4.1.3 Уравнение касательной к графику функции
Видеоурок: Уравнение касательной к графику функции
Лекция: Уравнение касательной к графику функции
Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х0; f (х0)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.
Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.
Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.
Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.
Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х0.
Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:
Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.
Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.
Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х 3 в точке х0 = 3.
1. Находим производную данной функции:
y’ = 3x 2 .
2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому
y'(3) = 3* 3 2 = 27.
3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x0):
f(3) = 3 3 = 27.
Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y’ = f(x0).
4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:
у = 27 * (х – 3) + 27.
Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:
у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х — 54.
То есть уравнение касательной:
у = 27х — 54.
Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.
План-конспект учебного занятия «Уравнение касательной к графику функции»
план-конспект урока по математике (11 класс)
Уравнение касательной к графику функции. Дистанционный урок
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
uravnenie_kasatelnoy_k_grafiku_funktsii.docx | 820.17 КБ |
Предварительный просмотр:
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы
(ГБПОУ Юридический колледж)
ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия
по ОУДб.04 Математика
учебной дисциплине/междисциплинарному курсу
для обучающихся курс 1
Раздел 4. Начала математического анализа
Тема 4.1. Производная и ее применение
Занятие 37. Уравнение касательной к графику функции
Цель занятия: продолжить формирование представления о производной, введение понятия касательной к графику функции в точке
Обучающая : формирование понятия геометрического смысла производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций;
Воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций; формирование умения рационально, аккуратно оформить задание в тетради;
Развивающая: развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, развивать логическое мышление, исследовательские навыки, функционального мышления, математической речи
1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. М., Просвещение, 2019.
1. Башмаков М.И. Математика. М., «Академия», 2014
2. Богомолов Н.В. Сборник задач (учебное пособие) – М.: Дрофа, 2015.
Образовательный портал Решу ЕГЭ.
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
Открытый банк заданий по математике
Информационные, тренировочные и контрольные материалы.
Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, физика, естествознание
Внутридисциплинарные связи: геометрия
1.АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА
(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)
Найдите производную функции:
Найдите производную функции:
Найдите производную функции:
Найдите производную функции:
Найдите производную функции:
2.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
1. Уравнение касательной к графику функции
Вопрос 1. Уравнение касательной к графику функции
Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Данное утверждение не верно.
«Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе .
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида ; (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика .
Рисунок 1
Рисунок 2
Выясним что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования
- Таблица производных элементарных функций
- Вспомним правила дифференцирования
- Составьте уравнение прямой y = kx + 4 , проходящей через точку А(3; -2).
Ответ: y = -2x+4 - Составьте уравнение прямей y = 3x + b , проходящей через точку С(4; 2).
Ответ: y = 3x – 2 - Сформулируйте определение производной
- Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = — 0,5х; у = — 0,5х + 2. Почему?
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.
- Начнём с углового коэффициента
Рисунок 3
Рассмотрим график функции y = f(x) дифференцируемой в точке А (x 0 , f(x 0 )) .
Выберем на нём точку M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) и проведем секущую AM .
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)
Будем приближать по дуге точку M к точке A . В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A , приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению — прямой AT . Другими словами AT , обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x 0 , f(x 0 )).
Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f ‘(x 0 ) . Значение производной в точке х 0 примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0 .
Существование производной функции в точке x 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x 0 , f(x 0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f ‘(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной в этой точке. k кас. = f / (x 0 )
Определение касательной : Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f — это прямая, проходящая через точку (x 0 , f(x 0 )) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х 0 ) .
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х 1 , х 2 , х 3 , и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.)
Рисунок 4
Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен. Поэтому f ‘(х 1 )>0, f ‘(х 2 ) = 0, f ‘(х 3 )
f ‘(х 1 )>0 f ‘(х 2 ) = 0 f ‘(х 3 ) 1 2 = 0 α 3 > 90º
Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке А( x 0 , f(x 0 ) ).
Общий вид уравнения прямой y = kx + b .
- Найдём угловой коэффициент k = f ‘(х 0 ), получим y = f ‘(х0)∙x + b, f(x) = f ‘(х 0 )∙x + b
- Найдём b . b = f(x 0 ) — f ‘(х 0 )∙x 0 .
- Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f ‘(х 0 )∙x + f(x 0 ) — f ‘(х 0 )∙x 0 или y = f(x 0 ) + f ‘(х 0 )(x — x 0 )
Решение опорных задач.
Рассмотрим четыре типа задач.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение:
- Вычислим значение функции: f(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
- найдём производную функции: f ‘(х) = 3х 2 – 3;
- вычислим значение производной: f ‘(-2) = — 9.;
- подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.
Ответ: y = 9x + 15.
2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y 0 = 1.
Решение:
- Найдем абсциссу точки касания: , х 0 = 1.
- Найдём производную функции: f ‘(х) = .
- Найдем угловой коэффициент касательной f ‘(х 0 ) : f ‘(1)= — 1
- Теперь можно записать уравнение касательной: y = –1(x – 1) + 1 = –x + 2 .
3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7 , параллельной прямой у = х .
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x . Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1, y'(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х 0 точек касания удовлетворяет уравнению 3х 2 – 2 = 1 , откуда х 0 = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9 .
Ответ: y = x + 5 , y = x + 9 .
4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f ‘(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.
3.ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)
Наименование изученного вопроса учебного занятия
Контрольное задание по изученному вопросу
1. Уравнение касательной к графику функции
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)= х 3 + 27 в точке х 0 = -3
1. Уравнение касательной к графику функции
Составьте уравнение касательной к графику функции , параллельно прямой у = 3х.
1. Уравнение касательной к графику функции
Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х 2 — 4 в точке с абсциссой х 0 = — 2.
1. Уравнение касательной к графику функции
Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х 3
1. Уравнение касательной к графику функции
В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х 2 — 12х + 7 параллельна оси х
4. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ
- Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7, параллельной прямой у = х.
- Прямая у = 6х + 8 параллельна касательной к графику функции у = х 2 — 3х + 5. Найдите абсциссу точки касания.
Преподаватель Древаль В.И.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции
В данной методической разработке рассматривается введение понятия производной, ее геометрического и физического смысла. Разбираются примеры и весь материал базируется на применении презентации.
Уравнение касательной к графику функции
Сценарий урока « Уравнение касательной к графику функции»Предмет: математика, урок-закреплениеТема: Уравнение касательной к графику функцииПродолжительность: 2 урока по 40 минутКласс: 10Технолог.
Тема 30. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. Теория. Ключевые методы решения задач.
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э.
Тема 31. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМЕ № 30: «УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИЙ».
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э.
Решение учебно-тренировочных задач ЕГЭ по теме: «Уравнение касательной к графику функции».
Открытый урок по программе: «Профессиональное развитие и методический коучинг учителей РТ» (Сингапурская методика).
презентация по теме «Касательная к графику функции»
урок введения нового материала.
Разноуровневая контрольная работа по теме: » Применение непрерывности и производной. Касательная к графику функции «. 10 класс
Разноуровневая контрольная работа по теме: » Применение непрерывности и производной. Касательная к графику функции «. 10 класс.
Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс
Класс: 10
Презентация к уроку
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
- Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
- Развивать логическое мышление, математическую речь.
- Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.
Оборудование: интерактивная доска, компьютер.
I. Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.
II. Актуализация знаний.
(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)
Вспомним, что же такое касательная?
“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)
Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.
Рассмотрим пример. (Слайд № 3)
Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).
На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.
Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)
III. Подготовительная работа к изучению нового материала.
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.
Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .
Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .
Следовательно, .
Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)
Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .
Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)
Причем, если :
- .
Выясним общий вид уравнения касательной.
Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:
– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)
Составим уравнение касательной:
- к параболе в точке (Слайд № 13)
- к графику функции в точке
Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)
- Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
- Вычислим .
- Найдем и .
- Подставим найденные числа , в формулу
Рассмотрим типичные задания и их решение.
№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .
Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .
1)
2)
3) ;
4) Подставим найденные числа ,, в формулу.
, т.е.
Ответ:
№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)
Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .
Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .
Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Действуем по алгоритму.
1) ,
2) ,
3)
4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .
Подставив значения ,, , получим , т.е.
Ответ: , .
V. Решение задач.
1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)
2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)
VI. Подведение итогов.
1. Ответьте на вопросы:
- Что называется касательной к графику функции в точке?
- В чем заключается геометрический смысл производной?
- Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?
2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
3. Выставление отметок.
VII. Комментарии к домашней работе
№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)
Литература. (Слайд 23)
- Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
- Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
- ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.
http://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2021/11/04/uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funktsii
http://urok.1sept.ru/articles/613311