 составляются «ручные» расчетные таблицы, аналогичные табл. 1.4 – 1.6 (см. подразд. 1.9).

Для выполнения задания 3 требуется владение по крайней мере одним из инструментальных программных средств. При этом тщательно разобрать примеры, рассмотренные в подразд. 1.9 и 1.11.

При выполнении задания 4 составляются программы для ЭВМ с использованием процедур и функций, приведенных в примерах гл.1. Примеры аналогичных программ имеются в подразд. 1.9.

Поскольку при выполнении заданий 2,3 и 4 используется одна и та же расчетная формула, в результате выполнения лабораторной работы необходимо сделать обоснованный вывод о целесообразности и эффективности использования тех или иных методов и средств вычислений.

Глава 2 «Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

Лабораторная работа №2

Тема: «Решение уравнение с одной переменной»

Задание 1. Отделите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом (схематически, на бумаге). Это же задание выполните с помощью программы для компьютера и с применением одного из инструментальных средств.

Задание 2. По методу половинного деления вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10 -3 ;

с помощью «ручной» расчетной таблиц и калькулятора;

с помощью программы для компьютера.

Задание 3. Вычислите один корень заданного уравнения с помощью программы для компьютера с точностью 10 -6 , используя метод простой итерации.

Задание 4. Вычислите один корень заданного уравнения с помощью программы для компьютера с точностью 10 -6 , используя один из методов Ньютона.

Задание 5. Вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10 -6 , используя один из инструментальных пакетов.

Сопоставьте и прокомментируйте полученные результаты.

Варианты заданий приведены в табл.2.5.

Пояснения к выполнению лабораторной работы №2

При выполнении задания 1 отделение корней заданного уравнения выполнятся с помощью схематического графика на бумаге. Во многих случая задачу графического отделения корня модно упростить, заменив исходное уравнение вида равносильным ему уравнением .

Для решения этой же задачи с помощью компьютера сначала составляется и запускается программа отделения корней уравнения (см. подразд. 2.1). Задание шага может варьироваться в зависимости от величины выбранного участка и характера поведения функции . Результатом выполнения задания должен быть перечень отрезков, содержащих по одному корню уравнения. Затем отделение корней выполняется с помощью одного из инструментальных пакетов (см. пример 2.2, а также примеры 2.8, 2.9, рис. 2.21 учебника).

При выполнении задания 2 сначала уточняется один корень заданного уравнения по методу половинного деления с заданной точностью с помощью «ручной» расчетной таблицы и калькулятора. Если корней несколько, в пояснении к заданию указано, на каком участке выбирается корень, подлежащий уточнению. Форма расчетной таблицы, которую можно использовать для организации «ручных» вычислений, показана ниже.

Затем эта же задача решается с помощью программы для компьютера (см. подразд. 2.2 учебника).

При выполнении задания 3 исходное уравнение приводится к виду таким образом, чтобы на выбранном для выполнения задания отрезке [ a ; b ] функция удовлетворяла условию (2.13): существует такое число что для любыъ имеет место . Приемы преобразования уравнения к итерационному виду и установление условий сходимости подробно рассмотрены в п.2.3.2 учебника.

При выполнении задания 4 составляется и запускается программы вычисления одного корня заданного уравнения с точностью 10 -6 с использованием одного из методов Ньютона. Суть алгоритмов методов Ньютона, а также способы оценки точности результата подробно рассмотрены на примерах «ручного» счета (см. примеры 2.5 и 2.6).

При выполнении задания 5 корень заданного уравнения вычисляется с использованием одно из инструментальных пакетов (см. подразд. 2.5).

После выполнения заданий требуется сравнить полученные результаты и сопоставить в них верные цифры.

Глава 3 «Численные методы решения систем уравнений»

Лабораторная работа №3

Тема: «Численные методы решения систем уравнений»

Задание 1. Дана систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Задание 1.1. Решите систему (1) методом Гаусса:

используя «ручную» схему единственного деления, двумя способами: без перестановки строк; с перестановкой строк; расчеты выполняйте с тремя знаками после запятой (с применением калькулятора); подставьте найденные решения в исходную систему, вычислите невязки и сравните полученные решения; выбрав ведущие элементы схемы единственного деления, найдите значение определителя системы;

с помощью программы для ЭВМ с пооперационным учетом ошибок.

Задание 1.2. Решите систему (1) методом простой итерации с точностью с помощью программы для ЭВМ:

с оценкой погрешности метода по одной из метрик с применением оценочной формулы .

с использованием эмпирического критерия близости соседних приближений.

Задание 1.3. Решите систему (1), используя одно из инструментальных средств. Сопоставьте найденное решение с решениями, полученными при выполнении заданий 1.1 и 1.2.

Задание 2. Найдите решение заданной системы нелинейных уравнений с прикидкой точности результата с помощью эмпирического критерия:

методом простой итерации;

с использованием одного из инструментальных средств.

Пояснения к выполнению лабораторной работы №3

Перед выполнением лабораторной работы необходимо изучить материал гл.3 учебника и тщательно разобрать все приведенные в тексте примеры.

Коэффициенты и свободные члены заданной системы уравнений (1) для 20 вариантов к заданию 1 приведены в табл. 3.7.

Для «ручного» решения системы уравнений методом Гаусса (задание 1.1, а) составляется расчетная схема (см. пример 3.1, табл. 3.1). Решение с перестановкой строк показано в п. 3.2.4 учебника (пример 3.6).

Задание 1.1, б выполняется с помощью программы для компьютера (см. пример 3.3 в п.3.2.3), предусматривающей систематический учет границ абсолютной погрешности вычислений. Границы абсолютных погрешностей исходных данных – коэффициентов системы и свободных членов – принимаются из предположения, что исходные числовые значения в табл. 3.7 заданы цифрами, верными в строгом смысле. Вычисления производятся для различных числовых типов данных; полученные результаты необходимо сопоставить и прокомментировать.

При выполнении задания 1.2 составляются две программы решения заданной системы линейных уравнений по методу итераций – с учетом достаточных условий сходимости и без учета этих условий. Для применения метода итераций с предварительным доказательством условий сходимости исходная система преобразуется к системе с преобладающими диагональными коэффициентами, а затем к нормальному виду (см. п. 3.4.2). Вслед за этим производится проверка достаточных условий сходимости (в смысле одной из метрик); в результате получается значение коэффициента сжатия , которое используется в программе для проверки окончания цикла (формула ). При использовании другого подхода (на основе эмпирического критерия совпадения значащих цифр в одной позиции трех соседних приближений, см. п. 3.4.2) исходную систему достаточно преобразовать в систему с преобладающими диагональными коэффициентами. Затем с помощью ЭВМ, вводя различные ограничения на число итераций, производится эксперимент по отысканию решения системы с учетом эмпирического критерия.

Заданием 1.3 предусматривается решение той же системы линейных уравнений (1) с использование одного из инструментальных средств (см. подразд. 3.6).

В итоге требуется сопоставить в пределах достигнутой точности найденное решение с решениями, полученными при выполнении заданий 1.1 и 1.2.

Задание 2 предусматривает решение системы нелинейных уравнений тремя способами: а) методом простой итерации; б) методом Ньютона; в) с использованием одного из инструментальных средств.

Примеры программ, реализующих методы простой итерации и Ньютона, приведены в подразд. 3.5, применение инструментальных средств рассмотрено в подразд. 3.6. Инструментальные средства могут быть использованы, в частности, для графического отделения корней. Варианты систем нелинейных уравнений приведены в табл. 3.8.

Глава 4 «Методы приближения функций»

Лабораторная работа №4

Тема: «Приближение функций»

Задание 1. По данной таблице значений функций

составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить его график и отметить на нем узловые точки . Это же задание выполнить с помощью инструментальных программных средств.

Задание 2. Вычислить с помощью калькулятора одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции. Этот же результат получить с помощью программы для компьютера и с применением математических пакетов.

Задание 3. Для функций, заданной таблицей узловых значений, вычислить коэффициенты и составить формулы кубического сплайна в узловых узлах. Построить график кубического сплайна и отобразить на нем узловые точки с помощью одного из инструментальных программных средств.

Задание 4. С помощью программы для компьютера уплотнить часть таблицы заданной функции, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона.

Задание 5. По заданной таблице значений x и y построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений. Задание выполнить тремя способами: а) с помощью ручных расчетов на калькуляторе; б) путем использования программы для компьютера; в) с помощью табличного процессора Excel или иного инструментального средства.

Пояснения к выполнению лабораторной работы №4

Исходные данные ко всем заданиям лабораторной работы содержаться в табл. 4.14-4.23.

При выполнении задания 1 составляют многочлен Лагранжа по формуле , производят необходимые вычисления и приведение подобных членов (см. пример 4.1 учебника). По полученной формуле строится график интерполирующей функции, на котором отмечаются узловые точки. Это же задание выполняют и с помощью инструментальных пакетов Maple и MathCad (см. подразд. 4.15).

Исходные данные для выполнения задания 1 берутся из табл. 4.14.

Задание 2 сначала выполняют с помощью калькулятора по специальной расчетной схеме (см. табл. 4.2). Для достижения наилучшей точности берут максимально возможное четное или нечетное число узлов, симметричных относительно заданного значения . Использование расчетной таблицы показано в примере 4.2. Пример использования компьютерной программы для интерполирования по формуле Лагранжа рассмотрен в подразд. 4.5. Это же задание выполняется и с помощью инструментальных пакетов (см. подразд. 4.15, рис. 4.8, 4.25 учебника).

Поскольку аналитическое выражение интерполируемой функции в данном случае известно, то оценку погрешности интерполирования производят по формуле . Кроме того, имеется возможность сравнить результат интерполирования со значением функции, вычисленным по ее аналитическому выражению, заданному в таблице.

Для определения содержания задания 2 используется табл. 4.15, из которой по заданному варианту извлекается номер другой таблицы (4.16-4.19), задающей интерполируемую функцию, а также значение аргумента x , для которого требуется вычислить искомое значение интерполяционного многочлена. Так, например, для варианта 4 задание состоит в вычислении значения функции, заданной табл. 4.19 при x = 4,8.

Исходными данными для выполнения задания 3 служит таблично заданная функция из задания 1 (см. табл. 4.14). Перед выполнением задания следует внимательно изучить материал подразд. 4.11 и разобрать пример 4.7, а также примеры по использованию инструментальных программных средств для сплайновой аппроксимации в подразд. 4.15 (рис. 4.9, 4.21, 4.22, 4.26 учебника).

Для выполнения задания 4 по заданной таблице функции с равноотстоящими значениями аргумента составляют таблицу конечных разностей и определяют порядок интерполяционного полинома Ньютона. В зависимости от расположения участка субтабулирования относительно исходной таблицы и потребности в конечных разностях избирается первая:

интерполяционные формулы Ньютона. Исходные данные для выполнения задания 4 (номер таблицы функции, концы отреза и шаг субтабулирования) берут из табл. 4.15. В программе субтабулирования необходимо предусмотреть подсчет погрешности метода по одной из формул или . Перед выполнением задания полезно рассмотреть пример 4.4 из подразд. 4.9 учебника.

При выполнении задания 5 по заданной таблице значений x и y (см. варианты в табл. 4.24) строится точечный график, с помощью которого выбираются два наиболее предпочтительных вида приближающей функции. Здесь невозможно указать какой-либо общий метод угадывания наилучшего вида приближения, во многих случаях удачное решение этой задачи зависит от интуиции и опыта исследователя. При использовании компьютера появляется возможность испытания разных способов без сколько-нибудь значительных усилий.

Исследование точечного графика и выбор вида приближающей функции как в случае ручного, так и в случае компьютерного исполнения облегчаются при умелом расположении графика в системе координат и правильном сочетании масштабов на осях OX и OY , подчеркивающих характер данной зависимости. Следует заметить, что при построении эмпирической формулы всегда можно добиться, чтобы исходные значения аргумента и функции были положительны. Для этого достаточно сделать параллельный перенос в направлении осей, т.е. фактически перейти к новым переменным; в записи окончательного результата при этом необходимо вернуться к прежним обозначениям.

После выбора вида приближающей функции следует приступить к вычислениям. Когда расчеты ведутся с помощью калькулятора (задание 5, а), удобно использовать вспомогательные таблицы вида 4.9-4.11 (см. пример 4.8 учебника). При использовании компьютера сначала (задание 5, б) составляется программа с выводом значений параметров приближающей функции заданного вида и соответствующих им сумм квадратов уклонений (см. программу в подразд. 4.13), а затем (задание 5, в) – проводится исследование заданной табличной зависимости средствами инструментальных пакетов (см. подразд. 4.15, рис. 4.5-4.7, 4.11-4.14, 4.17-4.20, 4.21, 4.23, 4.27 учебного пособия).