Линейное уравнение ax b cx d

Линейные уравнения и неравенства с параметром

Уравнение вида

ax + b = 0,

(1)

где a,b О R, x — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Ниже приведены примеры линейных уравнений:

a) 2x + 6 = 0,	где a = 2, b = 6;
b) x — 2 = 0	где a = 1, b = -2;
c) 0·x + 0 = 0,	где a = b = 0;
d) 0·x + 1 /₃ = 0,	где a = 0, b = 1 /₃;
e) — 1 /₂x = 0,	где a = — 1 /₂; b = 0.

Уравнение (1) равносильно уравнению ax = —b откуда следует следующее утверждение.

Утверждение 1.

Если a ≠ 0, то уравнение (1) имеет единственное решение x = — b /_a;
Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения (1) пусто;
Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения (1).

Таким образом, приведенные выше линейные уравнения решаются следующим образом:

a) x = — 6 /₂, то есть x = -3;
b) x = 2;
c) любое действительное число является решением данного уравнения;
d) уравнение не имеет решений;
e) x = 0.

Замечание 2. Уравнение (ax + b)(cx + d) = 0 где a, b, c, d О R, сводится к совокупности линейных уравнений

	ax + b = 0,
	cx + d = 0.

Пример 1. Решить уравнения

a) ,	c) —x + 2 = 2 — x,
b) 2x + 1 = 2x + 3,	d) (2x + 4)(3x — 1) = 0.

Решение. a) x = 6.

b) 2x + 1 = 2x + 3 Ы 2x — 2x = 3 — 1 Ы 0·x = 2 откуда следует, что уравнение не имеет решений.

c) —x + 2 = 2 — x Ы —x + x = 2 — 2 Ы 0·x = 0, следовательно, любое действительное число является решением уравнения.

d) (2x + 4)(3x — 1) = 0 Ы

	2x + 4 = 0,
	3x — 1 = 0,

	x₁ = -2,
	x₂ = 1 /₃.

В дальнейшем будут рассматриваться линейные уравнения с параметрами. Под параметром понимается (смотрите тему Уравнения с параметром) фиксированное (но неизвестное) число. Как правило, параметр обозначается первыми буквами латинского алфавита.

Пример 2. Решить уравнения

a) ax = 1;	e)
b) a 2 x — 1 = x + a;	f)
c) ax + b = cx + d;	g)
d) ;

Решение. a) Применяя утверждение 1, получим:

при a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, x = 1 /_a;

при a = 0 уравнение примет вид 0·x = 1 и, следовательно, оно не имеет решений.

Ответ: если a О R\<0>, то x = 1 /_a; если a = 0, то уравнение не имеет решений.

b) После элементарных преобразований получим: a 2 x — 1 = x + a Ы a 2 x — x = a + 1 Ы x(a 2 — 1) = a + 1.

откуда, применяя утверждение 1, получим:

если a 2 -1 ≠ 0, то есть a ≠ ± 1, то или
если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;
если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

c) Перепишем уравнение следующим образом (a — c)x = d — b, откуда следует:

если a — c ≠ 0, то есть a ≠ c, то уравнение имеет единственное решение
если a = c и d — b ≠ 0, то уравнение примет вид 0·x = d — b ( ≠ 0) и, следовательно, оно не имеет решений;
если a = c и d = b, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, множество его решений есть R

d) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения есть x ≠ 4. В ОДЗ уравнение решается следующим образом:

	x-2a = 0,
	x ≠ 4

	x = 2a,
	x ≠ 4.

Таким образом, если 2a ≠ 4, то есть a ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a, а если a = 2, то уравнение не имеет решений.

если a ≠ -1, a ≠ 2, — a /₂ ≠ -1, — a /₂ ≠ 2, то есть a О R\<-1;2;-4>, то уравнение имеет два решения x₁ = a и x₂ = — a /₂ (если a = 0, решения совпадают);

если a = -1, то уравнение имеет единственное решение x = 1 /₂;

если a = 2, то уравнение не имеет решений;

если a = -4, то уравнение имеет единственное решение x = -4.

f) Если a = 0 или b = 0, то уравнение не имеет смысла. Пусть a·b ≠ 0. Тогда уравнение равносильно следующему x(b + a) = abc откуда следует:

если b + a ≠ 0, то есть a ≠ —b, то уравнение имеет единственное решение
если a = —b и c ≠ 0, то уравнение не имеет решений.
если a = —b и c = 0, то любое действительное число есть решение данного уравнения.

g) ОДЗ уравнения определяется из системы

	5x —a ≠ 0,
	ax — 1 ≠ 0,

откуда x ≠ a /₅ и, если a ≠ 0, x ≠ 1 /_a. Если a = 0, то уравнение примет вид или -2 = 15x,

откуда , и, поскольку следует, что если a = 0 то уравнение имеет решение .

Пусть a ≠ 0. Тогда в ОДЗ уравнение примет вид 2(ax — 1) = 3(5x — a), откуда (2a — 15)x = 2 — 3a и, следовательно,

если 2a — 15 ≠ 0, то есть то получим ;
если 2a-15 = 0, то есть то уравнение не имеет решений.

Таким образом для нужно проверить условие x ≠ a /₅ и x ≠ 1 /_a: или (2a — 15)a ≠ 5(2 — 3a) откуда 2a 2 ≠ 10, или Таким образом, для уравнение не имеет решений.

В случае второго ограничения получим или a(2 — 3a) ≠ (2a — 15), откуда 3a 2 = 15, то есть a 2 ≠ 5 (уже исследованный случай).

Таким образом, если уравнение не имеет решений, а если то уравнение имеет единственное решение (заметим, что решение полученное в случае a = 0 содержится в приведенном выше результате).

Пример 3. Решить уравнения

a) \|x — a\| = 2;	c) \|x — a\| + \|x — 2a\| = a;
b) \|x\| + \|x — a\| = 0;	d) \|x — 1\| + \|x — 2\| = a.

Решение. a) Используя свойство модуля, получим:

|x — a| = 2 Ы

	x — a = 2,
	x — a = -2,

	x = a + 2,
	x = a — 2.

Таким образом, для любого действительного a уравнение имеет два различных решения, x₁ = a + 2 и x₂ = a — 2.

b) Левая часть уравнения принимает неотрицательные значения (как сумма двух неотрицательных слагаемых), а правая часть равна нулю. Следовательно,

	x = 0,
	x — a = 0,

или

	x = 0,
	x = a.

Таким образом, если a = 0, то система (а, следовательно, и уравнение) имеет единственное решение x = 0, а если a ≠ 0, то система (и исходное уравнение) решений не имеет.

c) Так как | f(x)| = |-f(x)| уравнение можно переписать следующим образом |x — a| + |2a — x| = a.

Очевидно, что если a 0. Тогда a = |a| = |(2a — x) + (x — a)|, и уравнение примет вид |x — a| + |2a — x| = |(2a — x) + (x — a)|. Это уравнение равносильно (см. свойства модуля) неравенству (2a — x)(x — a) ≥ 0 откуда, учитывая, что 0 О [a;2a].

если a 0, то уравнение имеет бесконечное число решений — любое число a ≤ x ≤ 2a.

d) Очевидно, что уравнение имеет решения только при a > 0. Рассмотрим три случая:

Пусть x —x + 1 — x + 2 = a или -2x = a — 3 откуда . Поскольку xоткуда a > 1. Таким образом, если a > 1, то ;
Пусть x О [1;2]. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = -(x-2) и уравнение примет вид x — 1 — x + 2 = a, 0·x = a — 1. Используя утверждение 1, получим:

если a = 1, то любое действительное число из отрезка [1;2] есть решение исходного уравнения;

если a ≠ 1, то решений нет.
Пусть x > 2. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = x — 2 и уравнение примет вид x — 1 + x — 2 = a откуда Поскольку x > 2, то то есть a > 1.

если a > 1, то уравнение имеет два различных решения и

если a = 1, то любое число отрезка [1;2] есть решение уравнения;

если a Линейные неравенства

ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b О R, x — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).

Поскольку все неравенства (2) решаются аналогично, приведем решение лишь первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи:

a > 0, тогда ax + b > 0 Ы ax > —b Ы x > — b /_a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (- b /_a;+ Ґ );
aax + b > 0 Ы ax > —b Ы x b /_a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a Ґ ;- b /_a);
a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

a) 3x + 6 > 0;

c) 2(x + 1) + x

Решение. a) 3x + 6 > 0 Ы 3x > -6 Ы x > -2, и, следовательно, множество решений исходного неравенства есть (-2;+ Ґ ).

b) -2x + 3 ≥ 0 Ы -2x ≥ -3 Ы x ≤ 3 /₂, то есть множеством решений исходного неравенства является (- Ґ ; 3 /₂].

c) После элементарных преобразований получим линейное неравенство 2(x + 1) + x Ы 2x + 2 + x Ы 0·x + 1 Так как 1 3x + 2 ≥ 3(x — 1) + 1 Ы 3x + 2 ≥ 3x — 3 + 1 Ы 0·x + 4 ≥ 0, откуда следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

Пример 2. Решить неравенства

a) ax ≤ 1;

b) |x — 2| > -(a — 1) 2 ;

c) 3(4a — x) ax + 3;

f) ax + b > cx + d;

Решение. a) В зависимости от знака a рассмотрим три случая:

если a > 0, то x ≤ 1 /_a;
если a 1 /_a;
если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.

Таким образом, если a > 0, то x О (- Ґ ; 1 /_a], если a О [ 1 /_a;+ Ґ ), и если a = 0, то x О R.

b) Заметим, что |x — 2| ≥ 0 для любого действительного x и -(a-1) 2 ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое x действительное число, отличное от 2, является решением неравенства, а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства. Ответ: если a = 1, то x О R\<2>, а если a О R\<1>, то x О R.

c) После элементарных преобразований получим 3(4a — x) Ы 12a — 3x Ы 12a — 3 Ы x(2a + 3) > 3(4a — 1).

Далее рассмотрим три случая:

если 2a + 3 > 0, то есть a > — 3 /₂, то
если 2a + 3 3 /₂, то
если 2a + 3 = 0, то есть a = — 3 /₂, то неравенство примет вид 0·x > -21 и, так как 0 > -21 — истинное числовое неравенство, следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

если то

Далее рассмотрим следующие случаи:

если a(b — 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a
если a(b — 1) 0 и b 1, то
если a = 0, b ≠ 1 то неравенство примет вид 0·x > 3 — b и для b > 3 любое число является решением, а если b О (- Ґ ;1) И (1;3], то множество решений неравенства пусто.
если a ≠ 0, b = 1, то неравенство примет вид 0·x > 2 и, очевидно, что оно решений не имеет.

если a > 0 и b > 1, или a 0 и b 1, то

если a = 0 и b О (3;+ Ґ ), то x О R;

если a = 0 и b О (- Ґ ;1) И (1;3) или a ≠ 0 и b = 1, то неравенство не имеет решений.

e) Заметим, что a ≠ ± 1, (в противном случае неравенство не имеет смысла). Неравенство переписывается следующим образом

Далее рассмотрим следующие случаи:

1. пусть a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), тогда (a — 1)(a + 1) > 0 и, следовательно, исходное неравенство равносильно следующему x(2 — 3a) + 3 — a ≤ 0, или x(2 — 3a) ≤ a — 3, откуда для a > 1

Последнее неравенство решается следующим образом:

если a О (-1; 2 /₃), то

если a О ( 2 /₃,1), то .

Таким образом, исходное неравенство

при a О (- Ґ ;-1) И ( 2 /₃;1) имеет решения

при a О (-1; 2 /₃) И (1;+ Ґ ) имеет решения

при a = 2 /₃, любое действительное число является решением исходного неравенства.

f) Исходное неравенство равносильно следующему (a — c)x > d — b откуда следует, что

если a >c, то a — c > 0 и, следовательно,
если a О R.

g) Заметим, что a ≠ 0 и b ≠ 0. Приведя к общему знаменателю, получим

2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2 > 0,

ab > 0,

2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2

x(b — a) 2 2 — a 2 ),

ab 2 > 2(b 2 — a 2 ),

ab Ы

ab > 0,

a ≠ b,

x О Ж ,

a = b,

Таким образом, если a и b одиннакогого знака (ab > 0) и a ≠ b, то множество решений неравенства есть если a и b — противоположных знаков (ab

a) |x + a| + |x — 2a| 2;

b) |x + a|

Решение. a) Заметим, что при a ≤ 0 неравенство решений не имеет. Пусть a > 0. Рассмотрим три случая:

пусть x О (- Ґ ;-a], тогда |x + a| = —x — a и |x — 2a| = 2a — x и неравенство примет вид —x — a + 2a — x — 3 /₂a, поскольку a > 0, пересечением множеств (- Ґ ;-a] и (а, следовательно, и множеством решений неравенства) явяется множество
пусть x О (-a;2a], тогда |x + a| = x + a, и |x — 2a| = 2a — x, и неравенство примет вид x + a + 2a — x и, поскольку a > 0, любое число из интервала (-a;2a] есть решение неравенства;
пусть x О (2a;+ Ґ ), тогда |x + a| = x + a и |x — 2a| = x — 2a, и неравенство примет вид x + a + x — 2a 5 /₂a. Учитывая условие x > 2a, получим x О (2a; 5 /₂a).

Таким образом, если a ≤ 0, то неравенство не имеет решений, а если a > 0, то множество решений неравенства есть (- 3 /₂a;-a] И (-a;2a] И (2a; 5 /₂a) или (- 3 /₂a; 5 /₂a).

b) Заметим, что неравенство может иметь лишь положительные решения. Для x > 0 неравенство переписывается |x + a| |x + a| Ы |x + a| Ы (x + a + ax)(x + a — ax) Ы

Ы [(a + 1)x + a][(1 — a)x + a] Ы

(a + 1)x + a > 0,

(1 — a)x + a Ы

		(a + 1)x > —a,
		(1 — a)x —a.

Если a > 1, тогда a — 1 > 0 и a + 1 > 0, и первая система совокупности примет вид

откуда (учитывая, что x > 0) получим а вторая система совокупности примет вид и, так как a > 1 влечет а x > 0, система не имеет решений.

Если a = 1, то первая система совокупности не имеет решений, а из второй получим x 1 /₂, и, так как x > 0, то и в этом случае исходное неравенство не имеет решений.

Если -1 0 и 1 — a > 0, и первая система совокупности примет вид или откуда, заметив, что получим, что первая система совокупности несовместна. Из второй системы получим и, учитывая, что x > 0, получим откуда a О [0;1), то неравенство не имеет решений, а если a О (-1;0), то множество решений неравенства есть

Если a = -1, то первая система совокупности несовместна, а из второй получим x > 1 /₂.

Если a 0, и из первой системы следует Так как a 0, то в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Вторая система совокупности примет вид и, поскольку x > 0, получим

если a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), то

если a О [0;1], то неравенство не имеет решений;

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений.

Решение линейных уравнений базируется на тождественных преобразованиях уравнений. Если сказать по-другому, решение всех уравнений начинается с этих преобразований. При решении линейных уравнений, оно (решение) на тождественных преобразованиях и заканчивается окончательным ответом.

Случай ненулевого коэффициента при неизвестной переменной.

Переносим в одну сторону члены с иксом, а в другую сторону — числа. Обязательно помните, что перенося слагаемые на противоположную сторону уравнения, нужно поменять знак:

Приводим подобные слагаемые:

Далее делим обе части уравнения на коэффициент при иксе (у нас это a), теперь x остался без коэффициента:

Сокращаем а при х и получаем:

Это ответ. Если нужно проверить, является ли число -b:(a) корнем нашего уравнения, то нужно подставить в начальное уравнение вместо х это самое число:

Т.к. это равенство верное, то -b:(a) и правда есть корень уравнения.

Переносим в одну сторону члены с х, а в другую сторону числа:

Приводим подобные слагаемые:

Далее делим обе части уравнения на коэффициент при иксе (у нас: −2), теперь x остается без коэффициента:

При неизвестной коэффициент сократили и получили ответ:

Это ответ. Если нужно проверить, действительно ли число 4 корнем нашего уравнения, подставляем в исходное уравнение вместо икса это число:

Т.к. это равенство верное, то 4 — это корень уравнения.

Сначала избавляемся от дроби (правило сокращения дробей), домножив каждое слагаемое на 7 (если знаменатели разные, то пользуемся правилом приведения дробей к общему знаменателю):

Перенеся неизвестные и числа в разные стороны, получили:

Делим части уравнения на коэффициент при x (на 4) и получаем:

Ответ: .

Сначала избавляемся от иррациональности в коэффициенте при неизвестном, домножив все слагаемые на :

Эту форму считают упрощаемой, т.к. в числе есть корень числа в знаменателе. Нужно упростить ответ, умножив числитель и знаменатель на одинаковое число, у нас это :

Ответ: .

Случай отсутствия решений.

Перенеся иксы и числа в разные стороны и приведя подобные слагаемые, получаем уравнение:

При всех x наше уравнение не станет верным равенством. То есть, у нашего уравнения нет корней.

Ответ: решений нет.

Частный случай — бесконечное число решений.

Перенеся иксы и числа в разные стороны и приведя подобные слагаемые, получаем уравнение:

Здесь тоже не возможно разделить обе части на 0, т.к. это запрещено. Однако, подставив на место х всякое число, мы получаем верное равенство. То есть, всякое число есть решение такого уравнения. Т.о., здесь бесконечное число решений.

Ответ: бесконечное число решений.

Случай равенства двух полных форм.

Ответ: x=(d-b):(a-c), если d≠b и a≠c, иначе бесконечно много решений, но, если a=c, а d≠b, то решений нет.

Различные методы решения уравнений

Разделы: Математика

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III . Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t 2 – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,

, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

Ответ:

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:

имеем (t + 14)(t + 11 ) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a_n = 1 , то целые корни уравнения P_n(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a₀. Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P₄(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P₄(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

Аналогично, P₃(1) = 0, тогда P₄(x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P₄(x) = 0 имеет корни x₁ = x₂ = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

1	2	–2	–6	5
1	1	3	1	–5	0
1	1	4	5	0

Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0

2	3	–5	–5	3	2
–1	2	1	–6	1	2	0
1	2	3	–3	–2	0
1	2	5	2	0

Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

источники:

http://www.calc.ru/Lineynyye-Uravneniya-Resheniye-Lineynykh-Uravneniy.html

http://urok.1sept.ru/articles/576727

a) \|x — a\| = 2;	c) \|x — a\| + \|x — 2a\| = a;
b) \|x\| + \|x — a\| = 0;	d) \|x — 1\| + \|x — 2\| = a.