Линейная функция уравнения алгебра 7 класс

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Урок алгебры в 7-м классе на тему «Линейная функция и ее график»

Разделы: Математика

Цели: рассмотреть случаи взаимного расположения прямых – графиков линейных функций; ввести понятие углового коэффициента k; развивать навыки построения прямых по координатам точек; приучать учащихся к аккуратному построению прямых.

Оборудование:

1. Изучение нового материала.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции при b = 0.

Возьмем графики функции y = 0,5x и у = 0,5х + 2.

Если график функции у = 0,5x сдвинуть на 2 единицы вверх, то каждая точка графика функции у = 0,5х перейдет в точку графика функции у = 0,5х + 2. При этом любая точка графика у = 0,5х + 2 получается из соответствующей точки графика функции y = 0,5x.

График функции y=kx+b, где k0, есть прямая, параллельная прямой y=kx.

Если k=0, то формула y=kx+b принимает вид y = b. Графиком функции y = kx + b является прямая, параллельная оси х при b0 или сама ось х при b = 0.

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Расположение графика функции y=kx+b на координатной плоскости зависит от коэффициентов k и b.

Число k называется угловым коэффициентом прямой – графика функции у = kx + b.

Если k>0, то угол наклона прямой у=kx+b к оси х острый; если k 2 – 3 нет;

б) у = 7 – 9х да; г) нет; е) да.

а) х = –1,5; у = – 3 • (– 1,5) + 1,5 = 6

х = 2,5; у = –3 • 2,5 + 1,5 = –7,5 + 1,5 = –6

х = 4; у = –3 • 4 + 1,5 = –2 + 1,5 = –10,5

Конспект урока «Линейная функция» (7 класс)
план-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме

Данный урок разработан в соответствии с темой и учетом возрастных особенностей учащихся. На уроке используется ИКТ, как сопровождение изучаемого материала, как средство организации самостоятельной работы и самопроверки учащихся.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Открытый урок по алгебре в 7 классе

Учитель: Бондаренко Ольга Михайловна

Цели и задачи урока:

а) проверить и закрепить знания, умения и навыки учащихся по данной теме;

б) научить применять знания на практике

Развивающие: расширение кругозора, получение новых знаний:

а) научить решать уравнения графическим способом.

а) повышение интереса к изучению математики

б) воспитание трудолюбия, внимательности, аккуратности и ответственности при выполнении заданий

в) содействие развитию самоконтроля, любознательности

г) развитие коммуникативной культуры

Технологии: проблемное обучение, обучение в сотрудничестве (групповая работа), ИКТ

Ноутбук, мультимедийный проектор, экран, презентация, памятка – что должен знать учащийся по теме «линейная функция», раздаточный материал.

Приветствие учащихся, гостей.

Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель сообщает тему урока, акцентируя внимание учащихся на том, что они должны знать и уметь в результате изучения темы. Сообщает обучающую цель урока и план его проведения.

Здравствуйте ребята! Здравствуйте уважаемые гости!

Сегодня 17 ноября. Мне нравится, что сегодня вы все в классе и все хорошо выглядите. Улыбнитесь, передайте мысленно соседу по парте положительные эмоции, поделитесь капелькой теплоты, добра.

Итак, начнём урок.

Тема сегодняшнего урока «Линейная функция и ее график». На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие линейной функции и научились строить ее график. Сегодня мы должны закрепить эти знания и рассмотреть их применение для решения различных упражнений.

Сегодня у нас необычный урок. Я предлагаю вам отправиться в поход – поход за новыми знаниями по теме «Линейная функция». Конечной целью нашего путешествия будет покорение Вершины Знаний.

Чтобы спорилось нужное дело,
Чтобы в жизни не знать неудач,
Мы в поход отправляемся смело,
В мир загадок и сложных задач.
Не беда, что идти далеко,
Не боимся, что путь будет труден,

Достижения крупные людям
Никогда не давались легко!

1. Актуализация знаний учащихся

Самое главное перед походом – собрать в дорогу самые необходимые вещи. Давайте и мы с Вами вспомним основные знания по теме «Линейная функция».

1. Какая функция называется линейной?

1. Является ли линейной функция, заданная формулой? Определите значения k и b:

; —

1. Что является графиком линейной функции?

1. Найдите ошибку в построенных графиках функции :

1. Установите соответствие между графиком функции и формулой:

1. Выяснить, проходит ли график функции через точку А(2; -4).

1. Каково взаимное расположение графиков функций:

1. Даны функции. Отметьте те из них, которые являются линейными (+/-):

1. Даны пять функций. Отметьте те из них, которые являются линейными (+/-):

2. Определите значения k и b для функции

2. Определите значения k и b для функции

3. Чему равен угловой коэффициент прямой

3. Чему равен угловой коэффициент прямой

4. Пересекаются ли графики функций?

4. Пересекаются ли графики функций?

5. Выяснить, проходит ли график функции через точку

5. Выяснить, проходит ли график функции через точку

(Взаимопроверка с помощью проектора)

Подведение итогов математического диктанта.

1) Поднимите руку, пожалуйста, те, кому за все задания была поставлена оценка «5» и «4»

2) Тем, у кого «3» и «2» поработать над соответствующими вопросами данной темы.

Листы с выполненными заданиями с/р ученики сдают учителю по окончанию урока.

Первый этап пути вы успешно преодолели. Пора сделать небольшой привал.

Закройте глаза, выпрямите спину. (музыка)

Как вы уже знаете, графиком линейного уравнения является прямая.

А для чего мы строим графики? (Ответы учеников)

А ещё с помощью графиков можно решить линейное уравнение.

Линейные уравнения легко решать алгебраическим путем, т.е. все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую. И находим корень.

Например, решим уравнение: 2x−10=2

Вариант 1 , нам известный и самый распространенный – перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной — в другую, получаем:

Корнем уравнения является число 6.

Существует другой способ решения данного уравнения – графический.

Решим уравнение 2x−10=2 графическим способом:

В этот раз не будем ничего переносить из одной части уравнения в другую, а построим левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.

Иными словами, построим графики функций:

Как вы думаете, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата x точки пересечения графиков:

И, снова наш ответ: x=6.

Задание: Решить графическим способом линейное уравнение 3х+4=-2

1. Итоги урока, рефлексия, выставление оценок

Мы преодолели много трудностей и добрались до конечного пункта нашего похода. Мы на Вершине Знаний. Наши труды были не напрасны. Посмотрите, какая красота открывается перед нами (демонстрация фото).

Итак, наш урок подходит к концу. Мы с вами повторили определение линейной функции, алгоритм построения графика, научились решать линейные уравнения графическим способом.

Я очень рада, что многие из вас имеют прочные знания по этой теме и успешно справились с заданиями. Я надеюсь, что и домашнее задание не вызовет у вас затруднений.

Решить линейное уравнение графическим способом -5х+16=-6

Урок окончен. Всем спасибо. До свидания.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Линейная функция х у y = k x + b Открытый урок по алгебре в 7 классе Бондаренко Ольга Михайловна, учитель математики МОБУ Новобурейская СОШ №3

Цели и задачи урока: Образовательные: а) проверить и закрепить знания, умения и навыки учащихся по данной теме; б) научить применять знания на практике Развивающие: расширение кругозора, получение новых знаний: а) научить решать уравнения графическим способом. Воспитательные: а) повышение интереса к изучению математики б) воспитание трудолюбия, внимательности, аккуратности и ответственности при выполнении заданий в) содействие развитию самоконтроля, любознательности г) развитие коммуникативной культуры

На пути к Вершине ЗНАНИЙ

Является ли линейной функция, заданная формулой? ; ; ; ; .

Найдите ошибку в построенных графиках функций: у = — х — 2

Найдите ошибку в построенных графиках функций: у = 3х

Найдите ошибку в построенных графиках функций: у = — 1,5х

Установите соответствие между графиком функции и формулой: 1 2 3

Ответ: график функции не проходит через точку Выяснить, проходит ли график функции через точку

Каково взаимное расположение графиков функций

Каково взаимное расположение графиков функций

1 вариант 2 вариант 1. Даны функции. Отметьте те из них, которые являются линейными (+/-): 2. Определите значения k и b для функции Математический диктант

3. Чему равен угловой коэффициент прямой 4. Пересекаются ли графики функций? а) и б) и а) и б) и 5. Выяснить, проходит ли график функции через точку через точку

№ задания 1 вариант 2 вариант Кол-во баллов (макс.) 1 5 2 2 3 1 4 а) не пересекаются; б) пересекаются а) не пересекаются; б) пересекаются 2 5 — график функции не проходит через точку С — график функции проходит через точку М 5

13-15 баллов – оценка «5» 10-12 баллов – оценка «4» 5-9 баллов – оценка «3»

Решите уравнение: 1 способ:

Решите уравнение: 2 способ (графический):

Домашнее задание: № 327 (г), Решить линейное уравнение графическим способом