Линейные квадратные уравнения 9 класс

Линейные, квадратные и простейшие кубические уравнения. Примеры

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\] Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\) .

Замечание

Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\) , при которых определены (то есть не теряют смысла) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) .

Пример

Уравнение \(\dfrac <10>=5\) определено при всех значениях переменной \(x\) , кроме \(x=1\) , потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения \(x\in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\) .

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\) , при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\) , потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac<10><3-1>=5\) или, что то же самое, \(5=5\) , что является верным равенством.

Замечание

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель \(1\ne 0\) .

2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения \(x=3\) и \(3x=6+x\) эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение \(x=3\) .

Эквивалентность уравнений обозначается так: \(x=3 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=6+x\) .

Свойства уравнений

1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+4=2x^2\) можно переписать в виде \(x+4-2x^2=0\) .

2. В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(0,5x=-2\) равносильно уравнению \(x=-4\) , которое получено из исходного путем умножения обеих частей на \(2\) .

3. В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+2=5x^2\) после прибавления к обеим частям \(-2\) примет вид \(x=5x^2-2\) .

\[<\Large<\text<Линейные уравнения>>>\] Линейное уравнение – это уравнение вида \[ax + b = 0\qquad \qquad (2)\] где \(a\ne 0,b\) – числа, или уравнение, к нему сводящееся.

ОДЗ линейного уравнения \((2)\) — все \(x \in\mathbb\) .

Линейное уравнение \(ax+b=0\) преобразуется в \(ax=-b\) и всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\) .
Например, \(2x-4=0\) имеет корень \(x=2\) . Замечание: при переносе слагаемых из одной части равенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. Например, выражение \(x-5=8\) преобразуется в выражение \(x=8+5\) .
Знак, стоящий перед слагаемым – это и есть его знак, то есть в выражении \(x-5\) два слагаемых: \(x\) и \(-5\) . Если перед слагаемым не стоит никакого знака, то подразумевается, что перед ним стоит знак “ \(+\) ”.

\[<\Large<\text<Квадратные уравнения>>>\] Квадратное уравнение – это уравнение вида \[ax^2+bx+c=0 \qquad \qquad (3)\] где \(a, b, c\) – числа, причем \(a\ne 0\) , или уравнение, к нему сводящееся.

Число \(a\) называется старшим (первым) коэффициентом, число \(b\) – вторым коэффициентом, число \(c\) – свободным членом.

Замечание

1) Заметим, что если \(a=0\) , то уравнение \((3)\) становится линейным; именно поэтому в определении \(a\ne 0\) .

2) Выражение \(ax^2+bx+c\) называется квадратичным (квадратным) трехчленом.

ВАЖНО! Обращаем ваше внимание на то, что, например, в квадратном трехчлене \(7-x^2+2x\) коэффициент \(a=-1\) , \(b=2\) и \(c=7\) ! Так как \(7-x^2+2x=-x^2+2x+7\) , а по определению \(a\) – коэффициент перед \(x^2\) , \(b\) – коэффициент перед \(x\) , \(c\) – свободный член.

Определение

Дискриминантом квадратного уравнения \((3)\) называется выражение \(D=b^2-4ac\) .

Корни квадратного уравнения

1) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля ( \(D>0\) ), то оно имеет два различных корня \[x_1=\dfrac<-b-\sqrt D> <2a>\qquad \text <и>\qquad x_2=\dfrac<-b+\sqrt D><2a>\]

2) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю ( \(D=0\) ), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) \[x=-\dfrac b<2a>\]

3) Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля ( \(D ), то оно не имеет корней.

Пример:
Решите уравнение \[3x^2 — 33x + 90 = 0.\]

Решение.
Найдём дискриминант данного уравнения: \[D = 33^2 — 4\cdot 3\cdot 90 = 9\] Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных \[x_1=\dfrac<33 + 3> <6>= 6 \qquad \text <и>\qquad x_2=\dfrac<33 - 3> <6>= 5\]

Теорема Виета

Пусть квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) , \(a\neq 0\) , имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\) . Тогда их сумма равна \[x_1+x_2=-\dfrac\] а их произведение равно \[x_1\cdot x_2=\dfrac\]

Доказательство

Определение

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент \(a=1\) .
Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным: для этого необходимо разделить уравнение на \(a\) .

Следствие

Для приведенного квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) теорема Виета выглядит следующим образом: \[x_1+x_2=-p, \qquad \qquad x_1\cdot x_2=q\]

Теорема: разложение на множители квадратного трехчлена

Пусть уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) , \(a\neq 0\) , имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\) . Тогда при любом значении \(x\) выполнено \[ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2),\] где \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) (возможно, совпадающие).

Доказательство

Сделаем преобразования: \[\begin &a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x — \dfrac<-b + \sqrt><2a>\right)\left(x — \dfrac<-b - \sqrt><2a>\right) =a\left(x^2 — x\left(\dfrac<-b + \sqrt> <2a>+ \dfrac<-b - \sqrt><2a>\right) + \dfrac<4a^2>\right)=\\[2ex] &=a\left(x^2-x\cdot \left(-\dfrac ba\right)+\dfrac<4a^2>\right) =a(x^2+\dfrac ba x+\dfrac ca)=ax^2+bx+c \end\]

Пример

Разложить на множители квадратный трехчлен \(3x^2-2x-1\) .

Решение.
Рассмотрим уравнение \(3x^2-2x-1=0\) и найдем его корни.
\(D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16\) , значит

Таким образом, \(3x^2-2x-1=3(x-1)(x+\frac13)=(x-1)(3x+1)\) .

\[<\Large<\text<Простейшие кубические уравнения>>>\] \(\bullet\) Кубический корень из числа \(a\) – это такое число \(b\) , которое при возведении в куб равно \(a\) : \[\sqrt[3] a=b\quad \text<то же самое, что >\quad a=b^3\] \(\bullet\) Таблица кубов чисел от 1 до 10: \[\begin <|ll|>\hline 1^3=1 & \quad6^3=216 \\ 2^3=8 & \quad7^3=343\\ 3^3=27 & \quad8^3=512\\ 4^3=64 & \quad9^3=729\\ 5^3=125 & \quad10^3=1000\\ \hline \end\] \(\bullet\) Простейшие кубические уравнения – уравнения, сводящиеся к виду \[x^3=a\] Для любого числа \(a\) такие уравнения имеют единственный корень \[x=\sqrt[3]a\] Пример:
1) решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]<-8>=-2\) .
2) решением уравнения \(x^3=64\) является \(x=4\) .

Теория линейных и квадратных уравнений традиционно изучается школьниками Москвы и других городов в 8 классе. И хотя данная тема рассматривается в рамках образовательного курса достаточно подробно, и ей отводится немало времени, с заданиями из этого раздела выпускники не всегда справляются с легкостью. Именно поэтому, готовясь к сдаче ЕГЭ, учащимся непременно стоит освежить в памяти теорию и разобраться в решении задач с линейными и квадратными уравнениями.

Сделать это легко, оперативно и эффективно вам позволит образовательный портал «Школково». Всю необходимую теорию по теме «Квадратные и линейные уравнения» для подготовки к ЕГЭ вы можете найти в соответствующем разделе. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Изучив определения, формулы и основные свойства линейных и квадратных уравнений, учащиеся смогут не только вспомнить всею необходимую теорию, но и грамотно объяснить принцип решения задач ЕГЭ. Закрепить усвоенный материал вам помогут упражнения в разделе «Каталог». Здесь вы можете найти как простые, так и более сложные задачи по данной теме. Для каждого задания на сайте наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Изучить теорию по теме «Линейные и квадратные уравнения» и попрактиковаться в выполнении упражнений можно в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в «Избранное», чтобы в дальнейшем можно было к нему вернуться или обсудить с преподавателем.

Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Уравнения, неравенства и их системы. Часть 1. Решение линейных и квадратных уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы повторим и систематизируем наши знания об уравнениях, неравенствах и их системах, а также о методах их решениях.

Линейные квадратные уравнения 9 класс

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.