Линейные эконометрические модели из одновременных уравнений шпора

Система линейных одновременных уравнений. Структурная и приведенная формы эконометрической модели.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обозначаются обычно как x. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

где y – эндогенные переменные;

x – экзогенные переменные.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Так, потребление текущего года (y_t) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y_t-1)

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты b_i и a_j, (b_i – коэффициент при эндогенной переменной, a_j – коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонения от уровня, т. е. под x подразумевается x- а под y — соответственно у- . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные структурных коэффициентов модели структурная коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где — коэффициенты приведенной формы модели.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели ( ) через коэффициенты структурной модели (a_j и b_i). Для упрощения в модель не введены случайные переменные.

Для структурной модели вида

и (4.1)

Приведенная форма модели имеет вид

и (4.2)

В которой y₂ из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

Тогда система одновременных будет представлена как

Отсюда имеем равенство:

Таким образом, мы представили первое уравнение структурной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели:

Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные соотношения коэффициентов структурной модели, т. е.

и

Аналогично находятся и коэффициенты приведенной формы модели второго уравнения системы ( и ) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную из второго структурного уравнения и подставим во второе.

Что соответствует уравнению приведенной формы модели:

и

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи еменную им турнвязаны с коэффодели второго уравнения системы ()дели в виде уравнения приведенной формы модели:

между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Так, в 1947 г., исследуя линейную зависимость потребления (c) от дохода (y), Т. Хавельмо предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

где х – инвестиции в основной капитал и запасы экспорта и импорта;

a и b – параметры линейной зависимости c от y.

Их оценки должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии.

В этой модели две эндогенные переменные – c и y и одна экзогенная переменная x. Система приведенных приведенных уравнений составит:

Она позволяется получить значения эндогенной переменной с через переменную х. Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (A₀, A₁, B₀, B₁), можно перейти к коэффициентам структурной модели a и b, подставляя в первое уравнение приведенной формы выражение переменной x из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели хотя и значения экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

Дата добавления: 2016-05-16 ; просмотров: 1361 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Система одновременных эконометрических уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие сведения о системе одновременных эконометрических уравнений

Система одновременных экономических уравнений – это совокупность уравнений, которые позволяют исследователям установить наличие и степень связи (взаимозависимости) между эконометрическими переменными.

Выделяют две группы экономических переменных, из которых образуют эконометрические уравнения:

• эндогенные переменные, чьи значения определяют в результате функционирования изучаемой экономической системы (эндогенные переменные зависят как от экзогенных, так и от других эндогенных переменных);
• экзогенные переменные, чьи значения задаются извне (т.е. определяются вне эконометрической модели) и являются основой для определения значений эндогенных переменных (экзогенные переменные являются независимыми).

Функционирование сложных экономических систем может быть объяснено благодаря построению изолированных уравнений регрессии и измерению на их основе тесноты связи между переменными. Однако истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной не может быть описано одним отдельно взятым уравнением регрессии. В связи с этим в изучении экономических процессов важное значение приобрело структурирование связей между системой переменных.

В качестве примера системы одновременных эконометрических уравнений можно привести простейшую макроэкономическую (кейнсианскую) модель, которая состоит из двух уравнений:

В данной модели эндогенными переменными являются C (расходы на потребление) и Y (доход), а экзогенной переменной – I (инвестиции). b представляет собой коэффициент, который выражает предельную склонность к потреблению.

Характеристика структурной и приведенной форм системы уравнений

Данная система от всех других систем уравнения отличается наличием определенной структурной формы эконометрической модели. Это форма предполагает, что в правых и левых частях разных уравнений системы находятся одни и те же экономические переменные. Структурная форма системы одновременных эконометрических уравнений в случае переноса всех эндогенных переменных в левую часть может быть представлено в следующем матричном виде: YA = XB + E.

Готовые работы на аналогичную тему

Кроме структурной также выделяют приведенную (прогнозную) форму системы. По сути она есть представление системы, в котором эндогенные переменные выражены через экзогенные, то есть в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная. Тогда она выглядит так: Y = XП + U.

Приведенную форму системы всегда можно получить, если задана структурная форма. Однако обратное действие не всегда возможно, а если оно и возможно, то не всегда получается однозначный результат.

Если через коэффициенты приведенной формы можно выразить коэффициенты структурного уравнения, то оно называется идентифицируемым (в противном случае оно – неидентифицируемое). Точная индентифицируемость свойственна ситуации, когда способ подобного выражения является единственным. Если же их несколько, то говорят о сверхидентифицируемости.

Чтобы имела место идентифицируемость, требуется выполнение такого необходимого условия, как непревышение количества переменных правой части уравнения над количеством всех экзогенных переменных системы. Формулировка этого условия может отличаться. Так, часто говорят: количество экзогенных переменных, которые исключены из данного уравнения, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, которые включены в уравнение, за вычетом единицы.

Также выделяют условие, достаточное для признания идентифицируемости системы. Оно заключается в том, чтобы общее число эндогенных переменных системы за вычетом единицы не превышало ранг матрицы, который составлен из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении.

Методы оценки систем одновременных эконометрических уравнений

Для того, чтобы оценить представленные в структурной форме уравнения системы, нецелесообразно непосредственно применять обычный метод наименьших квадратов. Это связано с тем, что подобное применение нарушит важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность (предопределенность, независимость) факторов. Тогда будут получены смещённые и несостоятельные оценки параметров.

Поэтому системы одновременных эконометрических уравнений оценивают посредством применения следующих методов:

• косвенный метод наименьших квадратов – подстановка в аналитическое выражение зависимости структурных коэффициентов от их приведённых оценок, которые получают в результате применения обычного метода наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов – оценивание сначала зависимости эндогенных переменных от всех экзогенных (первый шаг), а затем – структурной формы модели, в которой эндогенные переменные заменены на их оценки, полученные на первом шаге (второй шаг);
• трехшаговый метод наименьших квадратов – предыдущий метод дополняется третьим шагом, с помощью которого оценивают ковариационную матрицу вектора случайных ошибок системы уравнений;
• методы максимального правдоподобия – использование всей информации об ограничениях на приведённую форму эконометрической модели.

Шпаргалка: Шпаргалка по Эконометрике

1.Понятие эконометрики. Предмет изучения

Термин Эк-ка бы л введен в 1926 г. норвежским экономистом Фришем. В переводе означает измерения в экономике. Эконом-ка – наука, связанная с эмпирическим выводом эконом. законов. Гл. назначение эк-ки состоит в модельном описании конкретных количественных взаимосвязей, сущ-х между анализир – ми соц. –экон. явлениями.

Методы эк-ки охватывают весь цикл решений экон.-кой задачи, т. е. от ее построения до содержательной интерпретации результатов анализа.

По условию иерархии анализ-й экономич-й системы выделяют

2.История развития. Этапы становления

Направление исследования, к. в XX в. втали называть эконометрикой, берет свое начало от англ. Экономиста Вильяма Петти, с к. связывают научное направление, наз. «политич. арифметикой»

Предпосылками развития эк-ки стали работы по методу наименьших квадратов Гаусса, целью к-х были методики, связанные с минимизацией при различ-х исследованиях.

В пер. половине XX в. были начаты работы по теоретич. моделированию структуры потребностей и х эмпирической оценки.

В 1930 г. было начато макроэкономической моделирование, к. получило развитие в теоретич. работах Кейнса и в разработке СНС США и в др. странах. Было создано эконометрическое общество.

В 1933 г. был выпущен журнал «Эконометрика»

В период с 1940-1970 гг. были сделаны важные разработки по эк-ке и ее применению. Она была расширена по многим направлениям:

А) метода анализа временных рядов

Б) модели дискретного выбора

В) модели фиктивных переменных

Г) анализ данных и прогноз и т. д.

В 1985 г. в Кембридже проходил всемирных конгресс эко-кого общества, в 1988 – в Канберре, на кот. было выработано соглашение о единой методике эконометрич. исследований. В соответствии с ним эк-кий анализ должен проходить сверху вниз, т. е. начинать следует с большей модели, включ.-й множество переменных, к. затем тестируются на значимость для данной модели.Итогом развития эк-ки стало присуждение Нобелевской премии 2000 г в области эконометрики американским экономистом Хекману и Макфаудену за создание микроэкономич. теории и ее применение для анализа поведения личности в об-ве и домашнем хоз-ве. Ученые предложили статистические методы упорядоченной обработки выборочных данных для решения задач, связанных с индивид-ми различиями объектов исследования. Т. О. эк-ка является симбиозом: экономической статистики; эконом-ой статистики; высшей математики.

Значит. вклад в развитие прикладной матем. статистики являющейся основой эк-ки, внесли отечеств. Ученые Марков, Ляпунов, Чебышев, Слуцкий.

В течении 10 лет эк-кие исследования провоились в ведущих вузах России(МГУ), а с переходом в 2000 г. на новые образовательные стандарты этот курс являлся обязательным по всем экономическим специальностям.

3.Экономические модели (модели временных рядов)

Для решения задач эк-ки существенным является использование матем. моделей. Они широко применяются в бизнесе, экономике, общ. науках, политич. процессах.

Матем. модели полезны для более широкого понимания происходящих процессов и их анализа. Модель, построенная на основе имеющихся значений объясн-х переменных, может быть использована для прогноза значений зависимой переменной в будущем.

Выделяют 3 соновн. класса моделей, к. применяются для анализа и прогноза.

Модели временных рядов.

К этому классу относится сл. модели: 1. Модель тренда (тенденция, развитие)

Где T(t)-временной тренд заданного параметрич. вида

2. Модель сезонности

Где S(t)-сезонная компонента

3.Модель тренда и сезонности:

К моделям временных рядов относится множество более сложных моделей, таких как модели адаптивного прогноза, модели авторегрессии, скользящей средней и т. д. Их общей чертой яв-ся то, что они объясн-т поведение временного ряда, исходя из его предыдущих значений.

4. Эконометрические модели (регрессионные модели с одним уравнением)

В таких моделях зависимая (объясняемая) величина y представлена в виде функции:

В зависимости от вида функции модели делятся на линейные и нелинейные. Область применения таких моделей значительно шире, чем моделей времен. рядов.

5.Эконометрические модели (системы одновременных уравнений) Системы одновременных моделей. Эти модели описываются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может кроме объясн-х переменных включать в себя такие объясняемые переменные из др. уравнений системы, т. е. набор объясняемых переменных связан. между собой через уравнения систем. Данные модели исп-ся для характеристики страховой эк-ки.

Пусть Q_t s – предложение товара в данный момент времени t, Q_t D – спрос на товар в данный момент времени t, p_t – цена товара в момент времени t , у_t – доход в момент времени t. Тогда система уравнений «спрос-предложение» будет иметь сл. вид:

Т.О., в данной модели предопред-ми переменными явл-ся доход и цена, а спрос и предложение яв-ся объясняемыми переменными.

6.Типы эконометрических данных При моделировании эк-х процессов испол-ся два типа данных: 1. пространственные – это набор сведений по различным показателям за один и тот же период времени.

2.временные – это набор сведений по одному показателю за различные промежутки времени.

7.Основные этапы корреляционно-регрессионного анализа Одной из сущ-ных задач эк-ки является изучение взаимосвязей между соц-эконом-ми явлениями.

Соц-эконом-е явления представляют собой результат одновременного воздействия большого количества внешних и внутренних причин.

В основе I этапа исследования лежит качественный анализ явлений, связанный с анализом его природы методами эконоич. теории, социологии и эконом. статистики.

II этап – это построение модели связи

III этап – это интерпретация результатов исследования

8. Классификация видов связи социально-экономических явлений.

Одной из существенных задач эконометрики является изучение взаимосвязи между социально-экономическими явлениями.

Социально-экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большёго количества внешних и внутренних причин.

Связи между явлениями классифицируются по ряду оснований. Признаки по их значению делятся на 2 класса:

1. Признаки, обуславливающие изменения других признаков, связанных с ними, называются факторными.

2. Признаки, изменяющиеся под воздействием факторных, называются результативными.

Связи между явлениями классифицируются по степени тесноты, по направлению и по аналитическому выравниванию.

По степени тесноты:

— функциональная связь – это связь, при которой определённому значению факторного признака соответствует только одно значение результативного признака;

— если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем среднем, при небольшом количестве наблюдений, то связь наз. стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение значений результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

По направлению связи:

— прямая, при которой с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение результативного признака;

— обратная, при которой факторный и результативный признаки изменяются в противоположных направлениях.

По аналитическому выравниванию:

— линейные связи, если связь между явлениями приближено выражена уравнением прямой;

— нелинейные связи, если связь между явлениями выражена уравнением кривой.

9 . Парная регрессия

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками. Аналитически связь между ними описывается следующими уравнениями:

Определить тип уравнения можно в первую очередь графическим способом. Помимо этого существует более общее указание: если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о наличии линейной связи между ними. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая функция.

10. Метод наименьших квадратов Оценка параметров уравнения А₀ , А₁ ,А₂ осуществляется методом наименьших квадратов (МНК) . В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет след. вид:

N- объём исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии параметр А₀ показывает усреднённое влияние на результативный признак неучтённых факторов.

Параметр А₁ (А₂ ) – коэффициент регрессии, показывает на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу в его собственном измерении.

Если связь между признаками криволинейная и описывается уравнением параболы, то система нормальных уравнений будет иметь следующий вид:

Оценка обратной зависимости между Х и У осуществляется на основе уравнения гиперболы. Тогда система нормальных уравнений выглядит так: N*A₀ + A₁ *∑1/X = ∑X

11. Множественная регрессия Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной регрессии. Она описывается функцией следующего вида:

Построение моделей множественной регрессии включает следующие этапы:

1. Выбор формы связи.

2. Выбор факторных признаков.

3. Обеспечение достаточного объёма совокупности для получения несмещённых оценок.

Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать целый ряд уравнений, которые эти связи будут описывать.

Практика построения многофакторных моделей показывает, что все реально существующие зависимости между социально-экономическими можно описать используя 5 типов моделей.

3. Показательная Y(X)=e A 0+ A 1* X 1+ A 2* X 2+…+ Ak * Xk (2.9)

Основное значение имеют линейные уравнения в силу их простоты и логичности экономической интерпретации.

12.Проблемы построения модели регрессии. Пути их преодоления. Важнейшим этапом построения выбранного уравнения множественной регрессии является отбор и последующее включение факторных признаков. Проблема отбора факторных признаков может быть решена на основе интуитивно-логических или многомерных методов анализа. Наиболее приемлемым способом является ШАГОВАЯ РЕГРЕССИЯ. Сущность этого метода заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей их проверке на значимость. Факторы поочерёдно вводятся в уравнение прямым методом. При поверке на значимость определяется на сколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции.

При построении модели регрессии можно столкнуться с проблемой мультиколлинеарности, под которой понимается тесная зависимость между факторными признаками, включёнными в модель. Данная проблема существенно влияет на результаты исследования. Устранить её можно, исключив из корреляционной модели один или несколько линейно связанных факторов или преобразовав исходные признаки в новые укрупнённые факторы.

13. Оценка существенности корреляционной зависимости. Измерение тесноты и направленности связи является важной задачей корреляционно-регрессионного анализа. Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции: R= (2.12) Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента, то есть определяется расчётное значение данного показателя: (2.13) Если t_р больше t_таб , то это свидетельствует о наличии зависимости между изучаемыми признаками. Теснота связи при криволинейной зависимости измеряется с помощью эмпирического корреляционного отношения: η= (2.14) где -факторная дисперсия, которая показывает вариацию результативного признака под влиянием факторного признака.

(2.15) -общая дисперсия, которая показывает вариацию результативного признака под влиянием всех факторов. (2.16) Множественный коэффициент корреляции определяется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками:

где -остаточная дисперсия, которая показывает вариацию результативного признака под влиянием неучтённых факторов. Проверка значимости множественного коэффициента корреляции определяется на основе F-критерия Стьюдента. (2.19) 14. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ. Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнения регрессии начинается с оценки значимости каждого коэффициента регрессии, т. е. Определяется расчётное значение t-критерия Стьюдента.

(2.20)-дисперсия коэффициента регрессии

Если t расчётное больше t табличного при (α; V=n-k-1), где α — уровень значимости, V=n-k-1 число степеней свободы. (2.21)

где — дисперсия результативного признака,

k – количество объясняющих переменных.

Проверка адекватности этой модели осуществляется с помощью расчёта средней ошибки аппроксимации (2.22)

Величина данной ошибки не должна превышать 15 %.

15. Понятие случайной переменной. Ее математическое ожидание (М.О.).

Случайная переменная — это любая переменная значение которой, не может быть точно предсказано.

М.О-ие случайной величины- это взвешенное среднее всех ее возможных значений. При этом в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода.

Пусть случайная величина может принимать некоторые значения (E1,E2, …,En) и вероятность их получения равна (р1,р2,…,рn).Тогда М.О. случайной переменной определяется след.образом:

16. Правила расчета М.О.

Существуют следующие правила расчета М.О.:

Правило1 : М.О. суммы нескольких переменных равно сумме их

Правило 2: если случайную величину умножить на константу, то ее М.О-ие увеличится во столько же раз.

Правило 3: М.О. константы — есть она сама: F(a)=a (3.4)

17. 4-ре условия Гаус Маркова.

Для того чтобы анализ, основанный на методе наименьших квадратов давал лучшие результаты, необходимо выполнение условия Гас- Маркова для случайных составляющих:

1. М.О. случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю: Е(ε_i )= 0

В некоторых ситуациях случайный член будет положительным иногда отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения не в 1-ом из направлений.

Если уравнение регрессии включает постоянный член, то это условие выполняется автоматически. Т.к. роль константы состоит в том, чтобы

определить любую тенденцию, в которой не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.

2. Дисперсия случ. члена должна быть постоянна для всех наблюдений.

pop.var (Ei)- теоретическая вариация. (3.6)

pop.var(Ei) = ^2Ei -одинакова для всех i. (3.6) Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрессии будут не эффективны.

3. Это условие предполагает отсутствие системной связи между значениями случайного члена в любых 2-ух наблюдениях.

(3.7) Т.е. если случ. член велик и положителен в олном наблюдении, это не обуславливает тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в другом наблюдении. Случ. члены должны быть независемы друг от друга.

4. С.ч-н должен быть независимо распределен от объясняющей переменной. Значение независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться полностью определенным внешними причинами, которые не учитываются в уравнении регрессии. Если условие выполняется, то теоретическая вариация между независимой переменной и случ. членом равна 0. Pop var (x_i, ε_i )=0 (3.8)

18.Условия гомо и гетероскедастич-сти. Последствия гетероске-сти.

Первые два условия Гаус Маркова указывают, что случайные члены появ-ся на основе вероят-тных распреде-й, имеющих нолевое мат-кое ожидание и одну и ту же дисперсию. Их факти-кие знач-я иногда будут полож-ми, иногда отриц-ми, но но они не будут иметь сильных отклонений в любом наблю-ии, т.е вероят-ть того, что величина e примет какое-то значение, будет одинаковой для всех наблюде-й. Здесь имеет место условие гомоскедастич-ти:Ф(3.6)

одинакова для всех i. Вместе с тем возможно, что теори-ское распред-е случайного члена яв-ся разным для различ-х наблюд-й выборки. Это не означает, что слячайный член будет иметь особенно большие отклонения в конце выборки, но вероят-сть их получения будет высокая, т.е имеет место условие гетероскедаст-ти: Ф(3.6) не одинакова для всех.

Рис. 1- Различия м/д гомо и гетероскедас-тью.

На рис.2 показано, как будет выглядеть характерная диаграмма распределения ф-ции y(x), если имеет место гетероскедаст-сть. Рис.2-Влияние гетероскед-сти на распредел-е ф-ции y(x).

При отсутствии гетероскед-сти коэф-ты регрессии имеют наиболее низкую дисперсию среди несмещенных оценок. Если имеет место гетероскед- сть, то оценки метода наименьших квадратов будут не эфф-ны. Гетероскед-сть становится проблемой, когда значение переменных, входящих в уровни регрессии значительно различается в разных наблюдениях. Если истинная зависимость описывается уравнением прямой, то при нем экон-ие переменные меняют свой масштаб одновременно ,то изменение значений, не включаемых переменных и ошибки измерения, влияя совместно на случайный член делает его сравнительно малым при больших X и Y. Гетероске- сть может также появляться при анализе временных рядов.

19.Обнаружение гетероскедастичности.Тест ранговой корреляции Спирмена, тест Глейзера.

Проявление проблем гетероскед-сти можно предвидеть основываясь на знаниях характера данных. В этих случаях можно предпринимать действия на этапе спецификации модели регрессии. Это позволит уменьшить или устранить необходимость формальной проверки. В настоящее время используются следующие виды тестов гетероскед-сти, в которых делается предположение о наличие зависимости между дисперсией случайного члена и величиной объясняющей переменной: 1)Тест ранговой корреляции Спирмена .

При его выполнении предполагается, что дисперсия случайного члена будет либо увеличиваться, либо уменьшаться по мере увеличения X и поэтому в регрессии, оцениваемой с помощью метода наименьших квадратов абсолютные величины остатков и значение X будут коррелированны. Данные по X и остатки упорядочиваются, а затем определяется коэффициент ранговой корреляции: Ф(3.9),

Где Дi- разность между рангом X и рангом е, е- остатки(отклонение) фактических значений Y от теоретических значений.

2)Тест Глейзера.

Чтобы использовать данный метод следует оценить регрессионную зависимость y(x) с помощью обычного метода наименьших квадратов, а затем вычислить абсолютные величины остатков еi по модулю, оценив их регрессию.

20.Обнаружение гетероскед-сти. Тест Голдфельда Квандта . Появление проблем гетероскед-сти можно предвидеть основываясь на знаниях характера данных. В этих случаях можно предпринимать действия на этапе спецификации модели регрессии. Это позволит уменьшить или устранить необходимость формальной проверки. В настоящее время используются следующие виды тестов гетероскед-сти, в которых делается предположение о наличие зависимости между дисперсией случайного члена и величиной объясняющей переменной:

1)Тест Голдфельда Квандта.

При проведении проверки по этому критерию предполагается, что дисперсия случайного члена пропорциональна значению X в этом наблюдении. Предполагается, что случайный член распределен нормально и не подвержен автокорреляции. Все наблюдения в выборке упорядочиваются по величине X, после чего оцениваются отдельные регрессии для первых nсо штрихом наблюдений и для последних nсо штрихом наблюдений. Если предположение о наличие гетероскед-сти верна, то дисперсия в последних n наблюдениях будет больше, чем в первых nсо штрихом наблюдениях. Суммы квадратов остатков обозначают для первых nсо штрихом наблюдений обозначают RSS1, для последних nсо штрихом наблюдений RSS2, затем определяют их отношения. Это отношение имеет F-распределения при заданных (n со штрихом-k-1)/(n со штрихом-k-1) степенях свободы. Если n=30, то n со штрихом= min11.

21. Автокорреляция и ее факторы .

Автокорреляция в регрессионном анализе обычно встречается при исследовании временных рядов. Постоянная направленность воздействия не включенных в уравнении переменных является наиболее частой причиной появления положительной автокорреляции.

Пример1: При оценке спроса на мороженное по ежемесячным данным предполагается, что состояние погоды является единственным важным фактором. При этом проводятся ряд наблюдений, когда теплая погода способствует увеличению спроса, а холодная погода наоборот. Если доход возрастает со временем, то схема наблюдений будет выглядеть след. Образом: Рисунок3 – Положения автокорреляции.

Изменения эконом-кой конъюнктуры приводит к положительным результатам и в анализе. Автокорреляция является существенной проблемой, когда интервал между наблюдениями имеет небольшую величину. Чем больше этот интервал, тем меньше вероятность того, что при переходе от одного наблюдения к другому характер влияния неучтенных факторов будет сохраняться.

Автокорреляция может быть отрицательной. Это означает, что корреляция между последовательными значениями случайного члена отрицательна, т.е за положит-ным значением в одном наблюдении следует отриц-ное значение в другом. Тогда диаграмма распределения выглядит след.образом: Рисунок4- Отрицательная автокорреляция .

В экономике отрицательная автокорреляция встречается редко, но иногда она появляется при преобразовании первоначальных моделей в форму, подходящую для регрессионного анализа.

22. ПОНЯТИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Временной ряд – это упорядоченная последовательность наблюдений за изучаемым явлением.

Обычно измерения осуществляются через равные промежутки времени. В каждый момент времени значение исследуемой величины формируется под воздействием большого числа факторов, как случайного, так и неслучайного характера.

Изменение условий развития объекта исследования ведет к ослаблению действия одних факторов, усилению других факторов, и, в конечном итоге, к варьированию изучаемого явления.

Характерной чертой временных рядов является то, что время выступает одним из определяющих факторов. Одним из требований к временным рядам является сопоставимость результатов наблюдений.

Для обеспечения сравнимости в случае, когда временными интервалами являются месяцы или дни, необходимо устранить мешающие эффекты.

Во временных рядах главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Применяемые при обработке данных методы опираются на математическую статистику, которая в свою очередь основывается на жестких требованиях к исходным данным (однородность, распределение).

Конечной целью анализа временных рядов является достижение понимания механизмов, которые обуславливают появление этих рядов.

Выделяют три основные задачи исследования временных рядов:

1. Описание изменения исследуемого признака во времени и выявление свойств изучаемого ряда.

2. Объяснение механизма изменения уровня ряда.

3. Статистическое прогнозирование значений изучаемого признака для будущих моментов времени.

23. Основные компоненты временных рядов.

Практический опыт показывает, что типичные временные ряды представляют собой состав из 4-х компонентов:

Y(t)= f(St, Tt, Ct, Rt), (4.1)

где St – эффект сезонности; Tt – временной тренд; Ct – колебания относительного тренда (цикличность); Rt – случайная компонента.

Любой временной ряд можно описать в виде одной из таких составляющих или суммы нескольких из них. Наиболее легким для обнаружения является эффект сезонности. Гораздо сложнее выделить понятие тренда.

Трендом называют неслучайную, медленно меняющуюся составляющую временного ряда, на которую могут накладываться случайные колебания или сезонные эффекты.

24. Методы анализа временных рядов скользящей средней. Достаточно простым методом выявления тенденции развития является сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными, которые имеют меньшую колеблемость, чем исходные данные. Соответствующие преобразования называются фильтрованием .

Существуют следующие методы сглаживания:

1. Метод скользящих средних. Он основан на предоставлении ряда в виде суммы гладкого тренда и случайной компоненты.

2. Экспоненциальное сглаживание. Экспоненциальное среднее является примером асимметрической скользящей средней, в которой учитывается степень старения данных. Чем старше информация, тем с меньшим весом она входит в формулу для расчета сглаженного значения уровня ряда.

3,Медианное сглаживание. В основе метода лежит вычисление скользящей медианы.

Помимо методов сглаживания одним из наиболее эффективных методов выявления основной тенденции развития явления является аналитическое выравнивание

Метод скользящих средних.

Для построения оценки тренда по значениям ряда из временного интервала [t-m; t+m] рассчитывают теоретические значения уровней ряда. Обычно все веса для элементов интервала равны между собой. Сглаживание происходит с окном шириной 2m+1. Ширину окна обычно берут нечетной, т.к. скользящую среднюю рассчитывают для центрального значения интервала:

Yt’ =, (4.2)

Общая формула метода скользящих средних имеет следующий вид:

где Yt ‘ – сглаженное значение уровня ряда; Am – вес, приписываемый уровню ряда, находящегося на расстоянии m от периода времени t .

При использовании этого метода необходимо учитывать, что скользящая средняя может сильно исказить тенденцию развития явления. Также она не дает значений для первых и последних наблюдений, т.е. имеют место краевые эффекты .

25. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ.

Достаточно простым методом выявления тенденции развития является сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными, которые имеют меньшую колеблемость, чем исходные данные. Соответствующие преобразования называются фильтрованием .

Существуют следующие методы сглаживания:

1. Метод скользящих средних. Он основан на предоставлении ряда в виде суммы гладкого тренда и случайной компоненты.

2. Экспоненциальное сглаживание. Экспоненциальное среднее является примером асимметрической скользящей средней, в которой учитывается степень старения данных.

3,Медианное сглаживание. В основе метода лежит вычисление скользящей медианы.

Помимо методов сглаживания одним из наиболее эффективных методов выявления основной тенденции развития явления является аналитическое выравнивание

Чем старше информация, тем с меньшим весом она входит в формулу для расчета сглаженного значения уровня ряда.

где Qt – экспоненциальная средняя, заменяющая значение Yt; α – параметр сглаживания, характеризующий вес текущего наблюдения. 0

К полученному ур-ию нужно применить МНК и получить оценки соответствующих коэф-тов. Станд. ошибки коэф-тов при фиктивных переменных используются для проверки гипотез и построения доверительных интервалов. Наиболее распр. их применение состоит в проверке значимости отличия коэф-тов от 0. Она выполняется делением коэф-та на станд. ошибку для получения t-критерия Стъюдента. Расчетные значения сравниваются с критическим табличным значением при заданном уровне значимости. Качественные переменные могут отвечать не только за сдвиги у постоянного члена, но и за наклон линии регрессии. В данном случае используется фиктивная переменная для коэф-та наклона, к-ая наз-ся переменная взаимодействия. В примере 1 был рассмотрен случай зависимости з/п от наличия высшего образования без учета опыта работы по данной специальности. Для рассмотрения влияния этого фактора вводится новая фиктивная переменная zdx , тогда Y(x) = x’*a+σ d+zdx +∑; Y(x) = σ d+x *( a + zd ) +∑; (5.3). Если d=0, то коэф-т при Х как и раньше равен а , если d=1, то коэф-т приобретает вид (a+z). Поэтому величина z рассматривается как разность между коэф-том при показателе наличия высшего образования для работника, к-ый имеет опыт работы, и коэф-том при показателе наличия высшего образования для работника без опыта работы. Качественные различия можно формализовать с помощью любой переменной, принимающей два значения. Однако в эк-ой практике обычно используется система 01 , поскольку в этом случае интерпретация выглядит наиболее просто.

32. Понятие фиктивной переменой взаимодействия

33. Система фиктивных переменных.(см вопрос 30)

Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет несколько значений, то можно ввести дискретную переменную, принимающую такое же количество значений. Однако этот метод затрудняет содержательную интерпретацию, которая соответствует коэффициентам уравнения регрессии. Поэтому в этих случаях целесообразно использовать несколько фиктивных переменных. Примером подобных ситуаций является исследование сезонных колебаний. Пример: пусть Y ( t )- объем потребления некоторого продукта в месяц. Существует предположение о том, что потребление зависит от времени года. Для выявления сезонности можно ввести 3 фиктивные переменные:

d ( t 2)=1, если месяц весенний и d ( t 2) = 0 в остальных случаях.

d ( t 3) = 1, если месяц летний и d ( t 3) = 0 в остальных случаях.

В данном примере оценивается уравнение следующего вида:

4 фиктивная переменная для осени не вводится, т.к. тогда для любого месяца t выполнялось бы тождество: d ( t 1)+ d ( t 2)+ d ( t 3)+ d ( t 4)=1 , что означало бы линейную зависимость коэффициентов регрессии и, как следствие, невозможность получения оценок метода наименьших квадратов. Т.о. среднемесячный объем потребления есть а0 для осенних месяцев, а0+а1 – для зимних, а0+а2 – для весенних, а0+а3 – для летних.

Оценки коэффициентов а1, а2, а3 показывают среднее сезонное отношение объемов потребления по отношению к осенним месяцам. Например, тестируя гипотезу а3=0, проверяют предположение о несущественном различие в объемах потребления м/д летним и осенним сезонами. Гипотеза а1=а2 эквивалентна предположению об отсутствии различий в потреблении м/д весной и зимой.

Фиктивные переменные, несмотря на внешнюю простоту, являются гибким экспериментом при исследовании влияния качественных признаков. В предыдущей модели рассматриваются различия лишь для среднемесячных объемов потребления. При ее модификации вводят новую независимую переменную I-доход, используемый на потребление. Известно, что в уравнении регрессии данная переменная занимает следующее место: Y ( t )= a 0+ a 1* I ( t )+ e (5,5)

Коэффициент а1 носит название «склонность к потреблению». Поэтому стоит задача исследования влияния сезона на склонность к потреблению. Для этого используют след. модель:

Согласно этой модели склонность к потреблению зимой – а4+а7, весной – а5+а7 , летом – а6+а7 , осенью – а7. Как и в предыдущей моделе можно тестировать гипотезы об отсутствие сезонных колебаний на склонность к потреблению. Фиктивные переменные позволяют строить и оценивать кусочно-линейные модели . Пример. Пусть Y- это зависимая переменная, и присутствуют только 2 независимые переменные – постоянный член – Х. Пусть Х и Y представлены в виде временых рядов [( X ( t ); Y ( t )), t =1, 2,…, n ]. Пусть в момент t0 произошла структурная перестройка и линия регрессии будет отличаться от той, что была до момента t0, но общая ситуация остается непрерывной. (график)

чтобы оценить такую модель вводится фиктивная величина R ( t ). Полагая, что R ( t ) = 0 при t t 0 . Далее используется регрессионная модель следующего вида:

Регрессионная линия, соответствующая уравнению (5,7) имеет коэффициент наклона а2 для t t 0. Т. о., разрыва в линии регрессии не происходит. Тест а3=0 проверяет предположение о том, что фактического структурного изменения не произошло. Этот подход обобщает структурные изменения в пределах одного временного интервала.

1. для исследования влияния нач. признаков в модель можно вводить фиктивные переменные, которые принимают значение 1, если данный начальный признак присутствует в наблюдении и значение 0 , если он отсутствует.

2. Способ включения фикт. переменных зависит от информации относительно влияния соответствующих качественных признаков на зависимую переменную и от гипотез, которые необходимо проверить.

3. От способа включения фик. переменной зависит содержательная интерпритация коэффициента при ней.

34. Оценка кусочно-линейной модели с помощью фиктивной переменной.

(смотри вопрос 33)

35. Понятие эконометрич-го прогнозирования, его значение.

Под прогнозом понимается эмпирическое или научно-обоснованное представление о возможных состояниях объекта прогнозирования в будущем.

Процесс прогнозирования состоит в том, чтобы конкретным методом с использованием определенного инструментария обработать имеющуюся информацию о состоянии изучаемого объекта, о наблюдавшихся ранее тенденциях и условиях его функционирования и превратить полученные данные в систему представлений о будущем состоянии или поведении объекта.

Базой для социально-экономического прогнозирования является познание конкретных факторов, определяющих развитие социально-экономических явлений. Прогноз носит вероятностный характер. Однако поскольку он строится на основе аргументированных научных представлений, его можно считать достаточно достоверным. Искусство прогноза включает последние достижения экономической теории статистики, математики и информатики. На этапе прогнозирования формируются возможные цели развития как на общенациональном, так и на отраслевом и региональном уровнях управления. Прогнозированием занимаются гос. Управления разных уровней, специализированные коммерческие фирмы, частые страховые, банковские и торговые корпорации.

Прогнозы на федеральном уровне учитывают результаты исследований, проводимых частными организациями и корпорациями. Т. о., можно сказать, прогнозирование составляет фундамент предпринимательской и управленческой деятельности в любой сфере.

Система прогнозирования предполагает единство методологии организации и разработки прогнозов, которая обеспечивает их согласованность, преемственность, непрерывность.

36. Эконометрич-е прогнозирование микроэкономических показателей.

В условиях рыночной экономики формирование направлений развития хоз. деят-ти предприятий должно основываться на учете прогнозных оценок влияния различных факторов. Используя эконометрические расчеты можно выполнить следующие вычисления: 1) установить прогнозные уровни результативных показателей и факторов, к-ые их формируют; 2) определить прогнозные уровни факторов при прогнозированном значении результативного признака.

Пример 1. Исследованию подвергается ряд динамики уровня рентабельности отдельного предприятия. Для проведения прогнозных расчетов используется след. формула прогнозной зависимости: (7.1), где Y(t) – уравнение тренда; Ymin – min значение результативного признака; b – параметр тренда; d – знак отклонений коэффициентов сравнения; Ti – значение символа года; Tmin – нижнее значение символа года.

Параметр ур-ия тренда определяется по след. формуле: (7.2). b=0,06072. Он показывает, что при изменении ряда динамики на 1 ед-цу (один год) размер отклонений коэф-та сравнения результативного признака возрастет в 0,06072 раз.

Достоверность расчетов подтверждает равенство итоговых сумм фактических и теоретических значений результативного признака.

Критерием получения прогнозных расчетов является вычисление для данного ур-ия коэф-та устойчивости.

(7.3)

Это значение коэф-та устойчивости по шкале зависимости свид-ет о высоком уровне значимости и устойчивости связи. Т. о., предложенная модель пригодна для прогноза.

37. Построение эконометрической модели экономич. роста

Прогноз экономического роста учитывает требования прогноза уровня жизни к величине экономического и военно-стратегического прогноза. Наибольшее распространение в прогнозировании экономического роста в странах с более или менее стабильной экономикой получили многофакторные модели, типа y(x)=f(x₁ , x₂ , x₃ , …, x_k ).

Используются также и однофакторные модели, н-р, модель, выражающая зависимость экономического роста только от величины трудовых ресурсов (L) в краткосрочном периоде, когда изменение производственных фондов, т. е. капитала (К), незначительно по сравнению с предыдущим периодом. Наиболее известна двухфакторная модель в форме произв-ой ф-ии: y(x)=a₀ *K α *L β (7.4).

В зависимости от значений α и β рассматриваются три типа экономического роста:

1)α + β = 1 – выпуск нац. продукта увеличивается пропорционально затратам факторов произ-ва (капитала и труда). Суммарная эк-ая эф-ть остается неизменной, происходит чисто экстенсивное расширение произ-ва, когда низкая эф-ть капитала покрывается приростом трудовых ресурсов.

2) α + β > 1 – этоозначает, что при росте факторов произ-ва в n раз выпуск продукции увеличивается более, чем в n раз, т. е. рост произ-ва отражает рост совок-ых затрат факторов. Помимо этого данный эффект может присутствовать, когда под воздействием достижений НТП повышается эф-ть произ-ых фондов или трудовых ресурсов.