Лекции по теме «Дифференциальные уравнения» Е.Н.01 Математика.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Департамент образования и науки Приморского края
Краевое государственное автономное
профессиональное образовательное учреждение
«Региональный технический колледж»
Учебная дисциплина Е.Н.01 МАТЕМАТИКА
Преподаватель высшей квалификационной категории учебной дисциплины
Лекции изложены в доступном пониманию виде и могут быть использованы студентами при самостоятельной подготовке к занятиям.
Изложение теоретического материала по теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, что позволит подготовиться к выполнению практической работы. В конце лекции представлены вопросы, необходимые для самоподготовки и темы для самостоятельного изучения.
Пособие поможет обучающимся освоить тему «Дифференцированные уравнения» курса высшей математики, подготовиться к сдаче зачётов и экзаменов.
Лекции по теме «Дифференцированные уравнения» рекомендованные для всех специальностей в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.
Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление
Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
х+ уу’=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.
— 4 xy = — обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
О: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
О: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка у’= f ( x ;у) в области D называется функция у=(х,С), обладающая следующими свойствами:
1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;
2)для любого начального условия у(х 0 ) = у 0 такого, что (х 0 ;у 0 ) , существует единственное значение С=С 0 , при котором решение у=(х,С 0 ) удовлетворяет заданному начальному условию.
О: Всякое решение у=(х,С 0 ), получающееся из общего решения у=(х,С) при конкретном значении С=С 0 , называется частным решением.
О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у’ = f ( x ; y ), удовлетворяющих начальному условию у(х 0 ) = у 0 , называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у=(х) данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению (х;С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию у(х 0 ) = у 0 , — кривая этого семейства, проходящая через точку (х 0 ;у 0 ).
2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
О: Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделяющими переменными.
Если f 2 ( x ) ≠ 0 и 1 ( y ) ≠ 0, то его можно представить в виде
В результате почленного интегрирования получаем
Пример 1. Решить уравнение у’ = .
Решение. f 2 ( x ) = x , 1 ( y ) = у, = , ydx = xdy . Разделяя переменные, получаем = . Интегрируя, = + С 1 |, С 1 0 или = + С 1 .
Потенцируя, находим | у| = | С 1 | |х |, что эквивалентно уравнению у = С 1 х. Полагая С 1 = С, окончательно получаем у = Сх.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(1 + е 2х ) у 2 dy = е х dx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.
Решение. Разделим переменные: у 2 dy = . Почленно интегрируя,
Получим : у 3 = arctg е х + С, или у 3 = 3 arctg е х + C , или у = — общее решение дифференциального уравнения.
Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0: 0 = + С или С = — . Частное решение имеет вид: у 3 = 3 arctg е х — ,
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
х + у у ‘ = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.
Решение. Разделяя переменные и обозначая у’ = , получим
y = — x ydy = — xdx.
Почленно интегрируя, будем иметь = — + С или х 2 + у 2 = С — общее решение дифференциального уравнения. Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 2 : 0 + 4 = С С = 4. Частное решение имеет вид х 2 + у 2 = 4.
Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х 2 + у 2 = С
С центром в начале координат. Частное решение представляет собой конкретную окружность х 2 + у 2 = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).
3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
О: Дифференциальное уравнение вида у’ + Р(х) у = Q ( x ) называется линейным. Если Q ( x ) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q ( x ) = 0, то – линейным однородным.
Общее решение линейного однородного уравнения у’ + Р(х) у = 0 легко получается разделением переменных
= — P (x) y = — P (x) y = — dx + = — y = C .
Пример 1. Найти общее решение уравнения у’ + 3у = е 2х .
Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х) = 3; f (х) = е 2х . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у’ + 3у = 0. Разделяя переменные = — 3 dx и интегрируя, находим
= — 3х + или у = С 1 е -3х = С е -3х .
Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в том же виде у = С(х) е -3х , только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у’ = С’ (х) е -3х – 3С(х) е -3х . Подставляя в данное уравнение выражения для у и у’, получаем
С’ (х) е -3х = е 2х , С’ (х) = е 5х или dC = е 5х d х, откуда С(х) = е 5х + С 2 , где С 2 – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = С(х) е -3х = ( е 5х + С 2 ) е -3х или у = е 2х + С 2 е -3х .
Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у = uv . Тогда будем иметь y ‘ = u ‘ v + uv ‘.
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
u ‘ v + uv ‘ + 3 uv = е 2х или u ‘ v + u ( v ‘ + 3 v ) = е 2х . ()
Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v ‘ + 3 v = 0, откуда = — dx ; = — x ; = e — x ; v = e -3 x .
Подставляя найденное значение v в (), найдем u ‘ e -3 x = e 2 x ; du = e 5 x dx ;
u = е 5х + С. Но у = uv , поэтому у = е -3х ( е 5х + С ) или у = е 2х + С е -3х .
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
ху’ + 2у = и частное решение, удовлетворяющее начальному условию
Подставляя у и у’ в исходное уравнение, будем иметь
x v u’ + x u v’ + 2u v = ; u ( x v’ + 2v ) + x v u’ = .
Решим оставшееся уравнение:
x v u’ = xv = x = = 1 du = dx u = x + C.
Общее решение уравнения имеет вид y = u v = .
Найдем частное решение: 1 = С = 6 у = .
4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
некоторые постоянные действительные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема. Если у 1 (х) и у 2 (х) — два линейно независимых частных решения уравнения 0 у» + 1 у’ + 2 у = 0, то у = С 1 у 1 + С 2 у 2 есть общее решение этого уравнения (С 1 и С 2 — произвольные постоянные ).
Теорема. Частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 0 у» + 1 у’ + 2 у = 0
может быть найдено в виде у = е kx .
Доказательство. После нахождения у’ = k e kx , y » = k 2 e kx и подстановки в уравнение, получим 0 k 2 e kx + 1 k e kx + 2 e kx = 0 e kx ( 0 k 2 + 1 k + 2 ) = 0.
Поскольку е kx 0, то 0 k 2 + 1 k + 2 = 0.
Это квадратное уравнение определит те значения k , при которых у = е kx
будет решением дифференциального уравнения. Оно называется характеристическим уравнением.
Случай 1. Корни k 1 и k 2 квадратного уравнения действительны и различны ( k 1 k 2 ) ( D 0). Получим два частных линейно независимых решения у 1 = ; у 2 = . Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения будет иметь вид: у = С 1 + С 2 .
Пример 3. Найти общее решение уравнения у» – 3у’ +2у’ =0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменяя у» на k 2 , у’ на k , а у на 1. Получаем k 2 — 3 k + 2 = 0; k 1 = 1; k 2 = 2 y = C 1 e x + C 2 e 2 x .
Случай 2. Корни k 1 и k 2 квадратного уравнения действительны и одинаковы ( k 1 = k 2 = k = — ( D = 0).
В этом случае общее решение имеет вид:
у = C 1 e kx + C 2 х e kx = ( C 1 + C 2 x ) e kx .
Пример 4. Найти общее решение уравнения у» – 2у’ + 1 = 0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
k 2 – 2 k + 1 =0. Корни уравнения k 1 = k 2 = 1 действительные и равные.
Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения
у 1 = е х , у 2 = х е х ; = const . Общее решение уравнения имеет вид
у = С 1 е х + С 2 х е х = е х ( С 1 + С 2 х ).
Пример 5. Найти общее решение уравнения у» – 4у’ + 13 =0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
k 2 – 4 k + 13 = 0. Корни уравнения k 1 = 2 + 3 i , k 2 = 2 – 3 i — комплексные.
Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения у 1 = е 2х cos 3 x , y 2 = = е 2х sin 3 x . Общее решение уравнения имеет вид
у = е 2х ( С 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x ).
Лекция. Дифференциальные уравнения второго порядка
учебно-методический материал
Лекция «Дифференциальные уравнения второго порядка» по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 2 курса специальности «Компьютерные системы и комплексы».
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
du_2_poryadka.doc | 87 КБ |
Предварительный просмотр:
Лекция. Дифференциальные уравнения второго порядка.
1) Уравнения, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: y’’= f(x) . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение.
Найти общее решение дифференциального уравнения y’’ = x 2 – 2x
Решение :
Данное дифференциальное уравнение имеет вид y’’= f(x) . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение.
Понижаем степень уравнения до первого порядка:
, где С 1 – константа
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
Ответ: общее решение:
Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение y’’ = x 2 – 2x , значит, общее решение найдено правильно.
2) В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция у
Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так: F(x, y’, y»)=0 .
В этом уравнении всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде , но он обязательно всплывёт в ходе решения. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».
Решаются такие уравнения с помощью замены.
Решить неполное дифференциальное уравнение второго порядка: y’’= 5x — 1
Пусть у’ = u , тогда y’’ = u’ , получим u’ = 5x – 1 или
Подставляя обратно в уравнение у’ = u получим:
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: Общее решение:
3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида: у’’+рy’+qy = f(x)
где коэффициенты p , q – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное равнение и неоднородное уравнение .
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
у’’+рy’+qy = 0 , где p и q – константы (числа), а в правой части – строго ноль.
Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
у’’+рy’+qy = f(x) , где p и q – константы, а f(x) – функция, зависящая только от «икс» . В простейшем случае функция f(x) может быть числом, отличным от нуля .
Чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:
Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение :
По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции у ничего не записываем.
– это обычное квадратное уравнение , которое предстоит решить.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде:
1) Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .
2) Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант D=0 ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: , где – константы.
Вместо в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.
Если оба корня равны нулю , то общее решение имеет вид: .
Решить дифференциальное уравнение
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Вычисляя дискриминант, получаем два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:
3) Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни ( Данный случай приведен только для ознакомления. Тему «Комплексные числа мы будем проходить позже» )
Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом:
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
Лекции дифференциальные уравнения 2 курс
pdf Лекция 1 . Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов.
pdf Лекция 2 . Интегрирование подстановкой и заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
pdf Лекция 3 . Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших (без д-ва). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.
pdf Лекция 4 . Интегрирование выражений, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
pdf Лекции 5-6 . Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывной функции (без д-ва). Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.
pdf Лекция 7 . Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.
Модуль 2 — «Приложения определенного интеграла»
pdf Лекция 8 . Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода). Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
pdf Лекции 9-10 . Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
pdf Лекция 11 . Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрическии и в полярных координатах.
pdf Лекции 12-13 . Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения. Метод Симпсона приближенного вычисления определенного интеграла.
Модуль 3 — «ОДУ первого порядка»
pdf Лекция 14 . Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение первого порядка, его решения. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Понятие частной производной функции нескольких переменных. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании решения дифференциального уравнения.
pdf Лекция 15 . Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, Бернулли.
pdf Лекция 16 . Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Геометрическое решение дифференциальных уравнений с помощью изоклин. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения первого порядка.
pdf Лекция 17 . Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация (n=2). Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов дифференциальных уравнений n-го порядка.
Модуль 4 — «ОДУ высших порядков»
pdf Лекции 18-19 . Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения. Дифференциальный оператор L[y], его свойства. Линейное пространство решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейная зависимость и независимость системы функций на промежутке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. Размерность пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля и ее следствия. Понижение порядка однородного линейного уравнения (при известном частном решении).
pdf Лекции 20-21 . Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для n=2). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации постоянных (вывод для n=2). Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
pdf Лекция 22 . Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство и фазовые траектории. Задача и теорема Коши. Частные и общее решения. Сведение дифференциального уравнения высшего порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение нормальной системы к дифференциальному уравнению высшего порядка (вывод для n=2). Первые интегралы системы. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Интегрируемые комбинации. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений.
pdf Лекция 23 . Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных.
pdf Лекция 24 . Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных корней).
http://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2020/03/23/lektsiya-differentsialnye-uravneniya-vtorogo-poryadka
http://fn.bmstu.ru/educational-work-fs-12/70-lections/241-int