Линейное неоднородное уравнение методом бернулли

Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли

Метод решения

Ранее мы рассмотрели метод Бернулли для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Этот метод также можно применить и для решения уравнений высших порядков. Если нам известно частное решение однородного уравнения, то применяя метод Бернулли, мы можем понизить порядок уравнения.

Пусть мы имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение произвольного, n-го порядка:
(1) .
Здесь является функцией от независимой переменной x . Коэффициенты также являются функциями от x .

Метод Бернулли заключается в том, что мы ищем решение уравнения (1) в виде произведения двух функций:
(2) .
Здесь и – функции от переменной x .
Если в качестве взять частное (любое, отличное от нуля) решение однородного уравнения
(3) ,
то такая подстановка приводит к понижению порядка исходного уравнения (1).

Покажем это. Пусть нам известна функция , удовлетворяющая уравнению (3). Применим формулу Лейбница для n-й производной произведения двух функций:

.
Здесь – биномиальные коэффициенты.

Разобьем сумму на две части:
.
Тогда первая часть содержит только производные от неизвестной функции u . Подставим в (1) и сгруппируем члены:

.
В силу (3), сумма членов в скобках равна нулю. В результате получаем:
.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка относительно неизвестной функции . Оно содержит производные функции u и не содержит саму функцию в явном виде. Выполнив подстановку , мы получим линейное неоднородное уравнение n-1 -го порядка.
См. «Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде».

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка методом Бернулли (введением двух функций):
(П1.1)

Шаг 1. Вводим две функции

Ищем решение в виде произведения двух функций:
(П1.2) .
Подставляем в уравнение (П1.1) и группируем члены:
;
(П1.3) .

Шаг 2. Решение однородного уравнения

Решаем однородное уравнение
(П1.4) .
Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем квадратное уравнение:
.
Получаем кратные корни: . Этим корням соответствуют два линейно-независимых решения линейного однородного уравнения (П1.4):
.
В качестве функции мы можем взять любое решение уравнения (П1.4). Возьмем наиболее простое. Пусть
(П1.5) .

Шаг 3. Понижение порядка

Шаг 4. Интегрирование

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение второго порядка методом Бернулли:
(П2.1)

Шаг 1. Вводим две функции

Ищем решение в виде произведения двух функций:
(П2.2) .
Подставляем в уравнение (П2.1) и группируем члены:
;
(П2.3) .

Шаг 2. Решение однородного уравнения

Решаем однородное уравнение
(П2.4) .
Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
.
Оно имеет комплексные корни:
.
Этим корням соответствуют два линейно-независимых решения однородного уравнения (П2.4):
.
В качестве функции , мы можем взять любое, отличное от нуля, решение уравнения (П2.4). Возьмем
(П2.5) .

Шаг 3. Понижение порядка

Подставляем (П2.5) в (П2.3), учитывая (П2.4):
;
;
.
Мы получили дифференциальное уравнение, не содержащее функцию в явном виде. Сделаем подстановку . В результате получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
(П2.6) .

Шаг 4. Решение дифференциального уравнения первого порядка

Уравнение (П2.6) можно также решить методом Бернулли, но это проще сделать с помощью интегрирующего множителя. Умножим уравнение (П2.6) на и выполняем преобразования:
;
;
.
Интегрируем:
.
Возвращаемся к переменной u :
.
Интегрируем еще раз и вычисляем интегралы (см. «Интегрирование тригонометрических рациональных функций» и «Таблица неопределенных интегралов»):
;

;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 03-12-2017

14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(X)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

При этом очевидно, что — дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – т. к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция может быть представлена как

и т. п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

Таким образом, возможно получить функцию U, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции V подставим поученное выражение для функции U В исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, можем найти функцию V:

; ;

Т. е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

Окончательно получаем формулу:

, С2 — произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) — французский математик, през. Берлинской АН,

Поч. чл. Пет. АН (1776)).

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом Вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

.

Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

Пример. Решить уравнение

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу:

Определение. Уравнением Бернулли Называется уравнение вида

Где P и Q – функции от Х или постоянные числа, а N – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на Yn.

Применим подстановку, учтя, что .

Т. е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на Xy2:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

Называется Уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции U, после чего решение легко находится в виде:

Таким образом, для решения надо определить:

1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции U;

2) как найти эту функцию.

Если дифференциальная форма Является полным дифференциалом некоторой функции U, то можно записать:

Т. е. .

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по У, а второе – по Х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем Необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется Условием тотальности.

Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции U.

Проинтегрируем равенство :

Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т. к. при интегрировании переменная У полагается постоянным параметром.

Определим функцию С(у).

Продифференцируем полученное равенство по У.

Откуда получаем:

Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от Х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по Х равна нулю.

Теперь определяем функцию С(у):

Подставляя этот результат в выражение для функции U, получаем:

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.

Пример. Решить уравнение

Проверим условие тотальности:

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию U.

;

Итого,

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента Х, а в другом – функции У, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.

Для уравнения первого типа получаем:

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

Исключив из этой системы параметр Р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида X = F(Y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

Уравнения Лагранжа и Клеро.

( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик

Ин. поч. член Петерб. АН )

Определение. Уравнением Лагранжа Называется дифференциальное уравнение, линейное относительно Х и У, коэффициенты которого являются функциями от Y’.

Для нахождения общего решение применяется подстановка P = Y’.

Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно Х) уравнения есть То общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

Определение. Уравнением Клеро Называется уравнение первой степени (т. е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

Это уравнение имеет два возможных решения:

или

В первом случае:

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

Исключая параметр Р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение.)

Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

Итого, общее решение:

C учетом начального условия Определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно

Ниже показан график интегральной кривой уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общий интеграл имеет вид:

Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.

С = — 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2

С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Общее решение имеет вид:

Найдем частное решение при заданном начальном условии У(0) = 0.

Окончательно получаем:

Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Итого

С учетом начального условия у(0) = 0 получаем

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

Пример. Решить уравнение С начальным условием у(0) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С(х) найдем производную функции У и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

Итого

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.

(верно)

Найдем частное решение при у(0) = 0.

Окончательно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

С начальным условием у(1) = 1.

Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.

С учетом начального условия:

Окончательно

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.

Это линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставим в исходное уравнение:

Общее решение будет иметь вид:

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Сделаем обратную замену:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = е:

Частное решение:

Второй способ решения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:

Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставим полученные результаты в исходное уравнение:

Получаем общее решение:

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку:

Общее решение:

C учетом начального условия у(1) = 0:

Частное решение:

Второй способ решения.

Замена переменной:

Общее решение:

Дифференциальное уравнение Бернулли

Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.

Приведение к линейному уравнению 1 порядка

Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n . Если n = 1 , тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y ⇔ y ‘ = Q ( x ) — P ( x ) · y .

Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z = y 1 — n . Проделав замену, получаем, что y = z 1 1 — n ⇒ y ‘ = 1 1 — n · z n 1 — n · z ‘ .

Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:

y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n 1 1 — n · z 1 1 — n · z ‘ + P ( x ) · z 1 1 — n = Q ( x ) · z 1 1 — n z ‘ + ( 1 — n ) · P ( x ) · z = ( 1 — n ) · Q ( x )

Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.

Найти общее решение для уравнения вида y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 .

Решение

По условию имеем, что n = 2 , P ( x ) = x , Q ( x ) = ( 1 + x ) · e — x . Необходимо ввести новую переменную z = y 1 — n = y 1 — 2 = 1 y , отсюда получим, что y = 1 z ⇒ y ‘ = — z ‘ z 2 . Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как

y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 — z ‘ z 2 + x z = ( 1 + x ) · e — x · 1 z 2 z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x

Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.

Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:

d z d x — x z = 0 ⇔ d z z = x d x , z ≠ 0 ∫ d z z = ∫ x d x ln z + C 1 = x 2 2 + C 2 e ln z + C 1 = e x 2 2 + C 2 z = C · e x 2 2 , C = e C 2 — C 1

Где z = 0 , тогда решение дифференциального уравнения считается z ‘ — x z = 0 , потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z . Данный случай записывается как z = C ( x ) · e x 2 2 , где С = 0 . Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z ‘ — x z = 0 считается выражение z = C · e x 2 2 при С являющейся произвольной постоянной.

Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z = C ( x ) · e x 2 2 как общее решение дифференциального уравнения вида z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x .

Отсюда следует, что производится подстановка вида

C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — 1 + x · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · x · e x 2 2 — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x C ( x ) = ∫ — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x d x = ∫ e — x 2 2 — x d — x 2 2 — x = e — x 2 x — x + C 3

С 3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:

z = C x · e x 2 2 = e — x 2 2 — x + C 3 · e x 2 2 = e — x + C 3 · e x 2 2

Дальше производится обратная замена. Следует, что z = 1 y считается за y = 1 z = 1 e — x + C 3 · e x 2 2 .

Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )

Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u ( x ) и v ( x ) .

Тогда получаем, что y ‘ = ( u · v ) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ . Производим подстановку в уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n и упростим выражение:

u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) · u · v n u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · u · v n

Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , тогда придем к равенству такого вида

u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · ( u · v ) n ⇔ u ‘ · v = Q ( x ) · ( u · v ) n .

Отсюда следует определить функцию u .

Решить задачу Коши 1 + x 2 · y ‘ + y = y 2 · a r c t g x , y ( 0 ) = 1 .

Решение

Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1 + x 2 · y ‘ = y · a r c t g x , которое удовлетворяет условию y ( 0 ) = 1 .

Обе части неравенства необходимо поделить на x 2 + 1 , после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

Перейдем к поиску общего решения.

Принимаем y = u · v , отсюда получаем, что y ‘ = u · v ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ и уравнение запишем в виде

y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + u · v x 2 + 1 = u · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1

Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v ‘ + v x 2 + 1 = 0 , отличных от нуля. Получим, что

d v v = — d x x 2 + 1 , v ≠ 0 ∫ d v v = — ∫ d x x 2 + 1 ln v + C 1 = — a r c t g x + C 2 v = C · e — a r c t g x , C = e C 2 — C 1

В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v = e — a r c r g x . Преобразуем и получим, что

u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c r g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · 0 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · v · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 ⇔ d u u 2 = e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x , u ≠ 0 ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x )

Имеем, что u = 0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫ d u u 2 , необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

∫ d u u 2 = — 1 u + C 3 .

Чтобы найти интеграл вида ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) , принимаем значение a r c t g x = z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) = a r c t g x = z = = ∫ e — z · z d z = u 1 = z , d v 1 = e — z d z d u 1 = d z , v 1 = — e — z = = — z · e — z + ∫ e — z d z = — z · e — z — e — z + C 4 = = — e — z · ( z + 1 ) + C 4 = — e — a r c t g x · ( a r c t g x + 1 ) + C 4

— 1 u + C 3 = — e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C 4 1 u = e — a r c r g x · a r c t g x + 1 + C 3 — C 4 u = 1 e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C

Отсюда находим, что

y = u · v = e — a r c t g x e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C и y = 0 · v = 0 · e — a r c r g x = 0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .

На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C , тогда запись примет вид y 0 = e — a r c t g 0 e — a r c t g 0 · a r c t g 0 + 1 + C = 1 1 + C .

Очевидно, что 1 1 + C = 1 ⇔ C = 0 . Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + 0 = 1 a r c t g x + 1 .