Линейная балансовая модель.Высшая математика часть1. Линейная балансовая модель
Название | Линейная балансовая модель |
Дата | 26.06.2021 |
Размер | 69.42 Kb. |
Формат файла | |
Имя файла | Линейная балансовая модель.Высшая математика часть1.docx |
Тип | Реферат #221661 |
Подборка по базе: Американская модель менеджмента — копия.docx, Информатика 7 сынып 7.2A бөлімі Есептерді электронды кестелер ар, 3.1.2_Математическая модель.docx, РАбота 1 Кривошеев модель дерева процесса .docx, Теоретический материал по теме ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.pdf, Макроэкономическая модель кейнсианского креста.docx, 1. Стадиальную (поэтапную) модель принятия морального решения ра, Процессная модель организации.doc, Практика управления персоналом европейская модель — StudentLib.c, математическая экономика. регрессия и их модель 3 курс КР.docx Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий» Зачетная (экзаменационная) работа Дисциплина: «Высшая математика, часть 1» Тема: «Линейная балансовая модель» «Прикладная информатика» ИН – 1621 (1)
Содержание
Линейная балансовая модель Простой математической моделью выступает балансовая модель. Она представляется системой уравнений, каждым из которых выражается требование равенства (баланса) между количеством товаров (производящихся определенными объектами экономики) и совокупной потребность в данной продукции. Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1) и как ее потребитель (первая строка таблицы 1). Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi — конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.). Таким образом, разность xi — yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk. Линейная балансовая модель уравнение баланса продуктивная матрица9. Применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей Балансовая модель производства является одной из наиболее простых моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между производимым отдельным экономическим объектом количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции; отсюда происходит название модели. Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает с одной стороны как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель своей, и произведенной другими отраслями продукции. Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В. В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако и в настоящее время большое число работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели вызван тем, что она хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. В основе балансовой модели лежат следующие основные предположения о свойствах экономической системы. 1. Экономическая система состоит из экономических объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции может быть охарактеризовано одним числом. Если соответствующий объект выпускает несколько видов продукции, то таким числом может служить валовой выпуск в некоторых фиксированных ценах. 2. Для выпуска данного количества продукции объект должен получить строго определенные количества продукции других объектов. Это свойство объектов называют комплектностью потребления. 3. Увеличение выпуска продукции в некоторое число раз требует увеличения потребления объектом всех других продуктов в то же самое число раз. Это свойство называют свойством линейности. 4. Выпускаемая каждым объектом продукция частично потребляется другими объектами системы, а частично поступает вовне в качестве конечного продукта данной системы. В балансовой модели предполагается, что цель системы заключается в производстве заданного более высоким планирующим органом количества всех конечных продуктов. Легко видеть, что сформулированные выше предположения лишь приблизительно отражают реальную экономическую ситуацию. Пусть экономическая система состоит из n отраслей. Обозначим через вектор валовой продукции системы, а через – вектор ее конечной продукции. Тогда система уравнений материального баланса при условии линейности функций производственных издержек имеет вид
или в векторно-матричной форме (9.1) Матрицу называют матрицей прямых затрат, или технологической матрицей. Важной ее особенностью является неотрицательность ее коэффициентов. Технологическая матрица А содержит всю необходимую информацию для составления системы уравнений балансовой модели. Коэффициенты называются коэффициентами прямых затрат. Они представляют собой затраты продукции i -й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j -й отрасли. Будем считать, что . В соответствии с предположением о комплектности потребления эти количества определяются однозначно. Уравнения (9.1) называются моделью Леонтьева. Одна из задач планирования состоит в том, чтобы при заданном векторе конечного продукта определить необходимый вектор валовой продукции. Исследование системы уравнений (9.1) означает, в первую очередь, выяснение условий, гарантирующих существование и единственность решения этой системы. Как известно, необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы уравнений (9.1) при любом векторе является невырожденность матрицы (Е – А); тогда матрица (Е – А) имеет обратную матрицу и решение определяется соотношением . (9.2) Однако в данном случае задача исследования усложняется, так как для того чтобы решение имело экономический смысл, оно должно быть неотрицательным. Заметим, что далеко не при любой неотрицательной матрице система уравнений (9.1) имеет неотрицательное решение. С экономической точки зрения особый интерес представляют системы, которые имеют неотрицательное решение при любом векторе , так как в практике планирования вектор конечной продукции задается плановым органом более высокого, нежели рассматриваемая экономическая система, уровня, а такой плановый орган не знает достаточно точно матрицу А и не может «подбирать» задание под конкретную матрицу. Таким образом, исследование балансовых уравнений вида (9.1) сводится к установлению условий, которым должна удовлетворять неотрицательная матрица А, для того чтобы существовало неотрицательное решение этой системы при любом векторе . Назовем матрицу продуктивной, если существует хотя бы один положительный вектор , для которого или . В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной. Это определение имеет простой экономический смысл: матрица продуктивна, если существует такой план , что каждый объект может произвести некоторое количество конечной продукции. Теорема 9.1 (о существовании и единственности решения системы балансовых уравнений). Продуктивность матрицы является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений
при любом неотрицательном векторе , которое можно записать в виде . Данная теорема показывает, что при расчете плана по балансовой модели необходимо заранее знать, является ли технологическая матрица А продуктивной. Теорема 9.2. (критерий продуктивности). Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и является неотрицательной. Экономический смысл элементов матрицы заключается в следующем: элемент равен количеству продукции, которое должен выпустить объект , для того чтобы объект мог выпустить одну единицу конечной продукции (а не полного выпуска). В связи с этим элементы носят название коэффициентов полных затрат, а матрица S – матрицы коэффициентов полных затрат. Приведем еще один достаточный признак продуктивности модели Леонтьева, наиболее удобный для проверки продуктивности матрицы межотраслевого баланса в натурально-стоимостной форме. Теорема 9.3. Если матрица А = ( ) неотрицательна, сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева, определяемая матрицей А, продуктивна. Таким образом, матрица А продуктивна, если ³ 0 для любых i , j = 1, 2, …, n , ( i = 1, 2, …, n ) и существует номер такой, что . Очевидно, что коэффициенты полных затрат всегда меньше, а могут быть и существенно больше соответствующих коэффициентов прямых затрат, поскольку, во-первых, коэффициенты указывают не только непосредственные поставки продукции объекта объекту , но и поставки продукции объекта другим объектам, для того чтобы последние в свою очередь могли поставить объекту требуемое количество их продукции, и во-вторых, при вычислении коэффициентов берется отношение суммы поставок продукции объекта всем объектам к величине конечной продукции объекта , а эта величина меньше полного выпуска продукции объекта . Матрица носит название матрицы косвенных затрат, а элементы этой матрицы – коэффициенты косвенных затрат. Основы линейной алгебры на примере балансовой модели
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ). Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ). Таким образом, разность xi — yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk . Таблица 1
|