Линейно независимые системы уравнений определитель матрицы

Матрицы

Определение.

Мы будем называть матрицей размеров \(m \times n\) совокупность \(mn\) чисел, расположенных в виде таблицы из \(m\) строк и \(n\) столбцов:
$$
\begin
a_<1>^<1>& a_<2>^<1>& \ldots & a_^<1>\\
a_<1>^<2>& a_<2>^<2>& \ldots & a_^<2>\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
a_<1>^& a_<2>^& \ldots& a_^
\end\nonumber
$$
Числа, составляющие матрицу, мы будем называть элементами матрицы. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк — её порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных.

Можно дать и такое определение матрицы. Рассмотрим два множества целых чисел \(I=<1, 2, \ldots, m>\) и \(J=<1, 2, \ldots, n>\). Через \(I \times J\) обозначим множество всех пар вида \((i, j)\), где \(i \in I\), a \(j \in J\). Матрицей называется числовая функция на \(I \times J\), то есть закон, сопоставляющий каждой паре \((i, j)\) некоторое число \(a_^\).

Для читателя, знакомого с программированием, заметим, что матрица — это в точности то же, что и двумерный массив.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обозначать их элементы буквами с двумя индексами. Если оба индекса расположены внизу, то первый из них обозначает номер строки, а второй — номер столбца; если один из индексов расположен сверху, как в написанной выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки. Не следует путать верхние индексы с показателями степени.

Матрицу размеров \(1 \times n\), состоящую из одной строки, мы будем называть строкой длины \(n\) или просто строкой. Матрицу размеров \(m \times 1\) называют столбцом высоты \(m\) или просто столбцом. Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными буквами.

Рассмотрим матрицу \(A\) размеров \(m \times n\) и выберем какие-нибудь \(r\) номеров строк \(i_<1>, \ldots, i_\) и \(s\) номеров столбцов \(j_<1>, \ldots, j_\), причем будем предполагать, что номера выбраны в порядке возрастания: \(i_ <1>Определение.

Матрица \(A\) называется симметричной или симметрической, если \(A^=A\). Для такой матрицы \(a_=a_\) при всех \(i\) и \(j\) — элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Матрица \(A\) называется кососимметричной или антисимметричной, если \(A^=-A\). Для такой матрицы \(a_=-a_\) при всех \(i\) и \(j\) — элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком. Диагональные элементы равны нулю.

Матрица \(A\) называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: \(a_=0\) при \(i > j\). Аналогично определяется нижняя треугольная матрица: \(a_=0\) при \(i Определение.

Матрица \(A\) называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: \(a_=0\) при \(i \neq j\).

Другие частные виды матриц будем определять по мере необходимости.

Сложение и умножение на число.

Пусть \(A\) и \(B\) — матрицы размеров \(m \times n\). Мы можем сопоставить им третью матрицу \(C\) размеров \(m \times n\), элементы которой \(c_\) связаны с элементами и матриц \(A\) и \(B\) равенствами
$$
c_=a_+b_\ (i=1, \ldots, m,\ j=1, \ldots, n).\label
$$

Матрица \(C\), определяемая по \(A\) и \(B\) формулой \eqref, называется их суммой и обозначается \(A+B\).

Матрица \(C\), элементы которой \(c_\) равны произведениям элементов \(a_\) матрицы \(A\) на число \(\alpha\), называется произведением \(A\) на \(\alpha\) и обозначается \(\alpha A\). Мы имеем
$$
c_=\alpha a_\ (i=1, \ldots, m,\ j=1, \ldots, n).\label
$$

Из свойств сложения и умножения чисел легко вытекает наше первое утверждение.

Для любых матриц \(A, B, C\) и любых чисел \(\alpha\) и \(\beta\) выполнены равенства:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Если \(O\) — нулевая матрица размеров \(m \times n\), то для любой матрицы тех же размеров
$$
A+O=A.\nonumber
$$

Матрицу \((-1)A\) называют противоположной матрице \(A\) и обозначают \(-A\). Она обладает тем свойством, что
$$
A+(-A)=O.\nonumber
$$

Сумма матриц \(B\) и \(-A\) называется разностью матриц \(B\) и \(A\) и обозначается \(B-A\). Мы видим, что сформулированные выше свойства линейных операций с матрицами совпадают со свойствами линейных операций с векторами. Используя линейные операции, мы можем составлять из матриц одинаковых размеров \(A_<1>, \ldots, A_\) и чисел \(\alpha_<1>, \ldots, \alpha_\), выражения вида
$$
\alpha_<1>A_<1>+\ldots+\alpha_A_.\nonumber
$$

Такие выражения называются линейными комбинациями матриц. Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация других матриц, то говорят, что она по ним разложена.

Пусть \(\boldsymbol

_<1>, \ldots, \boldsymbol

_\), — столбцы одинаковой высоты \(n\). Тогда столбец \(\boldsymbol\) той же высоты по ним разложен, если при некоторых коэффициентах \(\alpha_<1>, \ldots, \alpha_\)
$$
\boldsymbol=\alpha_<1>\boldsymbol

_<1>+\ldots+\alpha_\boldsymbol

_,\nonumber
$$
или, в более подробной записи,
$$
\begin q^<1>\\
\vdots\\
q^
\end=\alpha_<1>
\begin p_<1>^<1>\\
\vdots\\
p_<1>^ \end+\ldots+\alpha_ \begin p_^<1>\\
\vdots\\
p_^ \end.\nonumber
$$
В силу определения линейных операций это матричное равенство равносильно \(n\) числовым равенствам
$$
\begin
q^<1>=\alpha_<1>p_<1>^<1>+\ldots+\alpha_p_^<1>,\\
\ldots\\
q^=\alpha_<1>p_<1>^+\ldots+\alpha_p_^.
\end\nonumber
$$

Линейная зависимость матриц.

Какова бы ни была система матриц фиксированных размеров \(m \times n\), нулевая матрица тех же размеров раскладывается по этим матрицам в линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами. Такую линейную комбинацию называют тривиальной. Как и для векторов, введем понятие линейной независимости.

Система матриц \(A_<1>, \ldots, A_\) линейно независима, если нулевая матрица раскладывается по ней однозначно, то есть из
$$
\alpha_<1>A_<1>+\ldots+\alpha_A_=O.\label
$$
следует \(\alpha_<1>=\ldots=\alpha_=0\).

В противном случае, то есть если существуют \(k\) чисел \(\alpha_<1>, \ldots, \alpha_\), одновременно не равных нулю и таких, что выполнено равенство \eqref(3), система матриц называется линейно зависимой.

Столбцы
$$
\boldsymbol_<1>=\begin 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end,\ \boldsymbol_<2>=\begin 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end,\ \ldots,\ \boldsymbol_=\begin 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end\label
$$
(в столбце \(\boldsymbol_\) на \(i\)-м месте стоит 1, а остальные элементы равны нулю) являются линейно независимыми. Действительно, равенство \(\alpha_<1>\boldsymbol_<1>+\ldots+\alpha_\boldsymbol_=\boldsymbol<0>\) можно записать подробнее так:
$$
\alpha_ <1>\begin 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end+\alpha_ <2>\begin 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end+\ldots+\alpha_ \begin 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end=\begin \alpha_<1>\\ \alpha_<2>\\ \vdots\\ \alpha_ \end=\begin 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end.\nonumber
$$
Отсюда видно, что \(\alpha_<1>=\alpha_<2>=\ldots=\alpha_=0\).

Это равенство показывает также, что произвольный столбец высоты \(n\) может быть разложен по столбцам \(\boldsymbol_<1>, \ldots, \boldsymbol_\). Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца.

Квадратная матрица порядка \(n\), состоящая из столбцов \eqref:
$$
E=\begin
1& 0& \ldots& 0\\
0& 1& \ldots& 0\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0& 0& \ldots& 1 \end,\nonumber
$$
называется единичной матрицей порядка \(n\) или просто единичной матрицей, если порядок известен.

Строки единичной матрицы отличаются от ее столбцов только формой записи.

Столбцы (строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов раскладывается по ним.

Укажем несколько свойств линейно зависимых и линейно независимых систем матриц.

Система из \(k > 1\) матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из матриц есть линейная комбинация остальных.

В самом деле, пусть система линейно зависима. По определению выполнено равенство вида \eqref, где хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Допустим для определенности, что это \(\alpha_<1>\). Тогда мы можем представить первую матрицу как линейную комбинацию
$$
A_<1>=-\frac<\alpha_<2>><\alpha_<1>>A_<2>-\ldots-\frac<\alpha_><\alpha_<1>>A_.
$$
Обратно, если одна из матриц разложена по остальным, то это разложение преобразуется к виду \eqref, где один из коэффициентов равен 1.

Если некоторые из матриц \(A_<1>, \ldots, A_\) составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система \(A_<1>, \ldots, A_\) линейно зависима.

Действительно, пусть существует нетривиальная линейная комбинация некоторых из матриц системы, равная нулевой матрице. Если мы добавим к ней остальные матрицы с нулевыми коэффициентами, то получится равная нулевой матрице нетривиальная линейная комбинация всех матриц.

В частности, если в систему матриц входит нулевая матрица, то система линейно зависима.

Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы.

В самом деле, в противном случае мы пришли бы к противоречию на основании предыдущего утверждения.

Если матрица \(B\) разложена по линейно независимой системе матриц \(A_<1>, \ldots, A_\), то коэффициенты разложения определены однозначно.

Действительно, пусть мы имеем два разложения
$$
B=\alpha_<1>A_<1>+\ldots+\alpha_A_\ \mbox<и>\ B=\beta_<1>A_<1>+\ldots+\beta_A_.\nonumber
$$
Вычитая одно разложение из другого, мы получаем
$$
O=(\alpha_<1>-\beta_<1>)A_<1>+\ldots+(\alpha_-\beta_)A_.\nonumber
$$
Матрицы \(A_<1>, \ldots, A_\) линейно независимы, значит, \(\alpha_-\beta_=0\) для всех \(i=1, \ldots, k\). Итак, коэффициенты обоих разложений совпадают.

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -2<,>34 \)

Ввод: -1,15
Результат: \( -1<,>15 \)

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\< \begin a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \cdots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag <1>\)

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа \(a_ \in \mathbb \) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения \(i\) и номером неизвестного \(j\). Действительные числа \( b_1 , \ldots b_m \) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты \(a_\) СЛАУ при одном неизвестном \(x_j\) как элементы столбца, а \(x_j\) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
\( \begin a_ <11>\\ a_ <21>\\ \vdots \\ a_ \end x_1 + \begin a_ <12>\\ a_ <22>\\ \vdots \\ a_ \end x_2 + \ldots + \begin a_ <1n>\\ a_ <2n>\\ \vdots \\ a_ \end x_n = \begin b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end \)
или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \),
\( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>\)

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
\( A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end \)
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>& b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) \)
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы \( X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>\) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>\) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \textA = r \). Тогда существует набор из \(k=n-r\) решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).

Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$
где \( c_i \in \mathbb \;, \quad i=\overline <1,k>\).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.