Линейное уравнение с двумя переменными 7 класс объяснение

Линейное уравнение с двумя переменными. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

1. Структура урока.

1. Организационный момент (1 мин.)
2. Актуализация опорных умений и знаний (10 мин.)
   1) Устная работа.
   2) Проверка домашней задачи.

1. Объяснение нового материала (12 мин.)
2. Физкультминутка (2 мин.)
3. Закрепление изученного материала (15 мин.)
4. Подведение итогов (5 мин.)

– знать какое уравнение называется линейным с двумя переменными, что является решением такого уравнения, какие уравнения являются равносильными, свойства уравнений.

– формирование интереса к решению уравнений; развитие внимания, мышления и памяти; воспитание чувства взаимопомощи, самоконтроля и математической культуры.

– выражать одну переменную через другую, определять является ли пара чисел решением уравнения.

– развитие внимания, логического мышления и памяти, уметь систематизировать и применять полученные знания, математически грамотной речи.

3. Оборудование урока: мультимедийная установка, экран, карточки с заданиями, набор уравнений в конвертах.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята, присаживайтесь. Сегодня на уроке мы познакомимся с новым понятием.

2. Актуализация опорных умений и знаний

1) Устная работа.

Вопрос: Что называют уравнением?

Ответ: Равенство содержащее переменную называют уравнением.

Вопрос: С какими уравнениями вы знакомы?

Ответ: Линейными уравнениями.

Вопрос: Какое уравнение называется линейным?

Ответ: Уравнение вида ax+b=c называется линейным.

Заполните таблицу и ответьте на вопросы:

Уравнение

Решение уравнения114·х = -723·х = 03 = 84 = -950·х = 060·х = 97x 2 = 648x 2 = -99 = 410 = -4

Вопросы:

1. Укажите номера линейных уравнений?
2. Укажите номера уравнений, которые не имеют корней?
3. Укажите номера уравнений, у которых любые числа являются корнями?
4. Укажите номера уравнений, которые имеют два корня?
5. Укажите номера уравнений, у которых корнем является число 0?

Вопрос: Число 11 является корнем только одного из следующих уравнений. Назовите это уравнение.

.

Ответ:.

Выразите каждую из букв, входящих в формулу, через остальные:

а) v·t = s; б) J·R = U;

2) Проверка домашней задачи. Рассмотрим задачу:

Группу из 35 туристов решили расселить на теплоходе в трехместные и четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест. Составьте математическую модель задачи.

Решение: (На доске решает ученик).

Пусть х – количество трехместных кают,

у – количество четырехместных кают.

Тогда 3х – всего туристов в трехместных каютах,

4у – всего туристов в четырехместных каютах.

Составим модель задачи 3х+4у=35.

Учитель: По условию задачи мы составили математическую модель.

Вопрос: Встречались мы с такой моделью?

3. Объяснение нового материала.

Вопрос: Какую особенность имеет эта модель.

Ответ: Уравнение с двумя переменными.

Вопрос: Как выглядит это уравнение.

Ответ: Уравнение с двумя переменными. Степень переменных первая. Составлено из коэффициента, переменной х, знака сложения, коэффициента, переменной у, знака равно и в правой части число.

Вопрос: Как можно назвать это уравнение?

(Линейное уравнение с двумя переменными).

Учитель: Сегодня на уроке мы изучим с вами новую тему: Линейное уравнение с двумя переменными. Вы узнаете какое уравнение называется линейным с двумя переменными, что является решением данного уравнения, свойства уравнения.

Возьмите конверт в руки и рассмотрите уравнения из конверта.

1. 2x-y=13;	2. x+y 2 =4;	3. 2x+y=5;	4. 6a-4b-1=0;
5. 2c-17d=3;	6. ;	7. xy+3=0;	8. x-1+2y=0;
9. x-y+4=0;	10. 8y-5=6;	11. 5х-4=1;	12. 2у=6.

Вопрос: Есть ли среди этих уравнений линейное уравнение с одной переменной.

Ответ: Да. № 10,№11,№12. (Положите их в конверт)

Вопрос: Как вы думаете, какие из этих уравнений не являются линейными? Почему?

Ответ: №7,№6,№2 (убираются уравнения которые имеют степень больше 1).

Вопрос: Какой вид имеют оставшиеся уравнения. Ответ: (ax+by+c=0).

Учитель: Давайте запишем определение:

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by+c=0, где a,b,c– некоторые числа, x и y переменные.

3) Заполним таблицу:

Вопросы: Определите коэффициенты в каждом уравнении.(…..)

Вопрос: Что является решением уравнения с двумя переменными?

Ответ: Решением уравнения ax+by+c=0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает равенство с переменными ( ax+by+c=0) в верное числовое равенство.

Вопрос: Найдите корни в каждом уравнении.( ……)

Вопрос: Единственным будет решение. (Нет).

Вопрос: А сколько решений имеет такое уравнение. ( Бесконечное множество).

Вопрос: Удобно находить корни уравнения методом подбора? (Нет)

Учитель: Внимание! Условимся записывать корни уравнения в круглых скобках (х ;у).

На первом месте Записываем значение х , на втором значение.

4. Физкультминутка.

Раз, два, три, четыре, пять (шаги на месте)!
Все мы умеем считать (хлопки в ладоши),
Отдыхать умеем тоже (прыжки на месте).
Руки за спину положим (руки за спину),
Голову поднимем выше (поднять голову выше)
И легко-легко подышим (глубокий вдох – выдох).
Подтянитесь на носочках столько раз,
Ровно столько, сколько пальцев (показали, сколько пальцев на руках)
На руке у вас (поднимаемся на носочках 10 раз)

5. Закрепление материала:

Работа по учебнику:

1. №247 (а, в) 2.№253 (а) 3.№ 256 (а) 4.№264 (а, в) 5.№ 265 (а),

6. Самостоятельная работа (10 мин).

I вариант

1. Является ли решением уравнения 10x+y=12 пара чисел: а) (1;2); б) (3; -20)?
2. Найдите три решения уравнения 5x– 2y=1.

II вариант

1. Является ли решением уравнения 4x-3y=12 пара чисел: а) (3;0); б) (2; -7)?
2. Найдите три решения уравнения 7x+ 2y=3.

7. Подведение итога урока:

Вопрос: Что нового вы узнали на уроке?

Вопрос: Какое уравнение с двумя переменными называется линейным?

Вопрос: Что является решением уравнения с двумя переменными?

1. №247 (б), 2. №253 (в), 3. № 256 (б), 4. №264 (б, г), 5.№ 265 (б, г).

Литература:

Уравнение с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.

Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $\frac<1><2>$ x-8y = 7

Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.

Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Свойства уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$

Примеры

Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac<1> <3>y+3 \frac<1><3>$

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x, y — переменные, a, b,c – некоторые числа.

Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2

Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10

т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.

Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.

1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.

2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Выразить одну переменную через другую:

1) 2х +у = 5 2) 3)

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6

План 1) Выразить переменную у

у =

у = -1,5х +3 линейная функция вида y = kx + b,

2) Составить таблицу значений х и у

3) Построить график

2. Частные случаи построения графика ax + by = c

у =

x =

х = 2

Графика не существует

График – вся координатная плоскость

Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.

Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.

Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.

Если х=7, у=5, то , , верно,

т. е. (7; 5) – решение системы уравнений.

Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

План решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.

2. Выразить переменную у во втором уравнении.

3. В одной системе построить графики данных функций.

4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.

Пример:

1) х +у = 6 → у = 6-х линейная функция, график вида у = kx + b, k = -1, b = 6