Лекция по теме решение логарифмических уравнений

Урок-лекция по теме «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения»

Презентация к уроку

В моём календарно-тематическом планировании на тему “Логарифмические уравнения” отводится 3 часа. Я их разбиваю следующим образом:

1 возможный вариант:

1 урок — лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”. В конце лекции задаю блок уравнений обязательного уровня.

2 урок – решение уравнений различного типа и сложности (это зависит от уровня математической подготовки класса, использую индивидуальный подход).

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

2 возможный вариант:

1 урок — лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, но только два метода – на основании определения и потенцирования. Решение уравнений на применение этих методов.

2 урок – лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”, два других метода – подстановки и логарифмирования. Решение уравнений на применение этих методов.

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

Вариант подачи темы зависит от подготовленности класса.

Лекция “Логарифмические уравнения. Основные методы их решения”.

Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): “Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, — всё, что может сделать учитель, это указать дорожки”.

А так же – русскую народную пословицу: “Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает”.

В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е.

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

при этом

Пример 1:

Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.

Пример 2:

Проверка: — верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Пример 3:

По определению логарифма значит

Ответ:

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4:

ОДЗ:.

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

, где

Пример 5:

— верно.

— не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

, где

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Пример 6:

— верно.

— не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Пример7:

Сделаем замену , получим воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: ), получим уравнение которое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т.е. А это линейное уравнение, решив которое, получим

Проверка: — верно.

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

Пример 8: .

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ:

Пусть , тогда уравнение примет вид

,

Значит или . А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1)

2)

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

, где

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Пример 9: .

ОДЗ:

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию , получим:

, выполним подстановку , получим уравнение

,

	или	.

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Данный метод является “обратным” методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

, при этом

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 10:

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

а теперь воспользуемся свойством логарифмов , получим

Выполним подстановку , получим уравнение

	или	.

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:

• На основании определения логарифма.
• Метод потенцирования.
• Метод постановки.
• Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит “выход” на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в “чистом” виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!

Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю следующее домашнее задание. Уравнения являются базовыми, т. е. решать их должен уметь решать каждый. Отмечу, что подборка сделана из открытого банка заданий для экзамена по математике ЕГЭ http://mathege.ru .

№ п/п	Уравнения	Комментарии (даётся для слабых учащихся)
1		Пользуясь определением
2		Пользуясь определением
3		Потенциирование
4		Потенциирование
5		Потенциирование
6		Потенциирование
7		Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
8		Применить свойства логарифмов и затем потенциировать
9		Пользуясь определением
10		Пользуясь определением, выход на показательное уравнение
11		Показательное уравнение, выход на логарифмическое

Замечание: домашнее задание распечатано на листах для каждого ученика.

Решение задач по теме “Логарифмические уравнения”. Зачёт.

Уравнения (примерные, зависит от математической подготовки учащихся).

«Способы решения логарифмических уравнений».
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

План конспект и презентация к двум урокам алгебры в 10 классе. на этих уроках ребята знакомятся с 9 способами решения логарифмических уравнений и закрепляют их в решении различных упражнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: «Способы решения логарифмических уравнений».

Плотникова Татьяна Владимировна

МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля»

Алгебра и начала математического анализа

«Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014

Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

— Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log 0,8 x является возрастающей или убывающей?Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

2. Работа по карточка(3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log 6 4 + log 6 9 =

б) log 1/3 36 – log 1/3 12 =

Решить уравнение: log 5 х = 4 log 5 3 – 1/3 log 5 27

Вычислить: а) log211 – log244 =

б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log 7 х = 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 – 1/3 log 7 125.

Фронтальный опрос класса ( устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 5)

Сравнить числа : (слайд № 6)

1. log ½ е и log ½ π;
2. log 2 √5/2 и log 2 √3/2.

Выяснить знак выражения log 0,8 3 · log 6 2/3. (слайд № 7)

1. Проверка домашнего задания:

На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.

1. Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log a х =с (а > 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)

1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)

log a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а с .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,
• по данному логарифму и основанию определяется число,
• по данному числу и логарифму определяется основание.

log 2 128= х, log 16 х = ¾, log х 27= 3,

2 х = 128, х =16 ¾ , х 3 =27,

2 х = 2 7 , х =2 3 , х 3 = 3 3 ,

С классом решить следующие уравнения:

а) log 7 (3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log 2 (7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

1. Метод потенцирования. (слайд № 10)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

3х-1>0; х>1/3

Ответ: решений нет.

С классом решить следующее уравнение:

lg(х 2 -2) = lg х (ответ: х=2)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)

Решите уравнение =log 2 (6-х)

6-х>0;

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

С классом решить следующее уравнение :

= (ответ: х=1)

1. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)

Решите уравнение log 16 х+ log 4 х+ log 2 х=7

¼ log 2 х+½ log 2 х+ log 2 х=7

х=16 – принадлежит ОДЗ.

С классом решить следующее уравнение:

1. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)

Решите уравнение log 2 (х +1) — log 2 (х -2 ) = 2.

х+1>0;

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log 2 = 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 — верно

С классом решить следующие уравнения:

а)log 5 (х +1) + log 5 (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log 9 ( 37-12х ) log 7-2х 3 = 1,

37-12х >0, х

log 9 ( 37-12х ) / log 3 (7-2х ) = 1,

½ log 3 ( 37-12х ) = log 3 (7-2х ) ,

log 3 ( 37-12х ) = log 3 (7-2х ) 2 ,

37-12х= 49 -28х +4х 2 ,

х 2 -4х +3 =0, Д=19, х 1 =1, х 2 =3, 3 –посторонний корень .

Ответ: х=1 корень уравнения.

в) lg(х 2 -6х+9) — 2lg(х — 7) = lg9.

(х 2 -6х+9) >0, х≠ 3,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 — посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

1. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)

Решите уравнение lg 2 х — 6lgх+5 = 0.

Пусть lgх = р, тогда р 2 -6р+5=0.

Возвращаемся к замене:

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

log 6 2 х + log 6 х +14 = (√16 – х 2 ) 2 +х 2 ,

16 – х 2 ≥0 ; — 4≤ х ≤ 4;

х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).

log 6 2 х + log 6 х +14 = 16 – х 2 +х 2 ,

log 6 2 х + log 6 х -2 = 0

заменим log 6 х = t

t 2 + t -2 =0 ; D = 9 ; t 1 =1 , t 2 = -2.

log 6 х = 1 , х = 6 посторонний корень .

log 6 х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .

1. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Решите уравнение log 4 (2х-1)∙ log 4 х=2 log 4 (2х-1)

2х-1>0;

log 4 (2х-1)∙ log 4 х — 2 log 4 (2х-1)=0

log 4 (2х-1)∙(log 4 х-2)=0

log 4 (2х-1)=0 или log 4 х-2=0

2х-1=1 log 4 х = 2

1;16 – принадлежат ОДЗ

С классом решить следующее уравнение:

log 3 х ∙log 3 (3х-2)= log 3 (3х-2) (ответ: х=1)

1. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log 3 = log 3 (3х)

получаем : log 3 х 2 log 3 х = log 3 (3х),

2log 3 х log 3 х = log 3 3+ log 3 х,

2 log 3 2 х = log 3 х +1,

2 log 3 2 х — log 3 х -1=0,

заменим log 3 х = р , х >0

2 р 2 + р -2 =0 ; D = 9 ; р 1 =1 , р 2 = -1/2

log 3 х = -1/ 2 , х= 1/√3.

С классом решить следующее уравнение:

х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4 )

1. Функционально – графический метод. (слайд № 17)

Решите уравнения: log 3 х = 12-х.

Так как функция у= log 3 х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log 3 х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х ( ответ : х=1).

1. Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)

Определить метод решения уравнения:

1. Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002
2. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004
4. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004
5. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Способы решения логарифмических уравнений Учитель математики: Плотникова Т.В. МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля»

Определение Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a >0, а≠1 , называется такой показатель степени с , в которую надо возвести a , чтобы получить b .

Свойства логарифмов log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Формулы перехода к другому основанию 4

7 Определите знак числа:

Основные методы решения логарифмических уравнений

1. Использование определения логарифма l og 2 128= х log х 27= 3 Решим следующие уравнения: а) log 7 (3х-1)=2 б) log 2 (7-8х)=2 9

2. Метод потенцирования Решим следующее уравнение: lg (х 2 -2) = lg х 10 2

11 3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества Решим следующее уравнение: 1

12 4 . Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию log 16 х + log 4 х + log 2 х=7 Решим следующее уравнение:

13 5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма log 2 (х +1) — log 2 (х -2 ) = 2 Решим следующие уравнения: а) l og 5 (х +1) + log 5 (х +5) = 1 б)log 9 ( 37-12х ) log 7-2х 3 = 1 в) lg(х 2 -6х+9) — 2lg(х — 7) = lg9 0 1 9

6. Уравнения, решаемые введением новой переменной l g 2 х — 6lgх +5 = 0 Решим следующие уравнения: log 6 2 х + log 6 х +14 = (√16 – х 2 ) 2 +х 2 14

15 7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители log 4 (2х-1)∙ log 4 х =2 log 4 (2х-1 ) Решим следующие уравнения: log 3 х ∙ log 3 (3х-2 )= log 3 (3х-2) 1

8. Метод логарифмирования Решим следующее уравнение: 16

9. Функционально – графический метод log 3 х = 12-х Решим следующее уравнение: 17 1

Определить метод решения уравнения: Уравнение: Метод решения по определению логарифма переход к другому основанию разложение на множители потенцирование введение новой переменной переход к другому основанию использование свойств логарифма логарифмирование графический 18

Да! И кто придумал эти логарифмические уравнения! У меня всё получается. Надо решить ещё пару примеров?! Рефлексия 19

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Различные способы решения логарифмических уравнений

Карточка-инструктор по теме: «Различные способы решения логарифмических уравнений».

Опорный конспект по теме «Способы решения логарифмических уравнений»

Опорный конспект «Способы решения логарифмических уравнений».

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений

Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.

Конспект обобщающего урока «Логарифмическая функция. Методы решения логарифмических уравнений», алгебра 11 класс.

Урок обобщения и систематизации знаний с использованием индивидуальной, фронтальной, коллективной форм работы. Используются разноуровневые задания.Урок позволяет создать условия для развития творчески.

Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Конспект для открытого урока с презентацией.

«Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»

В презентации рассматриваются свойства логарифмов. Методы решения логарифмических уравнений. Тест на решение уравнений.

Элективный курс «Различные способы решения логарифмических уравнений и неравенств»

Представлена разработка элективного курса «Различные способы решения логарифмических уравнений и неравенств».

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).