Линейные и нелинейные уравнения физики (стр. 2 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Итого часов по теме
из них в интерактивной форме
Итого кол-во баллов
Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных
Классификация УЧП. Приведение УЧП второго порядка к каноническому виду
Решение задач для УЧП первого порядка.
Уравнения гиперболического типа.
Уравнения параболического типа
Уравнения эллиптического типа.
Применение специальных функций для решения краевых задач УЧП
Методы интегральных преобразований
Понятие о нелинейных уравнениях математической физики.
Всего за семестр
Из них в интерактивной форме часов
*Самостоятельная работа (включая иные виды контактной работы).
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
Итого количество баллов
Ответ на семинаре
Всего за семестр
5. Содержание дисциплины.
Тема 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.
Общая характеристика метода математических моделей решения физических задач. Практическое применение методов математической физики для описания закономерностей различных физических явлений.
Тема 2. Классификация УЧП. Приведение УЧП второго порядка к каноническому виду.
Классификация уравнений в частных производных. Канонический вид линейных уравнений в частных производных второго порядка. Приведение к каноническому виду линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
Тема 3 . Решение задач для УЧП первого порядка.
Физические задачи, приводящие к УЧП первого порядка. Метод характеристик.
Тема 4. Уравнения гиперболического типа.
Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач. Корректные и некорректные задачи математической физики. Уравнение колебаний на бесконечной прямой. Метод распространяющихся волн. Уравнение колебаний в ограниченной области. Теорема единственности. Метод разделения переменных. Решение неоднородных задач методом разложения по собственным функциям.
Тема 5. Уравнения параболического типа.
Задачи о распространении тепла и диффузии газов. Постановка краевых задач. Уравнение теплопроводности в ограниченной области. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность и устойчивость решения. Метод разделения переменных. Функция источника. Уравнение теплопроводности на бесконечной и полубесконечной прямой. Функция источника задачи Коши. Принцип Дюамеля. Понятие обобщенного решения для уравнения в частных производных.
Тема 6. Уравнения эллиптического типа.
Формулы Грина. Общие свойства гармонических функций. Внутренние краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность и устойчивость решения. Функция Грина и ее свойства. Метод электростатических изображений. Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа. Объемный потенциал. Поверхностные потенциалы. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Задача Штурма—Лиувилля для оператора Лапласа. Уравнение ΔU+сU= — f в ограниченной области. Уравнение ΔU+сU=-f в неограниченной области.
Тема 7.Специальные функции
Общая схема метода разделения переменных. Уравнение специальных функций и свойства его решений. Уравнение Бесселя. Различные типы цилиндрических функций. Асимптотические формулы. Функции Бесселя чисто мнимого аргумента. Полиномы Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Шаровые и сферические функции. Классические ортогональные полиномы. Полиномы Чебышева—Лягерра и Чебышева—Эрмита. Применение специальных функций к решению краевых задач для уравнений математической. физики.
Тема 8. Методы интегральных преобразований.
Методы конечных интегральных преобразований. Преобразование Фурье и Лапласа применительно к решению краевых задач для УЧП.
Тема 9. Понятие о нелинейных уравнениях математической физики.
Физические задачи, приводящие к нелинейным уравнениям в частных производных первого порядка. Разрывные решения. Ударные волны. Нелинейные уравнения высшего порядка. Автомодельные решения нелинейных уравнений высшего порядка. Солитоны.
Семинарские занятия на 60% проводятся в интерактивной форме (учебные дискуссии, Case-study и т. п.) Основная цель — освоение учебной программы методом решения задач. Часть задач решается непосредственно в течение аудиторных занятий, часть дается на самостоятельное решение с последующей проверкой правильности решения.
Тема 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.
Занятие 1. Постановка краевых задач при описании процессов поперечных колебаний тонкой струны и распространения тепла в тонком стержне
Тема 2. Классификация УЧП. Приведение УЧП второго порядка к каноническому виду.
Занятие 2.. Классификация и приведение к каноническому виду линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
Тема 3. Решение задач для УЧП первого порядка.
Занятие 3. Метод характеристик решения задач для УЧП первого порядка
Тема 4. Уравнения гиперболического типа.
Занятие 4. Метод распространяющихся волн решения одномерных задач для волнового уравнения
Занятие 5. Метод разделения переменных для одномерных краевых задач для волнового уравнения.
Занятие 6. Решение неоднородных краевых задач для волнового уравнения методом разложения по собственным функциям.
Тема 5. Уравнения параболического типа.
Занятие 7. Уравнение теплопроводности в ограниченной области. Метод разделения переменных.
Занятие 8. Уравнение теплопроводности на бесконечной и полубесконечной прямой. Функция источника задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Занятие 9. Краевые задачи для уравнения теплопроводности на плоскости и в пространстве. Метод разделения переменных для многомерных краевых задач (не требующих применения специальных функций)