Латинских букв при решении уравнения

Переменные в алгебре. Употребление букв

Содержание

При решении задач и уравнений мы часто используем буквы в выражениях. Эти буквы обозначают переменные, то есть величины, которые могут меняться.

Например, на нашем сайте вы получаете 5 очков энергии за прочтение урока и 10 очков энергии за каждый выполненный мини-тест внутри урока. Но количество тестов каждый раз разное, то есть количество тестов внутри урока — переменная. Получим такую формулу:

очки за урок = $5 + 10 \times$ количество тестов

Но писать словами «количество тестов» каждый раз неудобно, поэтому неизвестное число (переменную) заменяют буквами латинского алфавита $x, y, z, a, b$…

Заменим количество тестов буквой $t$, тогда общее число очков энергии за выполненный урок можно посчитать по формуле:

Например в данном уроке 2 мини теста, соответсвенно $t = 2$. Тогда общее число энергии после прохождения данного урока будет равно:

$$5 + 10 \times 2 = 5 + 20 = 25$$

Рассмотрим основные применения букв в алгебре.

Выражение основных свойств чисел

Выразим, что от перестановки мест множителей произведение не меняется в краткой форме. Тогда, обозначив одно слагаемое буквой $а$, а другое буквой $b$, мы пишем равенство:
$$a \times b = b \times a$$

условившись, что отсутствие какого-либо знака между числами означает перемножение этих чисел.

Для сокращенного выражения правила, посредством которого можно решать задачи

Решим задачу:
Найти $6\%$ числа $624$

Так как $1\%$ какого-нибудь числа сотавляет $\frac<1><100>$ числа, то $1\%$ числа $624$ составляет $$\frac<624> <100>= 6.6$$

то есть $6\%$ — это$$\frac<624> <100>\times 6 = 37.2$$

Для нахождения какого-либо процента от данного числа, нужно разделить это число на $100$, и получившийся результат от деления умножить на количество процентов. Чтобы выразить это наглядно, мы предложим задачу в таком общем виде: Найти $k\%$ числа $а$.

Решим задачу таким способом:

из которого понятно, как находить проценты от любого данного числа.

По аналогии, чтобы кратко выразить правило умножения или деления дроби на дробь, мы обозначаем дроби буквами: $\frac$ и $\frac$ и пишем равенства:

Заметим, что всякий закон, выражающее при помощи букв и знаков действий какое-нибудь выражения, касающееся чисел, называется формулой.

Базовые арифметические формулы

произведение $2n$ выразит любое четное число.
Так, если вместо $n$ подставить числа: $1, 2, 3 …$, то произведение $2n$ даст: $2 \times 1 = 2; 2 \times 2 = 4; 2 \times 3 = 6$ и т. д.

При $n$ целом сумма $2n + 1$ выражает любое нечетное число; так, если $n = 0, 1, 2, 3…$, то сумма $2n + 1$ даст: $$2 \times 0+1=0 + 1 = 1$$

$$2 \times 1 + 1 = 2 + 1=3$$

Если в каком-нибудь двузначном числе на месте десятков стоит цифра $а$, а на месте единиц цифра $b$, то всех единиц в таком числе будет $10а + b$. Например, в числе, у которого десятков $8$, а простых единиц $5$, всего единиц будет $$10 \times 8 + 9 = 70 + 5 = 85$$

Если в трехзначном числе на месте сотен стоит цифра $а$, на месте десятков — цифра $b$ и на месте единиц — цифра $с$, то всех единиц в таком числе должно быть $100а + 10b + с$. Например, если в числе $4$ сотни, $6$ десятков и $8$ единиц, то всего единиц оно равно: $$100 \times 4 + 10 \times 6 + 8 = 468$$

Линейные уравнения с параметром

В работе дано определение уравнения, содержащих параметр. Рассматриваются методы решения линейных уравнений, содержащих параметр. Тема актуальна, так как по данной теме предлагаются задания как на ГИА по завершениии основной школы, так и ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Цель работы: 1)Ввести понятия: а) параметр; б) уравнения с параметрами; в) системы допустимых значений параметров; г) равносильность для уравнений с параметрами. 2)Рассмотреть общие принципы для решения линейных уравнений с параметрами.

основные определения. Рассмотрим уравнения вида: , где переменные. Переменные , которые при решения уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Параметры договорились обозначать первыми буквами латинского алфавита , а неизвестные Исследовать и решить уравнение с параметрами – это значит: 1.Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение. 2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

В процессе решения существенную роль играет теорема о равносильности. Теорема. Два уравнения, со-держащие одни и те же параметры, называют равносильными, если: они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. Определение Система значений пара-метров , при которых левая и правая части неравенства имеют смысл в области действительных чисел, называют системой допустимых значений параметров.

Определение: Уравнение вида ах – в = 0, где – а и в – числа, причем а , х — переменная, называют линейным. Перепишем уравнение в виде: ах = в

Пример №2.
Выразить х : а) ах = а-1; б) ( а+2) х = а-1; в) а х = а -1.
Укажите, при каких значениях а имеет смысл полученное выражение.
Найдите значение х при а=2; а=3; а= -10.
Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х-2=-1;14х=-4; 3-3х=1 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти, через числа.
Покажите, что в уравнение, помимо неизвестного, могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах=а-1, (а+2)х=а-1, (а+2)х=(а+2)-1, а х=а -1.
При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения ах=а-1 получаем
при а=2 имеем 2х=2-1; при а=3 имеем 3х=3-1; при а=0 имеем 0х=0-1; при а=-4 имеем -4х=-4-1.

Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9 .
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4.
Решить уравнение относительно х :
х+2=а+7.
Решение : х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

• Параметр — это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которой проводится анализ полученного решения.
• Решить уравнение с параметром — это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а

х=а+5 .
Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.

Пример №5.
Сравнить числа: а) а и 3а ;
б) -а и 3а.
Решение:
а) естественно рассмотреть три случая:
если а , то а > 3а; если а = 0 , то а = 3а; если а > 0 , то а ;
б) естественно рассмотреть три случая:
если а , то -а > 3а; если а = 0 , то -а = 3а ; если а > 0 , то -а

Пример №6. При каком значении параметра а х=2,5 является корнем уравнения х+2=а+7 ?
Решение.
Т.к. х= 2,5 – корень уравнения х+2=а+7 , то при подстановке х= 2,5 в уравнение
получим верное равенство 2,5+2=а+7 , откуда находим а =-2,5.
Ответ: при а=-2,5.

Пример №7. Имеет ли уравнение 3х+5 = 3х+а решение при а=1. Подберите значение а , при котором уравнение будет иметь корни.

Пример №8. Найдите множество корней уравнения ах = 4х+5
а) при а=4; б) при а ≠ 4.
На простых примерах надо показать, что приемы, используемые для решения уравнений с параметрами, такие же, как и при решении уравнений, содержащих помимо неизвестной только числа.

Пример №9. Решить уравнение ах=1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: Однако, при а=0 данное уравнение решений не имеет и верный ответ записывается так:
если а=0 , то нет решений ; если а≠0 , то

Пример №10. Найти все натуральные значения а , при которых корень уравнения (а-1)х=12 является

a) натуральным числом; б) неправильной дробью.

Решение:
а≠1 , то так как иначе уравнение не имеет решений;
а) если а≠1 , то
Перебором находим:
при а=13, х=1; при а=7, х=2; при а=5, х=3; при а=4, х=4; при а=3, х=6; при а=2, х=12.
Ответ: а є <13, 7, 5, 4, 3, 2>.
б) если а≠1 , то
Перебором находим, что а є <2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13>.

Пример №11. Решить уравнение | х|=|а|.

Пример №12 . Решить уравнение ах+8=а.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде ах=а-8.
Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем подробного описания хода решения.
Итак, коэффициент при х равен а . Возникают два возможных случая:

1. коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0х=-8 , полученное уравнение не имеет корней ;
2. коэффициент при х не равен нулю , и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент: а≠0,

ах=а-8,
Ответ: при а=0, нет корней ;
при а≠0,
Важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда коэффициент при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда первым, чтобы помочь учащимся избежать наиболее распространенной ошибки, когда этот случай теряют. Полезно обратить внимание учащихся на конструкцию записи ответа. В различных пособиях по математике встречаются две конструкции:

Предложите учащимся решить самостоятельно (с последующей проверкой на доске) уравнение (а+2)х+2=а, где а – параметр.
Ответ: при а=-2, нет корней ; при а≠-2,
Таким образом любое линейное уравнение с параметрами элементарными преобразованиями может быть приведено к виду Ах=В , где А и В – некоторые выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и исследуется по схеме:

Пример № 13. При каких значениях а уравнение (а2-1)х=а+1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный корень.
Решение:
а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то есть
Т.о., при а=1 уравнение не имеет решений.
б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается в нуль, то есть
Т.о., при а=-1 уравнение имеет бесконечное множество решений.
в) уравнение имеет единственное решение , при а2-1≠0 , то есть (а-1)(а+1)≠0, т.е. а≠±1.
Ответ:

1. Уравнение не имеет решений, при а=1.
2. Уравнение имеет бесконечное множество решений, при а=-1.
3. Уравнение имеет единственный корень, при а≠±1.

Пример №15. Предложить учащимся решить самостоятельно уравнение (а- параметр)
(а-1)х+2=а+1.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде
(а-1)х=а-1.

1. Если а-1=0, т.е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0 , т.е. х – любое число.
2. Если а-1≠0, т.е. а≠1, то х=1.

Ответ:
при а=1 , х – любое число; при а≠1, х=1.

Пример №19 . Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение
2 -1-х=а ?
Решение. Преобразуем уравнение к виду 2|x| -1=х+а.
Рассмотрим функции f(х)=2|x| -1 и g(х,а)= х+а.
Графиком первой из них является ломаная (рис.1), графиком второй — семейство прямых, параллельных прямой у=х.

Эти прямые пересекаются с осью ординат в точках с координатами (0; а ). Очевидно, что если а будет возрастать от — , то впервые графики пересекутся тогда, когда прямая пройдет через вершину ломаной, т.е. через точку (0;-1), т.е. при а=-1. В этом случае уравнение имеет единственное решение. Если дальше увеличивать параметр а , то точек пересечения будет ровно две – с каждой из ветвей ломаной. В результате этого анализа получаем ответ.
Ответ : при а уравнение не имеет корней; при а=-1 уравнение имеет единственный корень;
при а>-1 уравнение имеет два корня.

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.

Задачи для самостоятельного решения.

Для всех значений параметров а и в решите уравнения:

1. (5а+1)х+25а2+10а+1=0;
2. ах-а=х-1;
3. (а2-4)х=а2+а-2;
4. (а2-1)х-а2+2а-1=0;
5. (а-2в)х+а+в=3;
6. каких значениях параметра а уравнение а2(х-2)=х+а-3 имеет бесконечное множество решений?
7. каком значении параметра а корень уравнения х+3=2х-а будет отрицательным числом?
8. каждого значения параметра а определить число корней уравнения |x-1| = а.
9. каждого значения параметра а определить число корней уравнения|5x-3| = а.

1. Газета «Математика». Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»: Е.Пронина, « Линейные уравнения с параметрами» №12, 2000 г.; C.Неделяева, «Особенности решения задач с параметрами» №34, 1999 г.
2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
3. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2004.
4. Соколовская С.И., Духон М.Ю. Линейные уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.

п.1Уравнения с одной переменной

1. Определение уравнения. Корни уравнения.

Равенство с переменной f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной с одной переменной х. (f(x) и g(x) – это выражения с одной переменной)

Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1. Уравнение 73 + х = 2 имеет единственный корень – 71, потому что при этом и только при этом значении переменной получаем верное числовое равенство.

Пример 2. Уравнение (х – 4)(х +8) = 0 имеет два корня: -8 и 4.

Пример 3. Уравнение не имеет корня.

Два уравнения с одной переменной называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Теоремы о равносильности уравнений:

Т1. Если в уравнении какое – либо слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Т2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

п2. Линейные уравнения.

Линейным уравнением с одной переменной х называется уравнение вида ах = в , а и в – действительные числа; а называется коэффициентом при переменной, в – свободным членом.

Для линейного уравнения ах = в могут представиться три случая:

1. а ; в этом случае корень уравнения равен ;
2. а = 0, в = 0; в этом случае уравнение примет вид 0 , что верно при любом х ;
3. а = 0, в в этом случае уравнение принимает вид 0 х = в , оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

п3.Линейные уравнения с параметром.

Рассмотрим задачу: уравнение nx = 20.

Хорошо знакомое нам задание – решите уравнение. И незнакомое уравнение – в нем две величины обозначены буквами. Если в задании ничего не сказано по поводу того, относительно какой буквы решать это уравнение, то есть какую величину считать неизвестной, то однозначный ответ к этому заданию поучить нельзя. Это будет уравнение с двумя неизвестными п и х, решением которого будут являться бесконечно много упорядочных пар чисел.

В тех случаях, когда уравнение содержит две величины, обозначенные буквами, причем одна из них определена как неизвестная ( х ), а другой ( п ) придаются какие – либо фиксированные значения, уравнение рассматривается как уравнение с одним неизвестным ( х ) и с параметром ( п ).

В математике неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита: х, у, z ,…, а параметры: а, в, с,…

При решении задач с параметрами главное – понять условие. Решить уравнение с параметром – значит записать ответ для любого из возможных значений параметра. Ответ должен отражать перебор всех чисел числовой прямой.
Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Решить уравнение с параметром – это значит:

а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и при каких не имеет;

б) выяснить количество корней при различных значениях параметров;

в) найти все выражения для корней.

цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

Решить уравнение с параметрами — значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а

Введение
В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.

Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.

Цель моей работы — научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.

2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.

3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.

В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:

1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;

2) решение линейных уравнений с модулем;

. Знакомство с параметрами
Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);

2) получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым.

Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, — это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).

К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения переходят к у равнению ; при m= записывают единственное решение . Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.

Пример 1. Решить уравнение .

Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:

1) a=1, тогда уравнение принимает вид и не имеет решений;

2) при а=-1 получаем и, очевидно, х любое;

Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при .

Пример 2. Решить уравнение

Очевидно, что , а , то есть х=b/2, но , то есть 2 b/2, b 4.

Ответ: при b 4 х=b/2; при b=4 нет решений.

Пример 3. При каких а уравнение имеет единственное решение?

Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а 2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 , , а=1, а=6.

Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение – это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.

При уравнение имеет единственное решение , которое будет: положительным, если или ; нулевым, если ; отрицательным, если или .

Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b 0 решений нет.

Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение ; найти при каких а корни больше нуля.

Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х -1 и х 0 сводится к таковому: или а-1-х=0.

Мы уже выявили допустимые значения икс (х -1 и х 0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 а=х+1
Из этого видно, что при х 0 а 1, а при х -1 а 0.

Таким образом, при а 1 и а 0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.

Ответ: при а решений нет, а при a>1 корни положительны.

Пример 2. Решить уравнение (1).

Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых .

Приведём уравнение к простейшему виду:

(9 – k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:

Подставив в (2) , получим:
.
Если подставим , то получим так же .

Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. — это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).

1. Если , то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение , которое будет:

а) положительным, если , при 4 : ;

в) отрицательным, если и k>9 с учётом
, получаем .
2. Если , то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а) при и , причём х>0 для ; x=0 при k=4; x ;

б) при уравнение не имеет решений.

1.2 Решение линейных уравнений с модулем
Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2| , то при b 0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b 0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:
1) a ;

2) 4 .
1. Первый интервал:

, т.е. если а .
Третий интервал:

а=4, т.е. если а=4, то .
2. Первый интервал:

а=4, .
Второй интервал:
a>4,т.е. если 4
Третий интервал:

Ответ: при а=4 х-любое;, при а .

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1. , .
При а=1 уравнение не имеет решений, но при а 1 уравнение имеет корень . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x , , , . Следовательно, исходное уравнение на x при , а на остальных а корней не имеет.
2. . .
При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке . Если а 1, то уравнение имеет один корень х=1.
3. . .
При а=1 решением является любое число, но мы решаем на . Если а 1, то х=1.

Ответ: при ; при а= – 1 и при а 1 х=1; при а=1 и при а 1 х=1.

Заключение
Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.

Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.

2.4. Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

В МГУ был разработан координатно-параметрический метод (КП-метод) в сочетании с концепцией равносильности математических высказываний, реализованной в виде логической схемы замены иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств на равносильные им рациональные и алгебраические. Такая замена на равносильные уравнения и неравенства особенно целесообразна в задачах с параметрами, т. к. в них трудно делать проверку на ОДЗ. Метод решения задач с параметрами использующий КП-плоскось (плоскость с осями параметр – переменная), называется КП-методом. КП-метод основан на определении множества всех точек КП-плоскости, значения координат x и параметра а, каждой (х, а) из которых удовлетворяет условию задачи.

По определенному множеству можно каждому допустимому значению параметра а = const сопоставить значение координат х таких точек этого множества, дающих искомое решение задачи и наоборот – каждому допустимому значению х подобрать соответствующее значение параметра а.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Решение уравнений с параметрами можно считать деятельностью близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, полученные результаты. Здесь кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости.

В своей работе я хочу показать некоторые методы решения различных уравнений с параметрами. Упор в работе сделан на аналитический способ решения уравнений, но в пункте «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным» на примере некоторых уравнений я рассматриваю графический способ решения уравнений с параметрами.

Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, описываемого математической моделью уравнения или неравенства в зависимости от значения параметров, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.

Объект исследования: задания с параметрами.

Цель исследования: изучить способы решения уравнений с параметрами и овладеть этими способами при решении задач с параметрами.

1. Рассмотреть линейные уравнения с параметром.

Гипотеза: существуют общие методы решения заданий с параметрами, позволяющие решать задания разных видов.

Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи :
1) дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2) показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
3) показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.
Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы : использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике , участие проектной группы в городской конференции по данной теме в 2006 году.
Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.
Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.
Решение уравнений с параметрами
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.
Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, — это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.
Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.
Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.
Решить уравнение — значит:
найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.
При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня.
При решении таких уравнений надо:
1) найти множество всех доступных значений параметров;
2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;
3) привести подобные слагаемые;
4) решать уравнение ax = b.
Возможно три случая.

1. а 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = .
2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все х R.
3. а = 0, b 0. Уравнение 0х = b
решений не имеет.
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.
Ответ:
х = при а 0, b – любое действительное число;

х – любое число при а = 0, b = 0;
решений нет при а = 0, b ≠ 0.

Просматривая различные пособия и сборники задач для поступающих в

ВУЗ, я обратил внимание на то, что практически везде в них присутствуют

примеры с параметрами. Однако в школьном курсе математики этим задачам

отводится незначительное место.

А ведь при решении уравнений и неравенств с параметрами развивается

вариативное мышление, т.к. приходится разбирать все возможные способы

решения для того, чтобы найти такие значения параметров, при которых общее

решение уравнения или неравенства обладает некоторыми свойствами. Эта тема

меня заинтересовала еще тем, что умение решать такие задачи необходимо мне

для успешной сдачи экзамена по математике при поступлении в ВУЗ.

Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать

такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена

и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Цель моего проекта – научится решать уравнения и неравенства с

параметрами, используя различные способы решения и подходы к примерам.

Поскольку данная тема очень обширна, и охватить ее в одной работе нереально,

я решил разобрать три типа задач:показательные ,логарифмичесские и

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи :

1) дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2) показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;

3) показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами

показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Для выполнения поставленной цели были использованы следующие

методы : использование литературы разного типа, работа в группах на уроках

алгебры и занятиях элективного курса по математике.

Объектом исследовательской работы было решение уравнений с

параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.

из истории: Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений.

П. 10 Уравнения

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].

• Корень уравнения — это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Составные уравнения

Под сложными (составными) уравнениями мы понимаем уравнения, которые содержат два или более арифметических действия.

Но решение составных уравнений производится в определённой последовательности.

Другой способ решения сложных уравнений

Некоторые сложные (составные уравнения) можно решать другим способом. Зная и умея применять свойства сложения и вычитания, а также свойства умножения и деления, уравнения решаются следующем образом.