Линейное уравнение с вырожденной матрицей

Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Обозначения матрицы:

где а_ij – элемент матрицы, расположенный в i-й строке, j-м столбце;

m – количество строк матрицы;

n – количество столбцов матрицы.

Числа m, n определяют размеры матрицы (m – размер матрицы по вертикали, n – размер по горизонтали).

Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратную матрицу, у которой все элементы, стоящие по главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, называют единичной матрицей и обозначает Е или Е_n , где n – порядок матрицы. Например,

Е₃ = 0 1 0 — единичная матрица 3-го порядка.

Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, элементы которой находят путем алгебраического сложения соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы с одинаковыми размерами. Например, если

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в₁₂ а₁₁+в₁₁ а₁₂+в₁₂

Произведением матрицы А на число а называется матрица В с теми же размерами, что и матрица А. Элементы матрицы В получают умножением числа а на соответствующие элементы матрицы А. Например, если

а₁₁ а₁₂ аа₁₁ аа₁₂

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С. Покажем вначале, как умножается матрица-строка на матрицу-столбец.

в₁₁

В этом случае матрица С = с₁₁ состоит из одного элемента, который равен сумме произведений элементов строки 1-й матрицы на соответствующие элементы столбца 2-й матрицы:

В дальнейшем будем называть такое действие умножением строки на столбец.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃

Матрицы могут быть перемножены только в том случае, если их размеры согласованы:

Размеры, неподчеркнутые, должны быть одинаковыми. Размеры, подчеркнутые одной черточкой, являются одновременно размерами матрицы С. В рассматриваемом ниже примере матрицы согласованы и могут быть перемножены:

Элемент с₁₁ матрицы С получается умножением 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 1-го столбца матрицы В:

Элемент с₁₂ получается умножением 1-й строки матрицы А на 2-й столбец матрицы В:

Элемент с₁₃ получается аналогично умножением 1-й строки матрицы А на 3-й столбец матрицы В. Таким образом, элементы первой строки матрицы С получаются умножением первой строки матрицы А сначала на 1-й столбец матрицы В, затем на 2-й и на 3-й столбцы этой матрицы.

Элементы второй строки матрицы С получаются умножением второй строки матрицы А последовательно на 1-й, 2-й и 3-й столбцы матрицы В, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃ с₁₁ с₁₂ с₁₃

Особенности операции умножения матрицы на матрицу является то, что она в общем случае не обладает перестановочным свойством:

Операция транспонирования матрицы А сводится к переписыванию каждой i-й строки матрицы А в i-й столбец матрицы А Т . Здесь А Т – обозначение транспонированной матрицы.

Пример: Выполнить указанные действия: (C – 2E₃) 2 + RQ T .

(матрицы C, Q, R взять из задания 1).

Решение: (C – 2E₃) 2 + RQ T =

2

3 2 0 1 0 0 7 0 6 3 Т

= -4 5 1 — 2× 0 1 0 + 2 -4 × 2 0 =

-2 3 4 0 0 1 1 3 1 -4

1 2 0 1 2 0 7 0 6 2 1

= -4 3 1 × -4 3 1 + 2 -4 × 3 0 -4 =

-2 3 2 -2 3 2 1 3

-7 8 2 42 14 7 35 22 9

= -18 4 5 + 0 4 18 = -18 8 23

-18 11 7 15 2 -11 -3 13 -4 .

Определители.

Для квадратных матриц любого порядка вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы.

Определителем матрицы второго порядка А =

Для обозначения определителей используют символы:

а₁₁а₁₂

Несмотря на то, что определитель, по определению, одно число, говорят о порядке, строках, столбцах и элементах определителя, имея при этом в виду порядок, строки, столбцы и элементы матрицы, для которой вычисляется определитель. Например,

2 -1

определитель 2-го порядка, который имеет две строки и два столбца. Элементами определителя являются числа 2, -1, 0, 3. Его значение равно 2×3 – 0×(-1) = 6.

Минором какого-либо элемента определителя называют определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится указанный элемент.

Минор элемента а_ij определителя обозначается M_ij.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

Например, для определителя третьего порядка а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃

Алгебраическое дополнение элемента а_ij определяется равенством А_ij = (-1) i + j M_ij.

Например, для определителя третьего порядка:

а₂₂ а₂₃

а₂₁ а₂₃

Определителями третьего и более высоких порядков называются числа, которые могут быть найдены по следующему алгоритму:

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

2 4 6 3 0 1 0 1 3

1 3 0 = 2×(-1) 1+1 + 4×(-1) 1+2 + 6×(-1) 1+3 =

-5 2 0 2 0 -5 0 -5 2

Здесь определитель найден разложением по первой строке. Однако вычисления становятся существенно проще, если этот же определитель разложить по третьему столбцу:

2 4 6 1 3

1 3 0 = 6×(-1) 1+3 + 0 + 0 = 102.

Второе и третье слагаемые равны нулю, так как равны нулю соответствующие элементы в третьем столбце. Таким образом, определитель лучше всего раскладывать по той строке или тому столбцу, где больше нулей.

Перечислим некоторые свойства определителей (они справедливы для определителей любого порядка). Эти свойства могут быть использованы при выполнении индивидуального задания.

1. det A = det A T .

2. Если в определителе, не равном нулю, поменять местами две строки (два столбца), то значение определителя изменит знак, например:

3. Умножение всех элементов какой-либо одной строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на число k, например:

а) все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю или

б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

5. Определитель не изменит своего значения, если к элементам какой-либо строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂ а₁₃

Аналогичное правило справедливо для столбцов определителя.

Покажем на примерах, как применяются некоторые перечисленные свойства.

а₁ в₁ с₁ а₁ а₂ а₃

Решение: Очевидно, что первый определитель может быть получен из второго заменой строк на столбцы. Если обозначить

а₁ а₂ а₃ а₁ в₁ с₁

Пример 2: Вычислить 64 5

Решение: Вынесем из 1-го столбца множитель «32», из 2-го столбца – множитель «5»:

64 5 2 1

Раздел 2.Системы уравнений с квадратной матрицей коэффициентов.

В данном разделе рассматриваются системы, для которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений (при этом матрица коэффициентов является квадратной):

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +…+ а_1nх_n = в₁

В матричной форме система, уравнений (1) имеет вид:

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n х₁ в₁

где A – матрица коэффициентов при неизвестных;

В– матрицасвободных членов.

Определителем систем уравнений называется определитель матрицы коэффициентов:

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n

= …………………

Теорема о решениях систем уравнений:

— Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.

— Если определитель равен нулю, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество решений.

В типовых расчетах рассмотрены три метода решения систем линейных алгебраических уравнений:

— по формулам Крамера;

Если ≠ 0, то система (1) может быть решена любым из трех методов. Если = 0, то систему удобнее решать методом Гаусса, так как применение первых двух методов в этом случае невозможно без предварительного преобразования системы.

Формулы Крамера

Если ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

х₁= 1 , х₂= 2 , … ,х_n= n .

Определитель ₁ получается из определителя системы (4) заменой 1-го столбца на столбец свободных членов; аналогично находят определители ₂ , ₃ и т. д.:

в₁а₁₂ … а_1n а₁₁в₁… а_1n а₁₁а₁₂… в₁

₁= ………….. , ₂= ………….. , _n = …………

Прежде чем рассмотреть пример, отметим, что если неизвестных немного, то вместо обозначений х₁, х₂, х₃, … удобнее использовать обозначения х, у, z, … .

x + 2y + 3z = 14

Пример: Решить систему уравнений 2x + y =13 .

1 2 3 14 2 3 1 14 3 1 2 14

= 2 1 0 =24; _Х = 13 1 0 =96; _У= 2 13 0 =120; _Z= 2 1 13 =0.

2 3 -4 23 3 -4 2 23 -4 2 3 23

Так как = 24 ≠ 0, то существует единственное решение системы:

х = х = 96/24 =4; у = y = 120/24 = 5; z = z = 0/24 = 0.

Таким образом, х = 4; у = 5; z = 0.

Метод Гаусса.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Напомним, что две системы уравнений называются равносильными, если решения одной системы совпадают с решениями другой либо обе системы несовместны.

Здесь рассмотрена одна из разновидностей метода Гаусса – метод Жордано-Гаусса, или метод полного исключения, отличающийся, тем, что матрица коэффициентов преобразуется не к треугольному виду, а к единичной матрице, что позволяет сразу записать решение системы, если, конечно, оно существует.

Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

1 – перестановка уравнений в системе;

2 – умножение любого уравнения на любое число, не равное нулю;

3 – прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

4 – отбрасывание уравнений в которых все коэффициенты и свобод­ный член равны нулю (уравнения вида 0 = 0).

Цель преобразований (метод Жордано-Гаусса) – свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

3х – у + 4z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х + у – z = 5 .

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

3 -1 4 5

Расширенная матрица включает в себя элементы матрицы коэффициентов, записанные слева от вертикальной черты, и столбецсвободных членов, записанный справа от черты. Эта матрица является, по существу, сокращенной записью системы уравнений. Применяяэквивалентные преобразования к строкам расширенной матрицы, сводим матрицу коэффициентов к единичной матрице:

3 -1 4 5 1 2 2 4 1 2 2 4

2 1 -1 5 (1) 2 1 -1 5 (2) 0 -3 -5 -3 (3)

1 2 2 4 3 -1 4 5 0 -7 -2 -7

1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4

0 3 5 3 (4) 0 3 5 3 (5) 0 1 -8 1 (6)

0 7 2 7 0 1 -8 1 0 3 5 3

1 0 18 2 1 0 18 2 1 0 0 2

0 1 -8 1 (7) 0 1 -8 1 (8) 0 1 0 1

0 0 29 0 0 0 1 0 0 0 1 0

(1) – поменяем местами 1-ю и 3-ю строки (т.е. поменяем местами 1-е и 3-е уравнения в системе);

(2) – получим два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3» (т.е. ко 2-му уравнению системы прибавим 1-е, умноженное на «-2», а к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на «-3»);

(3) – умножим 2-ю и 3-ю строки на «-1»;

(4) – получим единицу во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке при­бавим 2-ю, умноженную на «-2»;

(5) – поставим единицу во 2-м столбце на «свое» место. Для этого поменяем местами 2-ю и 3-ю строки;

(6) – получим два нуля во 2-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-3»;

(7) – получим единицу в 3-м столбце, 3-й строке. Для этого разделим 3-ю строку на «29»;

(8) – с помощью полученной единицы получим два нуля в 3-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 3-ю, умноженную, на «-18», а ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на «8».

Таким образом, получили расширенную матрицу с единичной матрицей коэффициентов. Перепишем теперь найденную эквивалентную систему уравнений в обычном виде:

1

Отсюда следует х = 2; у = 1; z = 0.

Матричный метод

Введем понятие обратной матрицы:

Матрица, обозначаемая А -1 , для которой выполняются равенства А×А -1 = А -1 ×А = Е, где Е – единичная матрица, называется обратной по отношению к квадратной матрице А.

Если Det А ≠ 0,то существует единственная обратная матрица А -1 ,

если Det A = 0, то обратная матрица А -1 не существует.

Обратную матрицу находят по формуле А -1 = (1/det А)×(А ٧ ) Т , где

A v — матрица, составленная из алгебраических дополнений:

А₁₁ А₁₂…А_1n

Система уравнений (1) может быть записана в матричной форме:

где А,В – известные матрицы, причем матрица А — квадратная;

X – матрица неизвестных.

Если det А ≠ 0, то существует обратная матрица А -1 . Умножим обе части матричного уравнения (5) на А -1 слева:

Так как А -1 × А = Е, Е × Х = X , то получим следующую формулу

для нахождения матрицы X:

Матричный метод решения может быть применен, если det А ≠ 0, так как, в противном случае обратная матрица не существует.

2х + 3у – z = 8

Пример: Решить систему уравнений 2y – z = 3

2 3 -1 х 8

Решение: В матричном виде система запишется как 0 2 -1 × у = 3

или А×Х = В. Решение имеет вид Х = А -1 ×В, где

А -1 =(1/det А)×( А ٧ ) Т , det А = 0 2 -1 = 7, А ٧ = А₂₁ А₂₂ А₂₃ .

Определитель det А ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица и единственное решение системы. Найдем алгебраические дополнения:

А₁₁ = 4; А₁₂ = -1; А₁₃ = -2; А₂₁ = -7; А₂₂ = 7; А₂₃ = 7; А₃₁ = -1; А₃₂ = 2; А₃₃ = 4;

4 -1 -2 4 -7 -1 4 -7 -1

А ٧ = -7 7 7 ; ( А ٧ ) Т = -1 7 2 ; А -1 =1/7 -1 7 2 ;

-1 2 4 -2 7 4 -2 7 4

4 -7 -1 8 32 – 21 + 3 2

Х = 1/7 -1 7 2 × 3 = 1/7 -8 + 21 – 6 = 1 .

-2 7 4 -3 -16 +21 – 12 -1

Отсюда следует: х = 2, у = 1, z = -1.

Матричные уравнения.

Пусть задано матричное уравнение АХ = В, причем матрица А – квадратная и существует обратная матрица А -1 . Решение ищут, умножая исходное уравнение на А -1 слева. Решение имеет вид:

Аналогично решается уравнение Y×С = В в том случае, когда матрица С квадратная и существует обратная матрица С -1 . Обе части уравнения умножаются на С -1 справа. Получаем формулу для нахождения неизвестной матрицы Y:

Для решения уравнения А×Х×С = В нужно обе его части умножить на А -1 слева и на С -1 справа. Получим:

X = А -1 В С -1 .

Пример: Решить уравнение 2 2 0 × Х = 4 8 -2

Решение. Запишем уравнение в виде А×Х=В. Неизвестную матрицу Х найдем по формуле Х=А -1 ×В.

А -1 = (1/det А)×( А ٧ ) Т , где det A = 2 2 0 = 12, А ٧ = А₂₁ А₂₂ А₂₃ ;

4 -4 4 4 2 2 4 2 2 2 1 1

А ٧ = 2 4 -10 ; ( А ٧ ) Т = -4 4 -2 ; А -1 = 1/12 -4 4 -2 = 1/6 -2 2 -1 ;

2 -2 8 4 -10 8 4 -10 8 2 -5 4

2 1 1 -2 -9 2 12 6 0 2 1 0

Х = 1/6 -2 2 -1 × 4 8 -2 = 1/6 0 18 -6 = 0 3 -1 .

2 -5 4 12 16 -2 24 6 6 4 1 1

Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA=0.

В соответствии с теоремой о решениях, систем уравнений, если
главный определитель системы det A = 0, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество
решений.

В этом случае (когда det А = 0) формулы Крамера х_j = _j не

могут быть использованы (на ноль делить нельзя). Неприменим и матричный метод, поскольку обратная матрица А -1 не существует. Систему можно решить методом Гаусса.

х + у + 3z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х – 2у + z = -3 .

1 1 3

Решение. = 2 -2 1 = 0.

1 5 8

Поскольку = 0, матрица коэффициентов системы вырождена. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 3 5 1 1 3 5 1 1 3 5

2 -2 1 -3 (1) 0 -4 -5 -13 (2) 0 -4 -5 -13 ;

1 5 8 10 0 4 5 5 0 0 0 -4

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – нужно получить два нуля во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке прибавим 2-ю. При этом замечаем, что 3-е уравнение в системе противоречиво: 0х + 0у + 0z = -4.

Третье уравнение в системе не выполняется ни при каких x, y, z. Следовательно, система уравнений не имеет решений (несовместна).

х + у – 3z = 4

Пример: Решить систему уравнений 3х – у – z = 16 .

1 1 -3

Решение. = 3 -1 -1 = 0.

1 -2 3

Так как = 0, матрица коэффициентов системы вырожденная. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 0 -1 5

3 -1 -1 16 (1) 0 -4 8 4 (2) 0 1 -2 -1 (3) 0 1 -2 -1 ;

1 -2 3 7 0 -3 6 3 0 1 -2 -1 0 0 0 0

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – разделим 2-ю строку на «-4», а 3-ю на «-3»;

(3) – нужно получить два нуля во 2-ом столбце. Для этого к 1-й и 3-й строкам прибавим 2-ю, умноженную на «-1».

Перепишем полученную систему уравнений в обычном виде:

Поскольку третье равенство выполняется при любых х, у, z, его можно не рассматривать. Таким образом, имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Перепишем ее в виде:

х = z +5

Примем z = t, где t принадлежит R (множество действительных чисел). Получим бесконечное множество решений:

х = t +5

Проверим правильность найденного решения подстановкой:

(t +5) + (2t – 1) – 3t = 4

3(t +5) – (2t – 1) – t = 16

(t +5) – 2(2t – 1) + 3t = 7.

Подставляем численные значения t, получим частные решения:

х = 5 х = 6

например, при t = 0 y = – 1, при t = 1 y = 1 и т. д.

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

• дадим определение методу Гаусса,
• разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
• разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
• есть возможность решать системы уравнений, где:
• количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
• количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
• определитель равен нулю.
• результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

• к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
• к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

• вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
• с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

• из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
• из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
• из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
• из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

• В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
• Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
• Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E, значит, X=A −1 B. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, т.е. если вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A −1 .

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ.

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Далее вычисляем алгебраические дополнения для элементов матрицы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных. Эти коэффициенты нужны будут для вычисления обратной матрицы.

Теперь находим союзную матрицу, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например:

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x₁, x₂, …, x_n могут оказаться другие буквы. К примеру:

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.