Линейные и квадратные уравнения огэ

Линейные и квадратные уравнения огэ

Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Урок подготовки к ОГЭ по математике 9 класс
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Материал представляет собой презентацию к уроку подготовки к ОГЭ по математике по теме «Уравнения».Рассмотрены решения линейных, квадратных и рациональных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ подготовка к ОГЭ 9 класс п одготовила учитель математики ГБОУ школа № 14 Невского района Санкт-Петербурга Путрова Марина Николаевна

Закончите предложения : 1). Уравнение – это … 2). Корень уравнения – это… 3). Решить уравнение – это значит …

I .Решите устно уравнения : 1) . 6х + 18=0 2). 2х + 5=0 3). 5х – 3=0 4). -3х + 9=0 5). -5х + 1=0 6). -2х – 10=0 7). 6х – 7=5х 8). 9х + 6=10х 9). 5х — 12=8х

Какое из приведенных ниже уравнений не имеет решений : а). 2х – 14 = х + 7 б). 2х — 14 = 2( х – 7) в). х – 7 = 2х + 14 г). 2х- 14 = 2х + 7 ?

Какое из уравнений имеет бесконечно много решений : а). 4х – 12 = х – 12 б). 4х – 12 = 4х + 12 в). 4( х – 3) = 4х – 12 г). 4( х – 3) = х – 10 ?

К какому типу относятся приведенные выше уравнения ?

УРАВНЕНИЯ ВИДА kx + b = 0 НАЗЫВАЮТСЯ ЛИНЕЙНЫМИ . Алгоритм решения линейных уравнений : 1). перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую часть (знак переносимого члена меняется на противоположный) ; 2). привести подобные члены ; 3).разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Решите в тетрадях уравнения : I группа : № 681 стр.63 6(4-х)+3х=3 II группа : № 697 стр.63 х-1 +(х+2) = -4(-5-х)-5 III группа : № 767 стр. 67 ( х + 6) 2 + ( х + 3) 2 = 2 х 2

Какие уравнения называются квадратными ? Какие квадратные уравнения являются полными, а какие неполными ?

Уравнение вида a х 2 + b х + c = 0 , где a≠0 , b , c – любые действительные числа, называется квадратным. Неполные уравнения : a х 2 + b х = 0 ( c=0), a х 2 + c = 0 ( b=0) .

II. Решите устно квадратные уравнения, указывая, полными или неполными они являются : 1). 5х 2 + 15х= 0 2). -х 2 +2х = 0 3). х 2 -25= 0 4). -х 2 +9 = 0 5). -х 2 — 16 = 0 6). х 2 — 8х + 15= 0 7 ) . х 2 + 5х + 6= 0 8). х 2 + х — 12 = 0 9).( -х-5)( — х+ 6)=0

ВОПРОСЫ : 1) . Какое свойство уравнений было использовано при решении неполных квадратных уравнений ? 2). Какие способы разложения многочлена на множители были использованы при решении неполных квадратных уравнений ? 3). Каков алгоритм решения полных квадратных уравнений ?

1) . Произведение двух множителей равно нулю, если один из них равен нулю, в второй не теряет при этом своего смысла : ab = 0 , если a = 0 или b = 0 . 2). Вынесение общего множителя и a 2 — b 2 = (a – b)(a + b) — формула разности квадратов. 3). Полное квадратное уравнение ах 2 + b х + c = o . D=b 2 – 4ac , если D>0 , 2 корня ; D = 0 , 1 корень ; D Мне нравится