Линейное уравнение это алгебраическое уравнение

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением

Разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением — Наука

Содержание:

Линейное уравнение против нелинейного уравнения

В математике алгебраические уравнения — это уравнения, которые составлены с использованием полиномов. В явном виде уравнения будут иметь вид P (Икс) = 0, где Икс вектор из n неизвестных переменных, а P — многочлен. Например, P (x, y) = 4x 5 + ху 3 + y + 10 = 0 — алгебраическое уравнение с двумя переменными, записанное явно. Также (x + y) 3 = 3x 2 у — 3zy 4 является алгебраическим уравнением, но в неявной форме и примет вид Q (x, y, z) = x 3 + y 3 + 3xy 2 + 3zy 4 = 0, когда-то написано явно.

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наивысшая степень членов уравнения. Если терм состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет считаться мощностью члена. Заметим, что согласно этому определению P (x, y) = 0 имеет степень 5, а Q (x, y, z) = 0 — степень 5.

Линейные уравнения и нелинейные уравнения представляют собой два раздела, определенные на системе алгебраических уравнений. Степень уравнения — это фактор, который отличает их друг от друга.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5 = 0 — это линейное уравнение одной переменной. x + y + 5z = 0 и 4x = 3w + 5y + 7z — линейные уравнения с 3 и 4 переменными соответственно. В общем случае линейное уравнение от n переменных будет иметь вид m₁Икс₁ + м₂Икс₂ +… + М_п-1Икс_п-1 + м_пИкс_п = б. Здесь x_яS — неизвестные переменные, m_яS и b — действительные числа, где каждое из m_я не равно нулю.

Такое уравнение представляет собой гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет собой плоскость в трехмерном евклидовом пространстве.

Что такое нелинейное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, которое не является линейным. Другими словами, нелинейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 2 или выше. Икс 2 + 3x + 2 = 0 — нелинейное уравнение с одной переменной. Икс 2 + y 3 + 3xy = 4 и 8yzx 2 + y 2 + 2z 2 + x + y + z = 4 — примеры нелинейных уравнений от 3 и 4 переменных соответственно.

Нелинейное уравнение второй степени называется квадратным уравнением. Если степень равна 3, то это называется кубическим уравнением. Уравнения степени 4 и степени 5 называются уравнениями четвертой и пятой степени соответственно. Было доказано, что не существует аналитического метода для решения любого нелинейного уравнения степени 5, и это верно и для любой более высокой степени. Решаемые нелинейные уравнения представляют собой гиперповерхности, которые не являются гиперплоскостями.

В чем разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением?

• Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1, а нелинейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 2 или выше.

• Несмотря на то, что любое линейное уравнение разрешимо аналитически, в нелинейных уравнениях это не так.

• В n-мерном евклидовом пространстве пространство решений линейного уравнения с n переменными является гиперплоскостью, а пространство решений нелинейного уравнения с n переменными — гиперповерхностью, которая не является гиперплоскостью. (Квадрики, кубические поверхности и др.)

Линейные уравнения. Виды линейных уравнений.

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.

Линейные уравнения представляют в таком виде:

Линейное уравнение с одной переменной.

Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:

Число корней зависимо от a и b:

— Когда a=b=0, значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как .

— Когда a=0, b≠ 0, значит, у уравнения нет корней, так как .

— Когда a ≠ 0, значит, у уравнения есть только один корень .

Линейное уравнение с двумя переменными.

Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения, а все такие значения переменной — корни уравнения.

Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:

— в общей форме: ax + by + c = 0,

— в канонической форме: ax + by = -c,

— в форме линейной функции: y = kx + m, где .

Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y), которая превращает его в тождество. Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m.

Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется квадратным уравнением.