Лекции по высшей математике дифференциальные уравнения

Лекции по высшей математике дифференциальные уравнения

pdf Лекция 1 . Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов.

pdf Лекция 2 . Интегрирование подстановкой и заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

pdf Лекция 3 . Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших (без д-ва). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.

pdf Лекция 4 . Интегрирование выражений, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

pdf Лекции 5-6 . Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывной функции (без д-ва). Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.

pdf Лекция 7 . Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.

Модуль 2 — «Приложения определенного интеграла»

pdf Лекция 8 . Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода). Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf Лекции 9-10 . Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf Лекция 11 . Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрическии и в полярных координатах.

pdf Лекции 12-13 . Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения. Метод Симпсона приближенного вычисления определенного интеграла.

Модуль 3 — «ОДУ первого порядка»

pdf Лекция 14 . Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение первого порядка, его решения. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Понятие частной производной функции нескольких переменных. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании решения дифференциального уравнения.

pdf Лекция 15 . Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, Бернулли.

pdf Лекция 16 . Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Геометрическое решение дифференциальных уравнений с помощью изоклин. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения первого порядка.

pdf Лекция 17 . Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация (n=2). Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов дифференциальных уравнений n-го порядка.

Модуль 4 — «ОДУ высших порядков»

pdf Лекции 18-19 . Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения. Дифференциальный оператор L[y], его свойства. Линейное пространство решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейная зависимость и независимость системы функций на промежутке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. Размерность пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля и ее следствия. Понижение порядка однородного линейного уравнения (при известном частном решении).

pdf Лекции 20-21 . Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для n=2). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации постоянных (вывод для n=2). Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

pdf Лекция 22 . Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство и фазовые траектории. Задача и теорема Коши. Частные и общее решения. Сведение дифференциального уравнения высшего порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение нормальной системы к дифференциальному уравнению высшего порядка (вывод для n=2). Первые интегралы системы. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Интегрируемые комбинации. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений.

pdf Лекция 23 . Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных.

pdf Лекция 24 . Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных корней).

Лекции по теме «Дифференциальные уравнения» Е.Н.01 Математика.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Департамент образования и науки Приморского края

Краевое государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Региональный технический колледж»

Учебная дисциплина Е.Н.01 МАТЕМАТИКА

Преподаватель высшей квалификационной категории учебной дисциплины

Лекции изложены в доступном пониманию виде и могут быть использованы студентами при самостоятельной подготовке к занятиям.

Изложение теоретического материала по теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, что позволит подготовиться к выполнению практической работы. В конце лекции представлены вопросы, необходимые для самоподготовки и темы для самостоятельного изучения.

Пособие поможет обучающимся освоить тему «Дифференцированные уравнения» курса высшей математики, подготовиться к сдаче зачётов и экзаменов.

Лекции по теме «Дифференцированные уравнения» рекомендованные для всех специальностей в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.

Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

х+ уу’=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.

— 4 xy = — обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

О: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

О: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка у’= f ( x ;у) в области D называется функция у=(х,С), обладающая следующими свойствами:

1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;

2)для любого начального условия у(х ₀ ) = у ₀ такого, что (х ₀ ;у ₀ ) , существует единственное значение С=С ₀ , при котором решение у=(х,С ₀ ) удовлетворяет заданному начальному условию.

О: Всякое решение у=(х,С ₀ ), получающееся из общего решения у=(х,С) при конкретном значении С=С ₀ , называется частным решением.

О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у’ = f ( x ; y ), удовлетворяющих начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у=(х) данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению (х;С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , — кривая этого семейства, проходящая через точку (х ₀ ;у ₀ ).

2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

О: Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющими переменными.

Если f ₂ ( x ) ≠ 0 и ₁ ( y ) ≠ 0, то его можно представить в виде

В результате почленного интегрирования получаем

Пример 1. Решить уравнение у’ = .

Решение. f ₂ ( x ) = x , ₁ ( y ) = у, = , ydx = xdy . Разделяя переменные, получаем = . Интегрируя, = + С ₁ |, С ₁ 0 или = + С ₁ .

Потенцируя, находим | у| = | С ₁ | |х |, что эквивалентно уравнению у = С ₁ х. Полагая С ₁ = С, окончательно получаем у = Сх.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

(1 + е 2х ) у 2 dy = е х dx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.

Решение. Разделим переменные: у 2 dy = . Почленно интегрируя,

Получим : у 3 = arctg е х + С, или у 3 = 3 arctg е х + C , или у = — общее решение дифференциального уравнения.

Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0: 0 = + С или С = — . Частное решение имеет вид: у 3 = 3 arctg е х — ,

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

х + у у ‘ = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.

Решение. Разделяя переменные и обозначая у’ = , получим

y = — x ydy = — xdx.

Почленно интегрируя, будем иметь = — + С или х 2 + у 2 = С — общее решение дифференциального уравнения. Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 2 : 0 + 4 = С С = 4. Частное решение имеет вид х 2 + у 2 = 4.

Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х 2 + у 2 = С

С центром в начале координат. Частное решение представляет собой конкретную окружность х 2 + у 2 = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

О: Дифференциальное уравнение вида у’ + Р(х) у = Q ( x ) называется линейным. Если Q ( x ) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q ( x ) = 0, то – линейным однородным.

Общее решение линейного однородного уравнения у’ + Р(х) у = 0 легко получается разделением переменных

= — P (x) y = — P (x) y = — dx + = — y = C .

Пример 1. Найти общее решение уравнения у’ + 3у = е 2х .

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х) = 3; f (х) = е 2х . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у’ + 3у = 0. Разделяя переменные = — 3 dx и интегрируя, находим

= — 3х + или у = С ₁ е -3х = С е -3х .

Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в том же виде у = С(х) е -3х , только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у’ = С’ (х) е -3х – 3С(х) е -3х . Подставляя в данное уравнение выражения для у и у’, получаем

С’ (х) е -3х = е 2х , С’ (х) = е 5х или dC = е 5х d х, откуда С(х) = е 5х + С ₂ , где С ₂ – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = С(х) е -3х = ( е 5х + С ₂ ) е -3х или у = е 2х + С ₂ е -3х .

Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у = uv . Тогда будем иметь y ‘ = u ‘ v + uv ‘.

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим

u ‘ v + uv ‘ + 3 uv = е 2х или u ‘ v + u ( v ‘ + 3 v ) = е 2х . ()

Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v ‘ + 3 v = 0, откуда = — dx ; = — x ; = e — x ; v = e -3 x .

Подставляя найденное значение v в (), найдем u ‘ e -3 x = e 2 x ; du = e 5 x dx ;

u = е 5х + С. Но у = uv , поэтому у = е -3х ( е 5х + С ) или у = е 2х + С е -3х .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

ху’ + 2у = и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Подставляя у и у’ в исходное уравнение, будем иметь

x v u’ + x u v’ + 2u v = ; u ( x v’ + 2v ) + x v u’ = .

Решим оставшееся уравнение:

x v u’ = xv = x = = 1 du = dx u = x + C.

Общее решение уравнения имеет вид y = u v = .

Найдем частное решение: 1 = С = 6 у = .

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

некоторые постоянные действительные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если у ₁ (х) и у ₂ (х) — два линейно независимых частных решения уравнения ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0, то у = С ₁ у ₁ + С ₂ у ₂ есть общее решение этого уравнения (С ₁ и С ₂ — произвольные постоянные ).

Теорема. Частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0

может быть найдено в виде у = е kx .

Доказательство. После нахождения у’ = k e kx , y » = k 2 e kx и подстановки в уравнение, получим ₀ k 2 e kx + ₁ k e kx + ₂ e kx = 0 e kx ( ₀ k 2 + ₁ k + ₂ ) = 0.

Поскольку е kx 0, то ₀ k 2 + ₁ k + ₂ = 0.

Это квадратное уравнение определит те значения k , при которых у = е kx

будет решением дифференциального уравнения. Оно называется характеристическим уравнением.

Случай 1. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и различны ( k ₁ k ₂ ) ( D 0). Получим два частных линейно независимых решения у ₁ = ; у ₂ = . Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения будет иметь вид: у = С ₁ + С ₂ .

Пример 3. Найти общее решение уравнения у» – 3у’ +2у’ =0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменяя у» на k 2 , у’ на k , а у на 1. Получаем k 2 — 3 k + 2 = 0; k ₁ = 1; k ₂ = 2 y = C ₁ e x + C ₂ e 2 x .

Случай 2. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и одинаковы ( k ₁ = k ₂ = k = — ( D = 0).

В этом случае общее решение имеет вид:

у = C ₁ e kx + C ₂ х e kx = ( C ₁ + C ₂ x ) e kx .

Пример 4. Найти общее решение уравнения у» – 2у’ + 1 = 0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 2 k + 1 =0. Корни уравнения k ₁ = k ₂ = 1 действительные и равные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения

у ₁ = е х , у ₂ = х е х ; = const . Общее решение уравнения имеет вид

у = С ₁ е х + С ₂ х е х = е х ( С ₁ + С ₂ х ).

Пример 5. Найти общее решение уравнения у» – 4у’ + 13 =0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 4 k + 13 = 0. Корни уравнения k ₁ = 2 + 3 i , k ₂ = 2 – 3 i — комплексные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения у ₁ = е 2х cos 3 x , y ₂ = = е 2х sin 3 x . Общее решение уравнения имеет вид

у = е 2х ( С ₁ cos 3 x + C ₂ sin 3 x ).