Метод неопределенных коэффициентов и его универсальность
Разделы: Математика
Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.
Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).
Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а0+ а1х + а2х 2 +. + а nx n , заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а0, а1, а2, . аn равны нулю.
Теорема №2 (следствие теоремы № 1).
Деление многочлена на многочлен.
Пример 1. Выполнить деление многочлена х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 на многочлен х 2 – х + 1.
Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 = (х 2 – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 2 – х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.
Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:
Раскроем скобки в правой части равенства:
Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:
Ответ: Q(x) = x 3 + x 2 — 6x — 5, R(x) = x + 1.
Пример 2. Выполнить деление многочлена х 7 –1 на многочлен х 3 + х + 1.
Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 7 –1 = (х 3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 3 + х + 1).
Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.
Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q 4x 4 + q 3x 3 + q 2x 2 + q 1x + q0,
R(x) = r 2x 2 + r 1x + r0.
Подставим Q(x) и R(x):
Раскроем скобки в правой части равенства:
Получаем систему уравнений:
Ответ: Q(x) = x 4 — x 2 — x + 1, R(x) = 2x 2 — 2.
Расположение многочлена по степеням.
Возьмем функцию Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням f(x) по степеням (х-х0).
Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов а0, а1, . аn. В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степеням x. Так как мы имеем тождество, то (по теореме № 2) коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе n+1 уравнений с n+1 неизвестными а0, а1, . аn , которую нужно решить.
Пример 3. Расположим многочлен по степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:
Решая систему, находим:
Ответ: .
Пример 4. Расположим f(x) = х 4 — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90 по степеням (х-2).
Решение: Полагаем х4 — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90
Ответ: f(x) =
Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.
Пример 5. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида произведение (х — 1)(х + 3)(х + 5).
Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:
(х — 1)(х + 3)(х + 5) = х 3 + ах 2 + вх — 15, где а и в — неизвестные коэффициенты.
Для вычисления их положим х = 1 и х = — 3, тогда получим:
откуда а =7, в = 7.
Ответ: х 3 +7х 2 + 7х — 15.
Разложение многочлена на множители
Пример 6. Дан многочлен
Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.
Решение: Будем искать разложение в виде:
полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел
Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х 4 + 3х 3 — 15х 2 — 19х + 30 = (х — 1)(х — 3)(х + 2)(х + 5)
Пример 7. Дан многочлен .
Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.
Решение: Будем искать разложение в виде:
полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует искать среди чисел
Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -7,-2,2,3. Следовательно х 4 + 4х 3 — 25х 2 — 16х + 84 = (х — 2)(х — 3)(х + 2)(х + 7)
Пример 8. Разность является целым числом. Найдем это число.
Решение: Так как,
Тогда
Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.
Тогда
Решая данную систему уравнений, получим а = 5, b = -4.
Значит так как
Аналогично устанавливаем, что
Следовательно
Пример 9. Является ли разность целым числом.
Решение: Т.к.
тогда —
Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.
Тогда откуда
из второго уравнения тогда первое уравнение принимает вид
b 2 = 12,5 — — не удовлетворяет условию задачи, или b 2 = 9, откуда b = -3 или b = 3 — не удовлетворяет числу Значит, а = 5.
Аналогично,
Окончательно получаем: — иррациональное число.
Уничтожение иррациональности в знаменателе
Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
Решение:
отсюда
Раскроем скобки, сгруппируем:
Ответ:
Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
Решение: ,
отсюда
Раскроем скобки, сгруппируем
Отсюда
Итак
Следовательно
Ответ:
Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений
Пример 12. Решим уравнение х 4 + х 3 — 4х 2 — 9х — 3 = 0.
Решение: Предположим, что корни уравнения — целые числа, тогда их надо искать среди чисел
Если х = 1, то
если х = -1, то
если х = 3, то
если х = -3, то
Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.
Попробуем разложить многочлен на множители в следующем виде:
, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:
Проверим вариант № 2, когда b = —1; d = 3:
Пример 13. Решить уравнение: х 4 — 15х 2 + 12х + 5= 0.
Решение: Разложим многочлен f(х) = х 4 — 15х 2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: , где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки:
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:
Системе удовлетворяет вариант №2, т.е. а = 3, b = -1, c = -3, d = 5.
Итак,
D =13
D = 29
Ответ:
О решении одного класса кубических уравнений.
Пусть дано кубическое уравнение: а 1 х 3 + b 1х 2 +с 1х +d1 = 0, где а ≠ 0.
Приведём его к виду х 3 + ах 2 +bх + с = 0 (1), где а = , в = , с =
Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:
Раскроем скобки, сгруппируем: y 3 +3у 2 m + 3ym 2 + m 3 + ay 2 + 2aym +am 2 + by +bm + с = 0,
y 3 + y 2 (a +3m) +y(3m 2 +2am +b) + m 3 +am 2 +bm + с = 0.
Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:
Решения этой системы: m = —; a 2 = 3b. Таким образом, при произвольном с и при a 2 = 3b уравнение подстановкой х = у — можно привести к двучленному уравнению третьей степени.
Пример14. Решить уравнение: х 3 + 3х 2 +3х — 9 =0.
Решение: В данном уравнении а = 3, в =3, тогда условие a 2 = 3b выполняется, а m = — = -1. Выполним подстановку х = у -1.
Уравнение принимает вид: (у -1) 3 +3(у -1) 2 +3(у -1) – 9 = 0.
y 3 -3y 2 +3у -1 +3у 2 – 6у +3 +3у –3 – 9 = 0.
y 3 – 10 = 0, откуда у = , а х = — 1.
Ответ: — 1.
Пример15. Решить уравнение: х 3 + 6х 2 + 12х + 5 = 0.
Решение: а = 6, в =12, тогда условие a 2 = 3b (62 = 3×12) выполняется, а m = — = -2.
Выполним подстановку х = у — 2. Уравнение принимает вид: (у -2) 3 +6(у -2) 2 +12(у -2) + 5 = 0.
у 3 – 6у 2 + 12у – 8 + 6у 2 -24у + 24 + 12у – 24 + 5 = 0.
у 3 – 3 = 0, у = , а х = — 2.
Ответ: – 2.
Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.
Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Определения и методы решений
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.
Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя
Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:
По правилу дифференцирования сложной функции:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставляем в (2):
Интегрируем:
Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:
Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015
Линейные уравнения первого порядка
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y’+y=b(x) .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Теорема. Пусть a1(x) , a0(x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a1≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x0, y0), x0∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x0) = y0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a1(x)y’+a0(x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме
Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде
Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем
где C1— некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.
Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).
Пример . Решить уравнение y’ + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y’ + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y’ = C'(x)e -2 x — 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x — e 2 x + C1 и y(x) = (2xe 2 x — e 2 x + C1)e -2 x = 2x — 1 + C1e -2 x — общее решение исходного уравнения. В этом решении y1(x) = 2x-1 — движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y2(x) = C1e -2 x -собственное движение объекта.
Пример №2 . Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y’+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y’ = u’v + uv’.
3u v tg(3x)+u v’+u’ v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v’) + u’ v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v’) = 0
2. u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v’ = 0
Представим в виде: v’ = -3v tg(3x)
Интегирируя, получаем:
ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/linejnye/
http://math.semestr.ru/math/lec_diffur_5.php