Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Дифференциальные уравнения по-шагам
Результат
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
- Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
- Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
- Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
- Уравнения в полных дифференциалах
- Решение дифференциального уравнения заменой
- Смена y(x) на x в уравнении
- Другие
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
Метод Лагранжа (вариации постоянной). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные — умножаем на dx , делим на y :
Интегрируем:
Интеграл по y — табличный:
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные:
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
Общее решение уравнения:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-07-2012 Изменено: 01-03-2015
http://mrexam.ru/differentialequation
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/linejnye/metod-lagranzha/