Линейные квадратные биквадратные и дробно рациональные уравнения

Линейные, квадратные, кубические уравнения

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

• $a$ — старший коэффициент;
• $b$ — средний коэффициент;
• $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Вынесем х как общий множитель за скобки:

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0 х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

При решении последнего уравнения возможны два случая:

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

Извлечем кубический корень из обеих частей

Соберем известные слагаемые в правой части

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x · x + 1 · x — <3·x>/ = 0$

3. решаем полученное уравнение

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Урок по алгебре на тему » Уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Линейные, квадратные, биквадратные
и дробно-рациональные уравнения

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения уравнений с одной переменной перечисленных видов.

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Упростите выражение: 2 у ( у + 5) – 3 у ( у – 3).

2. Разложите на множители: 6 тп – 3 т 2 п + 3 тп 2 .

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: (10 3 ) 2 · 10 –8 .

5. Упростите выражение: .

В а р и а н т 2

1. Упростите выражение: ( а – 3) ( а + 3) –2 а (4 – а ).

2. Разложите на множители: 4 ас 2 – 8 ас + 4 а 2 с .

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: (2 13 · 2 –11 ) –1 .

5. Упростите выражение: .

В а р и а н т 1

1. 2 у ( у + 5) – 3 у ( у – 3) = 2 у 2 + 10 у – 3 у 2 + 9 у = – у 2 + 19 у .

О т в е т: – у 2 + 19 у .

О т в е т: 3 тп ( п – т + 2).

3.

.

О т в е т: .

4. (10 3 ) 2 · 10 –8 = 10 6 · 10 –8 = 10 6 – 8 = 10 –2 = = 0,01.

5. .

О т в е т: .

В а р и а н т 2

1. ( а – 3) ( а + 3) –2 а (4 – а ) = а 2 – 9 – 8 а + 2 а 2 = 3 а 2 – 8 а – 9.

О т в е т: 3 а 2 – 8 а – 9.

О т в е т: 4 ас ( а + с – 2).

3.

.

О т в е т: .

4. (2 13 · 2 –11 ) –1 = (2 2 ) –1 = = = 0,25.

5. .

О т в е т: .

III. Повторение учебного материала.

А к т у а л и з а ц и я з н а н и й (определение и методы решения уравнений) по опорному конспекту или таблице (заранее заготовить).

1) а ≠ 0, х = ;

2) а = 0, b ≠ 0, корней нет;

х = 0 или х = –

2) b = 0, ах 2 + с = 0; х 2 = –;

– ≥ 0, x_{1, 2} = ; – 2 – 4ac;

D > 0, x_{1, 2} = ;

D = 0, x = –;

D ₁ > 0, x _{1, 2} = ;

D₁ = 0, x = –;

Метод введения новой переменной.

Пусть х 2 = t, t ≥ 0, тогда решаем

аt 2 + bt + c = 0 относительно переменной t, а затем из уравнения х 2 = t находим значение х

Обе части уравнения являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробное

А л г о р и т м р е ш е н и я:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих
в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаме-
натель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают
в нуль общий знаменатель дробей

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом занятии, можно разбить на
г р у п п ы:

– решение уравнений, сводящихся к линейным;

– решение квадратных уравнений;

– решение биквадратных уравнений;

– решение дробно-рациональных уравнений;

– решение уравнений комбинированными методами.

а) 3 х ( х – 1) – 17 = х (1 + 3 х ) + 1;

3 х 2 – 3 х – 17 = х + 3 х 2 + 1;

г) ; · 6

0 = –11 – неверное, значит, нет корней.

О т в е т: а) –4; г) нет корней.

б) 6 у 2 – 0,24 = 0;

у 2 = ;

у 2 = 0,04; у = ± ; у = ±0,2.

г) ; · 3;

10 и 2 + 9 и – 9 = 0;

D = 9 2 – 4 · 10 · (–9) = 81 + 360 = 441;

и ₁ = = 0,6;

и ₂ = = –1,5.

О т в е т: б) ±0,2; г) 0,6; –1,5.

4 х 4 – 17 х 2 + 4 = 0.

Пусть х 2 = t , t ≥ 0, тогда 4 t 2 – 17 t + 4 = 0.

D = (–17) 2 – 4 · 4 · 4 = 289 – 64 = 225;

t ₁ = = 4;

t ₂ = ;

х 2 = ;

х _{3, 4} = ± .

О т в е т: ±2; ± .

;

;

;

х ≠ 4, х ≠ –4; 70 – 17 х – 68 – 3 х 2 + 12 х = 0;

3 х 2 + 5 х – 2 = 0;

D = 5 2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49;

х ₁ = ;

х ₂ = = –2.

О т в е т: ; –2.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется уравнением? Что означает «решить уравнение»?

– Какие виды уравнений с одной переменной вы знаете?

– Назовите основные методы решения квадратных уравнений.

– Сформулируйте алгоритм решения дробно-рационального уравнения.

Домашнее задание: № 925 (б, в), № 935 (а, в, е), № 940 (д, ж), № 951 (в).

Краткое описание документа:

Линейные, квадратные, биквадратные

и дробно-рациональные уравненияЛинейные, квадратные, биквадратные

и дробно-рациональные уравнения

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения уравнений с одной переменной перечисленных видов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т1

1. Упростите выражение: 2у (у + 5) – 3у (у – 3).

2. Разложите на множители: 6тп – 3т 2 п + 3тп 2 .

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: (10 3 ) 2 10 –8 .

5. Упростите выражение: .

В а р и а н т2

1. Упростите выражение: (а – 3) (а + 3) –2а (4 – а).

2. Разложите на множители: 4ас 2 – 8ас + 4а 2 с.

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: (2 13 2 –11 ) –1 .

5. Упростите выражение: .

В а р и а н т1

О т в е т: –у 2 + 19у.

4. (10 3 ) 2 10 –8 = 10 6 10 –8 = 10 6 – 8 = 10 –2 = = 0,01.

В а р и а н т2

О т в е т: 3а 2 – 8а – 9.

4. (2 13 2 –11 ) –1 = (2 2 ) –1 = = = 0,25.

III. Повторение учебного материала.

А к т у а л и з а ц и яз н а н и й(определение и методы решения уравнений) по опорному конспекту или таблице (заранее заготовить).

2) а = 0, b ≠ 0, корней нет;

Метод введения новой переменной.

Пусть х 2 = t, t ≥ 0, тогда решаем

аt 2 + bt + c = 0 относительно переменной t, а затем из уравнения х 2 = t находим значение х

Обе части уравнения являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробное

А л г о р и т мр е ш е н и я:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих
в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаме-
натель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают
в нуль общий знаменатель дробей

IV. Формирование умений и навыков.

Всеупражнения,решаемыенаэтомзанятии,можноразбитьна
г р у п п ы:

– решение уравнений, сводящихся к линейным;

– решение квадратных уравнений;

– решение биквадратных уравнений;

– решение дробно-рациональных уравнений;

– решение уравнений комбинированными методами.

№ 925 (а, г).

0 = –11 – неверное, значит, нет корней.

О т в е т: а) –4; г) нет корней.

№ 931 (б, г).

D = 9 2 – 4 10 (–9) = 81 + 360 = 441;

О т в е т: б) ±0,2; г) 0,6; –1,5.

№ 951 (а).

4х 4 – 17х 2 + 4 = 0.

Пусть х 2 = t, t ≥ 0, тогда 4t 2 – 17t + 4 = 0.

D = (–17) 2 – 4 4 4 = 289 – 64 = 225;

№ 940 (б).

D = 5 2 – 4 3 (–2) = 25 + 24 = 49;

V. Итоги урока.

В о п р о с ыу ч а щ и м с я:

– Что называется уравнением? Что означает «решить уравнение»?

– Какие виды уравнений с одной переменной вы знаете?

– Назовите основные методы решения квадратных уравнений.

Домашнее задание:№ 925 (б, в),№ 935 (а, в, е),№ 940 (д, ж),№ 951 (в).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 356 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

12. Целое уравнение и его корни

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 09.04.2018
• 452
• 9

• 03.04.2018
• 1791
• 29

• 31.03.2018
• 2158
• 34

• 29.03.2018
• 3083
• 12

• 29.03.2018
• 991
• 4

• 19.03.2018
• 365
• 0

• 12.03.2018
• 1374
• 4

• 19.02.2018
• 525
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.04.2018 387
• DOCX 58 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Звягина Любовь Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 89104
• Всего материалов: 31

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.