Линейные и квадратные уравнения и неравенства урок

Урок по теме: Повторение. Линейные и квадратные неравенства

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

УМК «Алгебра. 9 класс. Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Семенов П.В.», Мнемозина — 2009 г.

Уровень обучения: базовый

Тема урока: Линейные и квадратные неравенства

Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа

У р о к 1. Линейные и квадратные неравенства.

1. Обучающие: уточнить определение понятия неравенство, выделить виды неравенств, повторить определение линейного неравенства с одной переменной; вспомнить определение равносильных неравенств и правила преобразования неравенств и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений.

2. Развивающие: развивать логическое мышление и математическую речь, самостоятельность, самоконтроль, умения сравнивать и делать выводы.

3. Воспитательные: воспитывать точность, последовательность, аккуратность, положительную мотивацию при изучении материала и применении полученных знаний.

Планируемые результаты: Иметь понятие о линейных неравенствах с одной переменной, решении неравенства. Знать и уметь применять правила для равносильных преобразований неравенств. Уметь находить решение неравенства с помощью числовой прямой.

Техническое обеспечение урока: рабочие тетради, слайды с образцами решения, презентация к уроку, мультимедийный проектор, интерактивная доска, компьютер.

1) Организационный этап.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3) Актуализация знаний.

4) Первичное усвоение знаний.

5) Первичная проверка понимания

6) Первичное закрепление.

7) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

8) Рефлексия (подведение итогов занятия)

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

— Перед вами несколько математических выражений. Как они называются?

(Линейные и квадратные неравенства)

— Как вы думаете, чем мы будим заниматься сегодня на уроке? (решать линейные и квадратные неравенства)

— Запишите тему урока «Линейные и квадратные неравенства». На изучение этой темы нам необходимо 3 урока. В ходе этих уроков нам необходимо повторить и обобщить знания, полученные ранее по этой теме.

На доске записаны пословицы и высказывания:
«Без муки нет науки”.
«Была бы охота – заладится всякая работа”.
«Набирайся ума в учении, а храбрости в сражении”.
«Математика – гимнастика ума”.
«Величие человека в его способности мыслить”.
Ученикам предлагается прочитать и выбрать понравившуюся.
Некоторые учащиеся зачитывают и объясняют: почему выбрали именно эту и как они её понимают. Каждый записывает в тетрадь, ему понравившуюся. Она и станет его девизом урока.

— Сформулируем основные цели нашего урока

Цели для учеников:

— вспомнить какие уравнения называют линейными и квадратными;

— повторить методы решения этих уравнений;

— закрепить теоретический материал при решении упражнений.

— На интерактивной доске перетаскиваем уравнения и неравенства в группы «линейные» и «квадратные».

Первичное усвоение знаний.

Работа с учебником.

Ответьте на вопросы:

Что такое неравенство?

Дайте определение линейного неравенства с одной переменной.

Что называют решением неравенства f(х) > 0?

Что такое частное решение?

Что такое общее решение неравенства?

Первичная проверка понимания.

(беседа с использованием презентации)

— Что такое неравенство?

Это соотношения вида

f ( x )> g ( x ), f ( x ) g ( x ) или f ( x ) ≥ g ( x ), f ( x )≤ g ( x )

Решения неравенства- это значения переменной, обращающие его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство- значит найти все решения или доказать, что их нет.

— Какие виды неравенств вам известны?

Числовое: а> b , где a и b — числа

Линейное: ax + b ≤0, где a и b — числа, х- переменная

Квадратное: ax 2 + bx + c >0 (неравенство II степени)

где a , b , c — числа, х- переменная

— Какие неравенства называют линейными?

— Какие неравенства называют квадратными?

Решить устно № 1.1 (а; б) из задачника.

— Какими правилами пользуемся при решении линейных неравенств?

При решении неравенств используют следующие правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.

Решить неравенство −8x +11 , т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:

x>3 — решение заданного неравенства.

Для записи решения можно использовать два варианта: x>3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

1. Решить № 1.2 (а; в) на с. 13 задачника самостоятельно, а затем проверить решение.

2. Решить № 1.3 (а; в) на доске и в тетрадях.

15  4(5 + 4х)

х ≥

О т в е т: х ≥ – 1,2 или [– 1,2; ∞).

с >

О т в е т: с > .

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

§ 1. изучить по учебнику страницы 12–14

(Аналогично классной работе)

1. Результатом своей личной работы считаю, что я ..

А. Разобрался в теории.
В. Научился решать линейные неравенства.
С. Повторил весь ранее изученный материал.

2. Что вам не хватало на уроке при решении задач?

А. Знаний.
Б. Времени.
С. Желания.
Д. Решал нормально.

3. Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке?

А. Одноклассники.
Б. Учитель.
С. Учебник.
Д. Никто.

Конспект урока по алгебре «Линейные и квадратные уравнения»

Линейные и квадратные неравенства

Цели урока: вспомнить понятия линейное и квадратное неравенство; формировать навыки решения линейных и квадратных неравенств; формировать умение определять область допустимых значений выражений.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 9-14):

1. Ввести определение линейного неравенства.

2. Ввести определение квадратного неравенства.

3. Ввести правила, применяемые при решении линейных и квадратных неравенств.

На доске заготовлены плакаты с информацией, которую учитель разбирает вместе с учащимися:

1.

1.

2.

2.

1. Закрепление нового материала.

Решаются задания у доски по карточкам:

1. Проверочная работа.

Учащиеся из группы Б (сильные) решают по карточкам:

Учащиеся из группы А (слабые) решают у доски по карточкам:

В карточках для учащихся группы А задания №47-58 взяты из задач на повторение стр. 10-12.

Подведение итогов.

Домашнее задание: группа А: №5-7; группа Б: №8-11; теория в учебнике на стр. 9-11; рабочая тетрадь стр. 6 №1, 2.

Урок 6

Линейные и квадратные неравенства

Цели урока: формировать умение решения неравенств с модулем; формировать умение определять равносильность неравенств; рассмотреть неравенства различной сложности.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.

На доске заготовлена незаполненная таблица:

Выбрать из домашнего задания соответствующие знаку сравнения неравенства и записать в таблицу, а учащиеся проверят правильность выполнения задания. На первых партах в это время сразу шесть учащихся решают по рабочим тетрадям на стр. 8 задание №4.

1. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 14-15):

1. Ввести понятие равносильные неравенства.

2. Познакомить с методом интервалов для решения квадратных неравенств.

3. Рассмотреть решение неравенств с модулем по правилам:

и .

Решить задания из №12; №16, 14(а, б), 15(а, б).

Подведение итогов.

Домашнее задание: №13, 14(в, г), 15(в, г); теория в учебнике стр. 11-15; рабочая тетрадь стр. 7 №3.

Урок 7

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по алгебре «Линейные и квадратные уравнения»»

Цели урока: вспомнить понятия линейное и квадратное неравенство; формировать навыки решения линейных и квадратных неравенств; формировать умение определять область допустимых значений выражений.

Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 9-14):

1. Ввести определение линейного неравенства.

2. Ввести определение квадратного неравенства.

3. Ввести правила, применяемые при решении линейных и квадратных неравенств.

На доске заготовлены плакаты с информацией, которую учитель разбирает вместе с учащимися:

1.

1.

2.

2.

Закрепление нового материала.

Решаются задания у доски по карточкам:

Учащиеся из группы Б (сильные) решают по карточкам:

Учащиеся из группы А (слабые) решают у доски по карточкам:

В карточках для учащихся группы А задания №47-58 взяты из задач на повторение стр. 10-12.

Домашнее задание: группа А: №5-7; группа Б: №8-11; теория в учебнике на стр. 9-11; рабочая тетрадь стр. 6 №1, 2.

Урок 6 Линейные и квадратные неравенства

Цели урока: формировать умение решения неравенств с модулем; формировать умение определять равносильность неравенств; рассмотреть неравенства различной сложности.

Проверка домашнего задания.

На доске заготовлена незаполненная таблица:

Выбрать из домашнего задания соответствующие знаку сравнения неравенства и записать в таблицу, а учащиеся проверят правильность выполнения задания. На первых партах в это время сразу шесть учащихся решают по рабочим тетрадям на стр. 8 задание №4.

Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 14-15):

1. Ввести понятие равносильные неравенства.

2. Познакомить с методом интервалов для решения квадратных неравенств.

3. Рассмотреть решение неравенств с модулем по правилам:

и .

Решить задания из №12; №16, 14(а, б), 15(а, б).

Домашнее задание: №13, 14(в, г), 15(в, г); теория в учебнике стр. 11-15; рабочая тетрадь стр. 7 №3.

Урок 7 Рациональные неравенства

Цели урока: ввести понятие рациональных неравенств; рассмотреть решение неравенств методом интервалов.

Проверка домашнего задания.

Проверить правильность выполнения домашней работы можно, проведя математический диктант по вариантам:

Вариант 1 Вариант 2

1. Решите неравенство с модулем:

2. Являются ли равносильными заданные неравенства:

Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 16-18):

1. Ввести определение рационального неравенства.

2. Рассмотреть метод интервалов для рациональных неравенств.

3. Рассмотреть решение примеров 1 и 2 из теории.

4. Алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов:

В каждом множителе коэффициент при старшей степени переменной должен быть положительный, для этого надо вынести минус из всех множителей, в которых коэффициент при старшей степени отрицательный, и если перед выражением все же остался знак минус, то надо все неравенство умножить на (-1).

Получим корни числителя и точки разрыва знаменателя .

На числовой прямой отложим все полученные значения и проведем кривую знаков.

Выпишем ответ для знака сравнения :

Закрепление нового материала.

Учащиеся решают задания методом интервалов из №21-25, №28(а, б) по алгоритму, который был предложен в объяснении нового материала.

Домашнее задание: №26, 28(в, г); теория в учебнике стр. 16-18; рабочая тетрадь стр. 9 №5.

Урок 8 Рациональные неравенства

Цели урока: формировать умение решать рациональные неравенства методом интервалов; развивать умение решать рациональные неравенства различного уровня сложности.

Проверка домашнего задания.

Запишите возможное рациональное неравенство по рисунку

кривой знаков и для определенного знака сравнения запишите ответ:

Решение заданий из № 29(а, б), 30(а, б) для закрепления.

Работа по группам: учащиеся группы А решают задания из №31-33, а учащиеся из группы Б решают задания из №34-37.

Домашнее задание: №27, 29(в, г), 30(в, г); теория в учебнике стр.19-20; рабочая тетрадь стр. 10 №6.

Урок 9 Рациональные неравенства

Цели урока: закрепить умение решать рациональные неравенства методом интервалов; рассмотреть различного уровня сложности рациональные неравенства; проверить умение учащихся решать рациональные неравенства.

Проверка домашнего задания.

Достаточно проверить №27. К доске сразу вызвать четырех учащихся для решения всех заданий номера.

Рассмотреть задания различной сложности, решив при этом у доски №38(а), 39(б), 40(а), совместно с учащимися.

Методом интервалов получим ответ: .

Методом интервалов получим ответ: .

Методом интервалов получим ответ: .

Решить остальные задания из №38-40 по выше показанному образцу.

Провести обучающую самостоятельную работу по вариантам:

Домашнее задание: №43, 45, 48, 49; теория в учебнике стр. 21-28.

Урок 10 Системы рациональных неравенств

Цели урока: повторить решение линейных неравенств; объяснить решение простейших систем линейных неравенств; формировать умение решать системы линейных неравенств любой сложности.

Учащиеся вместе с учителем заполняют таблицу:

Ниже приводится готовая таблица:

1. По образцу таблицы решить неравенства по вариантам:

2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств:

Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 28-33):

1. Дать определение системы неравенств.

2. Ввести понятие частное и общее решение системы неравенств.

3. Рассмотреть в учебнике решение систем неравенств по примеру №3(б, в).

4. Обобщить рассуждения, решив систему: .

Закрепление нового материала.

Решить задания из №57, 56.

Проверить усвоение нового материала, активно помогая в решении заданий по вариантам:

Домашнее задание: № 68, 69; теория в учебнике стр. 28-33; рабочая тетрадь стр. 12 №7.

Урок 11 Системы рациональных неравенств

Цели урока: повторить решение квадратных неравенств; ввести алгоритм решения систем квадратных неравенств; формировать умение использовать формулы сокращенного умножения для преобразования выражений и при решении квадратных уравнений использовать теорему Виета.

Проверка домашнего задания.

У доски решают два ученика №68(г), №69(в); на первых партах учащиеся решают системы примера 3. из теории, а остальных опрашивает учитель по вопросам:

1. Что можно считать областью определения функции ?

2. Что называется системой неравенств?

3. Что считают решением системы неравенств?

4. Что значит решить систему неравенств?

5. Могут ли решением системы неравенств быть: .

Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала (стр. 33-36):

1. Рассмотреть решение квадратных неравенств.

2. Рассмотреть системы рациональных неравенств.

3. Рассмотреть системы, которые не имеют решения.

Закрепление нового материала.

Решить рациональные системы в заданиях №58, 60, 61 у доски с полным объяснением. Можно провести обучающую проверочную работу по вариантам или решить у доски задания из №59, 62, 63.

Обучающая проверочная работа по вариантам:

Домашнее задание: №76, 77, 78; теория в учебнике стр. 33-36; рабочая тетрадь стр. 13 №8.

Урок 12 Системы рациональных неравенств

Цели урока: закрепить умение решать системы квадратных неравенств; объяснить решение двойных неравенств; ввести понятие дробно-рациональных неравенств.

Проверка домашнего задания.

Проверка домашнего задания проводится в течение всего урока: освобождаются первые парты и учащиеся приглашаются на эти парты в течение всего урока для решения заданий из домашней работы на карточках, решив задания, учащийся пересаживается на свое место, а учитель вызывает другого и меняет карточку и так далее. Время решения ограничено.

Объяснение нового материала.

Рассмотреть решение двойного неравенства .

Закрепление нового материала.

Решить двойные неравенства из № 64, 65. С подробным комментарием решить системы неравенств из № 73, 74.

Домашнее задание: № 66, 67, 70; теория в учебнике стр. 28-36.

Урок 13 Системы рациональных неравенств

Цели урока: повторить решение неравенств с модулем; объяснить решение системы неравенств с модулем; развивать умение решать системы рациональных неравенств различной сложности.

Проверка домашнего задания.

1. Устное решение заданий по вариантам, записываются только само неравенство и ответы.

2. Описать основные результаты по рабочей тетради на стр. 14.

Рассмотрим решение системы неравенств с модулем:

Решить по образцу задания а, б из №82-84.

Домашнее задание: №82-84(в, г); на дополнительную оценку:

Урок 14 Тестирование №1

Цели урока: закрепить и проверить навыки решения неравенства и системы неравенств различного уровня сложности; выявить; выявить проблемы в знаниях по теме неравенства и системы неравенств.

Решение тестовых заданий.

1. Решите неравенство .

2. Найдите сумму всех целых решений системы неравенств

. 1) 9 2) 5 3) 20 4) 21 5) 19

3. Решите двойное неравенство .

4. Решите неравенство .

5. Найдите разность между целыми наибольшим и наименьшим решениями неравенства .

1) 6 2) 4 3) 5 4) 2 5) 3

6. Решите неравенство .

7. Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства

. 1) -30 2) -35 3) -36 4) -42 5) -48

8. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

1) 3 2) 4 3) 1 4) -2 5) 2

9. Найдите сумму всех целых решений системы неравенств

. 1) 3 2) 4 3) -2 4) -1 5) 5

10. Сколько простых чисел являются решениями неравенства ? 1) 1 2) 13 3) 7 4) 3 5) 5

1. Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства

. 1) -6 2) -7 3) -5 4) -4 5) -8

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы

. 1) 8 2) 11 3) 12 4) 9 5) 10

3. Решите двойное неравенство .

4. Решите неравенство .

5. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства .

1) 1 2) -1 3) -2 4) 2 5) 7

6. Сколько натуральных решений имеет неравенство

? 1) 7 2) 8 3) 9 4) 5 5) 6

Найдите сумму целых положительных решение неравенства

. 1) 15 2) 10 3) 6 4) 8 5) 13

8. Решите неравенство .

9. Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений системы неравенств

. 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 5) 7

10. Сколько простых чисел являются решениями неравенства

? 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) бесконечно много

Домашнее задание: решить первый вариант домашней контрольной работы №1.

Урок 15 Контрольная работа №1

Цели урока: проверить знания и умение учащихся по теме неравенства и системы неравенств.

Вариант 1 Вариант 2

1. Решите неравенство:

2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства

3. Найдите область определения выражения

4. Решите задачу.

От дачного поселка до станции 10 км. Дачник идет сначала со скоростью 4км/ч, а затем увеличивает скорость на 2 км/ч. Какое расстояние он может идти со скоростью 4км/ч, чтобы не опоздать на поезд, который отправляется через 2ч после выхода дачника из поселка?

Мастер и его ученик получили заказ на изготовление 140 деталей. Мастер делает за 1 мин 3 детали, а ученик – две детали. К выполнению заказа приступает сначала ученик, а затем его сменяет мастер. Сколько деталей может изготовить ученик, чтобы на выполнение заказа было затрачено не более 1 часа?

Домашнее задание: решить второй вариант домашней контрольной работы №1.

Урок 16 Итоговый урок темы «неравенства и системы неравенств».

Цели урока: провести анализ контрольной работы; рассмотреть задания, которые вызвали сложность при их решении; систематизировать знания и умения по теме неравенства и системы неравенств.

Анализ контрольной работы.

Учитель отмечает тех, кто выполнил задания контрольной работы хорошо и дает им задания по карточкам повышенной сложности:

1. Найдите произведение целых значений , если и . 1) 120 2) 60 3) 90 4) 180 5) 210

2. Найдите значение выражения 3,8 +7,7+1,7 +2,5 +11,2+4,6 , если + +3=10.

1) 53 2) 58 3) 72 4) 63 5) 70

1. Сколько простых чисел не является решением неравенства ? 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 5) бесконечно много

2. Чему равна сумма коэффициентов многочлена, полученного в результате записи выражения в виде стандартного многочлена? 1) 10 2) 4 3) 2 4) 3 5) 1

1.Найдите все значения , при которых одновременно истины неравенства и .

1) (0;1) 2) 3) ( ;1) 4) 5)

2. Если выражение записать в виде многочлена стандартного вида, тогда чему равна сумма коэффициентов при нечетных степенях 1) 1 2) 7 3) 4 4) 5 5) 3

1. Известно, что множеством решений неравенства является отрезок . Найдите

1) 10 2) 11 3) 13 4) 12 5) 8

2. . Найдите сумму коэффициентов при членах с четными степенями многочлена .

1) -6 2) -2 3) 3 4) -3 5) -1

1. Известно, что . Сколько целых значений может принимать ? 1) 5 2) 6 3) 7 4) 8 5) 9

2. Сколько рациональных сомножителей получится после разложения на множители?

1) 4 2) 5 3) 6 4) 8 5) 7

1. Найдите промежуток, в котором равносильны неравенства и .

2. На какое наибольшее число множителей можно разложить выражение 1) 8 2) 7 3) 4 4) 9 5) 6

1. Если , то, какие значения принимает ?

2. Сколько получится множителей в разложении

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
• установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
• способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

Глоссарий по теме:

Параметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.

На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле

Если D 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то

Рассмотрите пример. Решить уравнение

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c.

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Рассмотрим несколько примеров:

Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.

Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.

Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).

Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.

Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:

Решение смотри в примере 1.

Часть 2. Квадратные неравенства.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax^2+ bx + c больше или меньше нуля.

Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.

Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а>0 + — +, если а 0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство не имеет решений.

Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств.

1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Первый шаг в решении — найти особое значение параметра.

Второй шаг – определить допустимые значения.

Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.

Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.

Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.

Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.

Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.

Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.

Задания тренировочного модуля с разбором.

При каких значениях параметра, а квадратное уравнение

имеет только один корень?

Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.

Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?

Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.