Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами — Курсовая работа
Глава І. Системы линейных дифференциальных уравнений 5
1.1. Общий вид линейной системы дифференциальных уравнений. Однородная и неоднородная системы с постоянными коэффициентами 5
1.2. Основные свойства линейной системы дифференциальных уравнений 8
1.3. Основные свойства решений однородной линейной системы 20
Глава ІІ. Линейные системы 23
2.1. Однородные и неоднородные линейные системы 23
2.2. Фундаментальная система решений и определитель Вронского 23
2.3. Построение общего решения однородной линейной системы по фундамен-тальной системе решений 25
Глава ІІІ. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера 26
3.1. Метод Эйлера. Характеристическое уравнение. Случай различных действительных корней 26
3.2. Случай различных корней характеристического уравнения, среди которых имеются комплексные 27
3.3. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения 28
Список использованной литературы
Линейная система имеет вид (1)
Если при всех рассматриваемых значениях все равны нулю, то эта система называется однородной. В противном случае она называется неоднородной.
Предполагаем, что функции и определены и непрерывны в интервале . Тогда система (1) имеет единственное решение …,
определенное во всем интервале и удовлетворяющее начальным условиям
причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, a нужно брать из интервала .
Всякое решение линейной системы является частным решением, так что особых решений она не имеет .
Интегрирование неоднородной линейной системы (1) приводится к интегрированию однородной системы
Однородная линейная система всегда имеет нулевое решение . Оно удовлетворяет нулевым начальным условиям
Других решений, удовлетворяющих нулевым начальным условиям, нет.
Для построения общего решения однородной линейной системы (2) достаточно знать линейно-независимых в интервале частных решений:
т. е. таких решений, для которых тождества
где — постоянные числа, могут выполняться только при . Такая система решений называется фундаментальной. Чтобы система решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского
был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала .
При сделанном предположении относительно непрерывности функций существует бесчисленное множество фундаментальных систем. Фундаментальная система (3) называется нормированной в точке , если решения, составляющие ее, удовлетворяют следующим начальным условиям:
Если известна фундаментальная система решений (3), то их линейная комбинация (4) где — произвольные постоянные, представляет собой общее решение однородной линейной системы (2) в области , …, (5)
Все решения однородной системы (2) содержатся в формуле (4)
Предположим, что среди корней характеристического уравнения имеется корень кратности . Тогда можно доказать, что ему соответствует решение системы (6) вида
где суть полиномы от степени не выше чем имеющие в совокупности произвольных коэффициентов. При этом может оказаться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа, так что решение (12) примет вид
где из коэффициентов являются произвольными, а остальные выражаются через них.
Полагая в решении (12) один из произвольных коэффициентов полиномов равным единице, а остальные равными нулю, построим линейно независимых частных решения.
Если — действительное характеристическое число, то построенные частные решения будут действительными.
Если же система (6) имеет комплексное характеристическое число кратности , то она имеет сопряженное характеристическое число той же кратности.
Построив линейно независимых комплексных частных решения, соответствующих характеристическому числу , и отделив в них действительные и мнимые части, получим 2 действительных линейно независимых частных решений. Таким образом, паре сопряженных комплексных характеристических чисел кратности соответствует 2 линейно независимых действительных частных решений.
В общем случае каждому простому действительному характеристическому числу соответствует одно частное решение, каждой паре простых сопряженных комплексных характеристических чисел соответствуют два действительных линейно независимых частных решения, действительному характеристическому числу кратности соответствуют действительных линейно независимых частных решения, а каждой паре сопряженных комплексных характеристических чисел кратности соответствуют 2 действительных линейно независимых частных решений. Всего получается действительных линейно независимых частных решения, так что они образуют фундаментальную систему решений, позволяющую построить общее решение указанным выше способом.
Таким образом, линейная однородная система с постоянными коэффициентами всегда интегрируется в элементарных функциях.
1. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 2009.
Курсовая работа по математическому анализу на тему: «Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений»
Федеральное Агентство по образованию
государственное Образовательное Учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет»
Институт Нефти и Газа
Кафедра «математические методы в экономике»
по математическому анализу
Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений
Проверил: старший преподаватель
Содержание
1 Системы линейных дифференциальных уравнений.
1.1 Общие сведения о линейных системах.
1.2 Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.
1.3 Методы решения однородных линейных систем дифференциальных уравнений.
1.4 Методы решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений.
2. Решение линейных систем дифференциальных уравнений.
2.1.Решение методом сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.
2.2. Решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений.
2.2.1. Решение видоизмененным методом Эйлера
2.3.2. Решение методом неопределенных коэффициентов
ВВЕдение
1. Системы линейных дифференциальных уравнений.
1.1 Общие сведения о линейных системах.
Линейные системы – это системы дифференциальных уравнений вида
http://znakka4estva.ru/dokumenty/matematika/kursovaya-rabota-po-matematicheskomu-analizu-na-temu-quot-odnorodnye-i-neodnorodnye-sistemy-lineynyh-differencialnyh-uravneniy-quot/ http://www.freepapers.ru/24/differencialnye-uravneniya-ngo-poryadka/152685.html1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image028.gif» />
 можно решить относительно y<sub>1</sub> и y<sub>2</sub>, т.е. выразить y<sub>1</sub>и y<sub>2</sub> через y’<sub>1</sub> и y”<sub>2</sub>.</p><p>В результате приходим к уравнениям вида</p><p style=)
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image042.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» />
, (17)</p><p style=)
, (18)</p><p>Коэффициенты α <sub>j</sub> ( 1 ) и α <sub>j</sub> (2) определяются из системы уравнений (13).</p><p>Можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения:</p><p style=)
Где
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image064.gif» />- действительные числа, определяемые через
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image066.gif» /> и
 войдут в общее решение системы. [2 стр 112-115]</p><p>Случай 3. Характеристическое уравнение имеет единственный корень <em>k</em> (кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора P<sub>1</sub> и P<sub>2</sub> (т.е. кратность корня совпадает с числом линейно независимых собственных векторов). Векторы P<sub>1</sub> и P<sub>2</sub> порождают два линейно независимых решения</p><p style=)
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image070.gif» />
 [3 стр 519-522]</p><p><strong>1.4 Методы решения</strong> <strong>неоднородных</strong> <strong>линейных систем дифференциальных уравнений.</strong></p><p>1) Для решения неоднородных линейных систем применяются методы, аналогичные методам, используемым для решения неоднородных линейных уравнений. Одним из таких методов является <em>метод вариации постоянных.</em> Продемонстрируем его суть на следующем примере.</p><p style=)
Пример: где
где
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image114.gif» />и
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image116.gif» />
Если же , то частное решение ищется в форме</p><p style=)
Пример1. Или
Составим систему (3) для корня
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image132.gif» /> и определяем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image134.gif» /> и
Откуда
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image142.gif» />. Полагая
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image144.gif» />, получаем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image148.gif» />
Составим далее систему (3) для корня
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image152.gif» /> и определяем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image154.gif» /> и
Откуда
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image160.gif» /> и
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image162.gif» />=1,
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image165.gif» />
Пример2.
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image173.gif» /> или
Находим его корни:
Составим систему (3) для корня
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image132.gif» /> и определяем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image134.gif» /> и
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image179.gif» /> или
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image181.gif» /> =>
Откуда
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image185.gif» />. Полагая
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image144.gif» />, получаем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image148.gif» />
Составим далее систему (3) для корня
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image191.gif» /> и определяем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image154.gif» /> и
Откуда
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image160.gif» /> и
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image162.gif» />=1,
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image195.gif» />
Пример3.
Составим систему (3) для корня
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image209.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image213.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image215.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image221.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image223.gif» />
Из последнего уравнения находим
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image229.gif» /> Подставляем это значение p1 в первое уравнение и находим
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image231.gif» /> Приняв
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image233.gif» />получаем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image235.gif» />
.</p><p>Фундаментальная система решении:</p><p style=)
Пример 1.
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image245.gif» /> или
и находим его корни:
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image249.gif» />
Подставляем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image253.gif» /> в систему (3) и определяем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image134.gif» /> и
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image255.gif» /> или
Откуда
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image259.gif» />. Полагая
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image144.gif» />, получаем
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image263.gif» />
Подставляя
, находим:</p><p style=)
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image269.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image273.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image283.gif» />
Пример 2.
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image291.gif» /> или
Пример 1. Пример 2.
Отсюда находим:
, ему соответствует собственный вектор</p><p style=)
и
, которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора</p><p style=)
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image339.gif» />
Пример 1.
Находим корни
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image349.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image352.gif» />,
Где
Пример 1.
Находим корни
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image349.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image371.gif» />,
Где p, q, c и d – некоторые постоянные. Для их определения подставим выражение для
Так как общее решение неоднородной системы уравнения Y представляет собой сумму частного решения
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image387.gif» /> и общего решения
Пример 2.
Его корни будут
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image397.gif» />
1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image401.gif» />,
где p, q, c и d – некоторые постоянные. Подставим выражение для