Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа

Устойчивость эволюционного линейного уравнения соболевского типа Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Москвичева П.О.

Уравнения соболевского типа являются частью обширной области неклассических уравнений математической физики. Они возникают при моделировании различных процессов в естественных и технических науках. Исследуется устойчивость стационарного решения эволюционного уравнения, возникшего в теории фильтрации и заданного в ограниченной области. Для данного уравнения рассматривается начально-краевая задача. Получены условия, при которых нулевое решение уравнения устойчиво .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Москвичева П.О.

STABILITY OF THE EVOLUTIONARY LINEAR SOBOLEV TYPE EQUATION

Sobolev type equations are a part of extensive area of non-classical equations of mathematical physics. These are equations that are not solved respective to the highest derivative with respect to time. Research of different problems for equations of the given type nowadays are very relevant, as such equations appear during modeling of different processes in natural and engineering sciences. In this article, stability of stationary solution of an evolutionary equation, which appeared in the filter theory and which describes development of form of the filterable liquid’s free surface, is researched. For this equation, an initial boundary-value problem in limited area is considered. The article consists of an introduction, a list of references and two parts. In the first part, general concepts and theory assertions concerning p-sectorial operators are given. After that, reduction of the considered problem to the Cauchy problem for a Sobolev type abstract linear equation, by the means of selecting the corresponding Banach spaces and linear operators, is carried out. Then the phase space of our problem is described. In the second part, general concepts of the stability theory such as flow, stationary point of the flow, and Lyapunov functional , are given. Theorems of stability and asymptotical stability of a stationary point of the flow are given. In this article, the method of Lyapunov functional , modified for the case of complete normalized spaces, is used. It should be noted, that modification of the method lies in transition from incomplete normalized spaces to complete normalized spaces. As a result, the uniformity of stability and asymptotic stability is lost, but the class of problems being solved gets considerably expanded. The main result of the article are conditions formulated as a theorem of stability and asymptotic stability of zero solution of the considered problem.

Текст научной работы на тему «Устойчивость эволюционного линейного уравнения соболевского типа»

УСТОЙЧИВОСТЬ ЭВОЛЮЦИОННОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация E-mail: pelageia@bk.ru

Уравнения соболевского типа являются частью обширной области неклассических уравнений математической физики. Они возникают при моделировании различных процессов в естественных и технических науках.

Исследуется устойчивость стационарного решения эволюционного уравнения, возникшего в теории фильтрации и заданного в ограниченной области. Для данного уравнения рассматривается начально-краевая задача. Получены условия, при которых нулевое решение уравнения устойчиво.

Ключевые слова: уравнение соболевского типа; относительно р-секто-риальные операторы; устойчивость; функционал Ляпунова.

(Ä-A)ut = aAu -ßA2u + уи + f (1)

описывает эволюцию формы свободной поверхности фильтрующейся жидкости (см. [1]). Здесь функция и = и( x, t) имеет физический смысл потенциала скорости движения свободной поверхности. Вещественные параметры a,ß,y и Я характеризуют свойства среды, причем a,ß,y> 0 , а Я может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Пусть Qc Rn — ограниченная область с границей dQ класса C

. Для уравнения (1) на боковой границе dQ X R цилиндра Q X R зададим краевые условия

и (x, t) = Au( x, t) = 0,( x, t) edQxR, (2)

а также начальное условие

и(x,0) = u0(x) = 0,xe Q. (3)

Нас интересует устойчивость нулевого решения однородного уравнения (1) (т. е. такого, у которого f = 0 ). Устойчивость мы будем понимать в смысле Ляпунова.

Отметим, что ранее уравнение (1) изучалось в различных аспектах. Например, в работе [2] исследовалась разрешимость начально-конечной задачи для уравнения (1). Устойчивость уравнения (1), заданного на конечном связном ориентированном графе, в терминах экспоненциальной дихотомии рассматривалась в [3].

Статья, кроме введения и списка литературы, состоит из двух частей. В первой проводится редукция задачи (1)-(3) к задаче Коши

для абстрактного линейного уравнения соболевского типа

Затем применяются методы теории относительно р-секториальных операторов. Во второй части проводится исследование устойчивости нулевого решения задачи (1)-(3) методом функционала Ляпунова, адаптированного для случая нормированных пространств. Подробно этот метод описан в работе [4], в которой отмечается тот факт, что при переходе от полных метрических пространств к нормированным пространствам (без требования их полноты), с одной стороны, теряется равномерность в устойчивости и асимптотической устойчивости, а с другой — значительно расширяется диапазон решаемых задач.

Пусть U и F — банаховы пространства; оператор L : U ^ F является линейным и непрерывным, а оператор М : U ^ F является линейным, замкнутым и плотно определенным. Рас-

смотрим L-резольвентное множество pL (M) = [ße C : (ßL -M)-1 : F ^ U линеен и непрерывен> и L -спектр (V — и\\),

где р — строго возрастающая непрерывная функция, такая, что р(0) = 0 и р(г) > 0, тогда точка и устойчива.

Теорема 4. Пусть выполнены условия Теоремы 3 и существует строго возрастающая непрерывная функция у, такая, что у(0) = 0 и у(г) > 0 при г е Я+, причем V(V) с || и ||2 . После скалярного умножения в Ь2 уравнения (1) на и и применения интегрирования по частям с учетом условий (2) мы получим, что

— | (и2 + Ли 2)ёх = -а| и2 ёх и2ххёх -у^ и 2 ёх

1. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи Коши для линейных сингулярных уравнений эволюционного типа / Г.А. Свиридюк, М.В. Суханова // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28, № 3.- С. 508-515.

2. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2008. — № 15 (115). — Вып. 1. — С. 23-26.

3. Свиридюк, Г.А. Эволюционные линейные уравнения соболевского типа на графе / Г.А. Свиридюк, П.О. Пивоварова // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, № 8. -С.1147-1152.

4. Загребина, С.А. Устойчивость линейных уравнений Хоффа на графе / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2010. — № 16 (192), вып. 5. — С. 11-16.

5. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003. — 216 p.

Поступила в редакцию 6 июля 2017 г.

Bulletin of the South Ural State University Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2017, vol. 9, no. 3, pp. 13-17

Устойчивость эволюционного линейного уравнения

Bulletin of the South Ural State University Series «Mathematics. Mechanics. Physics» _2017, vol. 9, no. 3, pp. 13-17

DOI: 10.14529/mmph170302 STABILITY OF THE EVOLUTIONARY LINEAR SOBOLEV TYPE EQUATION

South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: pelageia@bk.ru

Sobolev type equations are a part of extensive area of non-classical equations of mathematical physics. These are equations that are not solved respective to the highest derivative with respect to time. Research of different problems for equations of the given type nowadays are very relevant, as such equations appear during modeling of different processes in natural and engineering sciences. In this article, stability of stationary solution of an evolutionary equation, which appeared in the filter theory and which describes development of form of the filterable liquid’s free surface, is researched.

For this equation, an initial boundary-value problem in limited area is considered. The article consists of an introduction, a list of references and two parts. In the first part, general concepts and theory assertions concerning /»-sectorial operators are given. After that, reduction of the considered problem to the Cauchy problem for a Sobolev type abstract linear equation, by the means of selecting the corresponding Banach spaces and linear operators, is carried out. Then the phase space of our problem is described.

In the second part, general concepts of the stability theory such as flow, stationary point of the flow, and Lyapunov functional, are given. Theorems of stability and asymptotical stability of a stationary point of the flow are given. In this article, the method of Lyapunov functional, modified for the case of complete normalized spaces, is used. It should be noted, that modification of the method lies in transition from incomplete normalized spaces to complete normalized spaces. As a result, the uniformity of stability and asymptotic stability is lost, but the class of problems being solved gets considerably expanded. The main result of the article are conditions formulated as a theorem of stability and asymptotic stability of zero solution of the considered problem.

Keywords: Sobolev type equation; relatively p-sectorial operators; stability; Lyapunov functional.

Неклассические уравнения математической физики. Фазовые пространства полулинейных уравнений соболевского типа

Автор: Манакова Н.А., Свиридюк Г.А.

Бесплатный доступ

Статья имеет обзорный характер и содержит результаты с описанием морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. В первых трех параграфах приведены конкретные краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных соболевского типа, у которых фазовые пространства — простые гладкие банаховы многообразия. В последнем параграфе собраны те математические модели, чьи фазовые пространства лежат на гладких банаховых многообразиях с особенностями. Цель данной статьи — формирование фундамента будущих исследований морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Кроме того, в статье дается объяснение феномена несуществования решения задачи Коши и феномена неединственности решения задачи Шоуолтера-Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа.

Уравнения соболевского типа , фазовое пространство , морфология фазового пространства , банаховы многообразия , квазистационарные траектории , задача шоуолтера-сидорова , задача коши , k-сборка уитни

Уравнения соболевского типа

Уравнения соболевского типа: Сборник науч. работ под ред. В.Е.Федорова 227 с.

Учебник состоит из одного файла формата PDF. Скачать.

В сборник включены работы, посвященные вопросам разрешимости линейных и нелинейных уравнений соболевского типа, некоторым вопросам качественной теории таких уравнений и смежным вопросам. Для специалистов в области дифференциальных уравнений, функционального анализа, аспирантов и студентов.

Замышляева А. А. Задача Коши для линейного уравнения со болевского типа второго порядка. 16

Иванова М.В., Ушаков В.И. Поведение решений краевой задачи для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области. 30

Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных

чисел дискретных несамосопряженных операторов. 42

Пятков С.Г. О разрешимости задачи Коши и некоторых свой­ствах решений для линейных уравнений первого порядка . 60

Сидоров Н.А., Абдуллин В.Р. Сплетающие уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений. 83

Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Квазистационарные полутра­ектории одного класса полулинейных уравнений соболев-ского типа. 116

Федоров В.Е. Единицы вырожденных аналитических полу­групп операторов и относительная р-секториальность . . . 138

Чистяков В.Ф. О понятии индекса алгебро-дифференциальных

Якупов М.М. Фазовое пространство задачи термоконвекции

для уравнения Осколкова. 178

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ 191

Брычев С.В. О решениях системы Леонтьева. 191

Загребина С.А. О задаче Веригина для уравнений соболев-

Мещерякова Ю.И. Формальная классификация вырожден­ных элементарных особых точек. 197

Плеханова М.В. Задача оптимального управления с относи­тельно р-радиальным оператором . 206

Рузакова О. А. Об одномерной управляемости линейных урав­нений Соболевского типа. 215

Сагадеева М.А. Существование ограниченных на прямой ре­шений одного класса уравнений Соболевского типа. 219