Линейное уравнение с одной переменной видеоурок

Линейное уравнение с одной переменной

Содержание

Что такое уравнение

Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.

К примеру, не будут уравнениями выражения $3n-4$ или $d + 8$. Ведь в них не требуется найти значение переменной и отсутствует знак равенства. Это просто буквенные выражения. А вот записи: $4y-7 = 13$ или $-5x = 6x-2$ являются уравнениями.

Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу.

Приведем пример

Папе и сыну вместе $45$ лет, при этом известно, что отец старше на $19$ лет. Найдем, сколько лет каждому из них?

Обозначим возраст сына за $x$, тогда папе будет $x+19$ лет. Получим уравнение: $x + (x + 19) = 45$, так как по условию вместе им $45$ лет. Решим:

после раскрытия скобок: $2x + 19 = 45$,

То есть с помощью составления уравнения мы выяснили, что сыну $13$ лет. Отцу тогда $32$ года $(13 + 19)$. И вместе им действительно $45$ лет: $$13 + 32 = 45$$

Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.

Неизвестная переменная может обозначаться в уравнении не только буквами $x$ или $y$, но и любыми другими латинскими буквами.

Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.

Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.

Рассмотрим пример

Выясним, является ли корнем этого уравнения $x = 4$. Подставим $4$ вместо $x$ и получим: $$<3\times 4>-1 = 5$$$$12-1 = 5$$$$11 = 5$$

При решении мы поняли, что $x ≠ 4$, так как $11 ≠ 5$. То есть число $4$ не может быть корнем данного в задании уравнения. Посчитайте самостоятельно, какой корень у этого уравнения?

Корней может быть несколько, один или не быть совсем. В последнем случае говорят обычно, что уравнение не имеет решения или не имеет корней.

В примере с папой и сыном корень уравнения единственный: $x = 13$. Ведь нет других вариантов решения, при которых будут выполнены все условия и получится верное равенство. Проверьте сами?

Что такое линейное уравнение

Если числа в конечном уравнении $2x = 26$ к нашему первому примеру заменить на буквы $a$ и $b$, мы получим уравнение вида $ax = b$.

Подобные уравнения и называются линейными.

Уравнения вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, называются линейными уравнениями с одной переменной

Когда уравнения содержат, к примеру, степень: $$x^2 + 3 = 7$$ или неизвестная переменная находится в знаменателе дроби: $$\frac <8> — 3 = 0$$ они не будут называться линейными.

Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.

Коэффициенты и решение линейных уравнений

Числа $a$ и $b$ в линейном уравнении называют коэффициентами. Они могут быть выражены любыми числами, в том числе отрицательными или дробными. При этом $a$ называют коэффициентом при неизвестной переменной, а коэффициент $b$ свободным.

В наших примерах у уравнений был единственный корень. Наверное, вы заметили, что в них коэффициенты $a$ и $b$ были равны числам, отличным от нуля. Подобные уравнения решаются по простому алгоритму: $$x = \frac $$

Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения).

Попробуем взять коэффициент $a$, равный $0$, а коэффициент $b$ — любое число, не равное $0$. Тогда получим уравнение: $$0\times x = b$$ При умножении $x$ на ноль всегда будет ноль, но у нас $b ≠ 0$. Следовательно, правая и левая части такого уравнения между собой не равны, и при $a = 0$, а $b ≠ 0$ линейное уравнение не имеет верного решения.

Но линейное уравнение может иметь и множество решений. Рассмотрим такой случай. Например, что будет, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$? $$0\times x + 0 = 0$$ Ясно, что любое подобное уравнение с обоими коэффициентами, равными нулю, имеет бесконечно много корней. Почему? Потому что любое число при умножении на 0 дает ноль. Какое бы число вместо $x$ мы не подставили, равенство будет верным.

Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:

Свойства линейных уравнений

Цель любого линейного уравнения – выразить $x$ и понять, чему он будет равен.

До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.

Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.

Свойства линейных уравнений:

1. Любой член можно перенести из одной части линейного уравнения в другую, но при этом нужно не забыть заменить знак на противоположный.

В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные — с другой.

Например: $5x = 30-3x$. Для решения перенесем $-3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $5x + 3x = 30$.

1. В ходе решения обе части уравнения можно одновременно делить или умножать на какое-то одно и то же число, отличающееся от $0$. При этом равенство будет оставаться верным.

Часто второе свойство применяется в уравнениях с дробями. Например, нужно решить уравнение: $$\frac <5><2>\times x = 8$$ Чтобы избавиться от дроби, попробуем и правую и левую части уравнения умножить на $2$. Тогда мы получим: $$2\times \frac <5><2>\times x = 2\times 8$$ После умножения уравнение примет следующий вид: $$5x = 16$$

Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.

Линейное уравнение с одной переменной (В.А. Тарасов)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы начнем изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Урок «Линейное уравнение с одной переменной»

Краткое описание документа:

Для рассмотрения представлено видео по теме «Линейное уравнение с одной переменной». Рассказ основан на исторических фактах, запечатленных в древнеегипетском папирусе, который хранится в Московском музее изобразительных искусств имени Александра Сергеевича Пушкина. Речь идет о так называемом Московском папирусе, созданном около 2 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте.

В папирусе описаны многие факты. Но одна из задач сводится к решению уравнения Х – 1/5Х = 20. Это уравнение, в свою очередь, равносильно уравнению 4/5Х = 20. Рассмотрим равносильность более подробно. Известно, что в записи Х подразумевается 1Х. Это выражение в свою очередь преобразуем для удобства к виду 5/5Х. В результате получим уравнение 5/5Х – 1/5Х = 20 или 4/5Х = 20.

Уравнения такого типа решали в Древнем Египте, Вавилоне, Древней Индии и Древнем Китае еще 2 тысячи лет до нашей эры.

Уравнение 4/5Х = 20 имеет вид ax=b. В уравнениях такого типа a и b могут быть любыми числами. В случае данного уравнения a равно 4/5, а b – 20. Уравнения такого вида называют линейными уравнениями с одной переменной. Получим определение: Уравнение вида ax=b, где x переменная, a и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Примерами линейных уравнений с одной переменной могут служить уравнения, предложенные в рассматриваемом видео: 0,5Х = 2 (в этом случае а равно 0,5, b равно 2), 7Х = 0 (а равно 7, b равно 0), -Х = 4 ( а равно -1, b равно 4).

В уравнении ax=b число a называют коэффициентом уравнения, а число b свободным членом.

Следующий момент, рассмотренный в видео, это вопрос количества корней линейного уравнения. Для нахождения ответа на этот вопрос рассмотрены три случая. Первый, когда a не равняется 0 и b – любое число. Второй, когда a равняется 0 и b не равняется 0. Третий, когда a равняется 0 и b равняется 0.

В первом случае, если a не равно 0, разделим обе части уравнения на a. Получим, что x = b/a, так какax/a=x, а b/a=b/a. В этом случае уравнение такого типа имеет единственный корень и это b/a.

Второй случай имеет вид 0x=b. Такое уравнение не может иметь корней. Ведь любое из чисел при умножении на 0, будет равно 0. Получится что 0 равен числу b. А по условию b не равно 0. Значит, равенство не будет выполняться ни при каких значениях x.

Третий случай представляет собой уравнение 0x=0. Множество решений такого уравнения будет бесконечным. Любое число, умноженное на 0, равно 0, следовательно, равенство будет выполняться при любых значениях переменной x. В этом случае от значения х не зависит ничего.

Можно сделать вывод, что множество корней линейного уравнения с одной переменной может составлять один элемент, как в первом случае, может быть пустым, то есть не иметь корней, во втором – либо быть бесконечным как в третьем случае, когда число корней бесконечно.