Линейные уравнения 2 порядка канонический

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты ;

2. Вычислить выражение ;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );

4. Записать уравнение характеристик:

; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· (4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· , (5)

в случае уравнения параболического типа;

· , (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные и :

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т. е. ;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

,

,

, (7)

,

.

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

;

· в случае уравнения параболического типа:

;

· в случае уравнения эллиптического типа:

.

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: ;

;

(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

6. Введём характеристические переменные:

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на -100 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

;

(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее

а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть

;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на 4 (коэффициент при и ):

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

, (14)

где — новая неизвестная функция, — параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

;

;

.

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на , придем к уравнению

,

где .

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты :

10. Вычислим выражение :

.

11. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: ;

; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

6. Введём характеристические переменные:

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению

.

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

,

где .

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Исследование уравнений второго порядка

Преобразование координат в уравнении второго порядка.

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением
$$
Ax^ <2>+ 2Bxy + Cy^ <2>+ 2Dx + 2Ey + F = 0,\label
$$
в котором коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\) не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения \eqref не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол \(\varphi\) старые координаты точки \(x\), \(y\) будут связаны с ее новыми координатами \(x’\), \(y’\) формулами
$$
x = x’\cos \varphi-y’\sin \varphi,\\ y = x’\sin \varphi + y’\cos \varphi.\nonumber
$$
В новых координатах уравнение \eqref примет вид
$$
A(x’\cos \varphi-y’\sin \varphi)^ <2>+ 2B(x’\cos \varphi-y’\sin \varphi) \times \\ \times (x’\sin \varphi + y’\cos \varphi) + C(x’\sin \varphi + y’\cos \varphi) + … = 0.\nonumber
$$
Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно \(x’\), \(y’\) и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением \(x’y’\) в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при \(x’y’\) есть
$$
B’ = -A\sin \varphi \cos \varphi + B(\cos^<2>\varphi-\sin^<2>\varphi) + C\sin \varphi \cos \varphi.\nonumber
$$
Если \(B = 0\), то поворачивать систему координат не будем. Если же \(B \neq 0\), то выберем угол \(\varphi\) так, чтобы \(B’\) обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению
$$
2B \cos 2\varphi = (A-C)\sin 2\varphi.\label
$$
Если \(A = C\), то \(\cos 2\varphi = 0\), и можно положить \(\varphi = \pi/4\). Если же \(A \neq C\), то выбираем \(\varphi = \displaystyle\frac<1> <2>\operatorname \left[\frac<2B>\right]\). Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение
$$
A’x’^ <\ 2>+ C’y’^ <\ 2>+ 2D’x’ + 2E’y’ + F’ = 0.\label
$$
Выражения для коэффициентов уравнения \eqref через коэффициенты \eqref подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Если в уравнение \eqref входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, \(A’ \neq 0\). Перепишем \eqref в виде
$$
A’\left(x’^ <\ 2>+ \frac<2D’>x’ + \frac>>\right) + C’y’^ <\ 2>+ 2E’y’ + F’-\frac = 0.\nonumber
$$
Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами \(x″ = x’ + D’/A’\), \(y″ = y’\), то уравнение приведется к виду
$$
A’x″^ <\ 2>+ C’y″^ <\ 2>+ 2E’y″ + F″ = 0,\nonumber
$$
как и требовалось.

Канонические виды уравнений второго порядка.

Предположим, что \(A’C’ \neq 0\), то есть оба коэффициента отличны от нуля. Согласно утверждению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду
$$
A’x″^ <\ 2>+ C’y″^ <\ 2>+ F″ = 0.\label
$$

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

Случай A’C’ > 0.

Если \(A’C’ > 0\), то коэффициенты \(A’\) и \(C’\) имеют один знак. Для \(F″\) имеются следующие три возможности.

Знак \(F″\) противоположен знаку \(A’\) и \(C’\). Перенесем \(F″\) в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид
$$
\frac>> + \frac>> = 1,\label
$$
где \(a^ <2>= -F″/A’\), \(b^ <2>= -F″/C’\). Можно считать, что в этом уравнении \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \geq b\). Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат
$$
x^ <*>= y″,\ y^ <*>= x″.\label
$$

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref при условии \(a \geq b\), называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат.

При \(a = b\) уравнение \eqref есть уравнение окружности радиуса \(a\). Таким образом, окружность — частный случай эллипса.

Случай A’C’ Определение.

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref, называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат — ее канонической системой координат.

Случай \(A’C’ = 0\).

Допустим теперь, что \(A’C’ = 0\), и, следовательно, один из коэффициентов \(A’\) или \(C’\) равен нулю. В случае необходимости, делая замену \eqref, мы можем считать, что \(A’ = 0\). При этом \(C \neq 0\), так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя утверждение 1, мы приведем уравнение к виду
$$
C’y″^ <\ 2>+ 2D’x″ + F″ = 0.\nonumber
$$

Пусть \(D’ \neq 0\). Сгруппируем члены следующим образом:
$$
C’y″^ <\ 2>+ 2D’\left(x″ + \frac<2D’>\right) = 0.\nonumber
$$
Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода \(x^ <*>= x″ + F″/2D’\), \(y^ <*>= y″\). Тогда уравнение примет вид
$$
C″y^ <*2>+ 2D’x^ <*>= 0,\nonumber
$$
или
$$
y^ <*2>= 2px^<*>,\label
$$
где \(p = -D’/C″\). Мы можем считать, что \(p > 0\), так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: \(\tilde = -x^<*>\), \(\tilde = y^<*>\).

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref при условии \(p > 0\), называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат — ее канонической системой координат.

Допустим, что \(D’ = 0\). Уравнение имеет вид \(C’y″^ <\ 2>+ F″ = 0\). Относительно \(F″\) есть следующие три возможности.

1. Если \(C’F″ 0\) знаки \(C’\) и \(F″\) совпадают. Разделив на \(C’\), приведем уравнение к виду
   $$
   y″^ <\ 2>+ a^ <2>= 0.\label
   $$
   Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
2. Остался последний случай \(F″ = 0\). После деления на \(C’\) уравнение принимает вид
   $$
   y″^ <\ 2>= 0.\label
   $$
   Это уравнение эквивалентно уравнению \(y″ = 0\), и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref, называется уравнением пары совпавших прямых.

Теперь мы можем объединить всё вместе.

Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка \eqref.

Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1. Уравнение эллипса.
   $$
   \frac>> + \frac>> = 1;\nonumber
   $$
2. Мнимый эллипс. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
   $$
   \frac>> + \frac>> = -1;\nonumber
   $$
3. Уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (точка).
   $$
   a^<2>x^ <2>+ c^<2>y^ <2>= 0;\nonumber
   $$
4. Уравнение гиперболы.
   $$
   \frac>>-\frac>> = 1;\nonumber
   $$
5. Пересекающиеся прямые.
   $$
   a^<2>x^<2>-c^<2>y^ <2>= 0;\nonumber
   $$
6. Уравнение параболы.
   $$
   y^ <2>= 2px;\nonumber
   $$
7. Пара параллельных прямых.
   $$
   y^<2>-a^ <2>= 0;\nonumber
   $$
8. Пара мнимых параллельных прямых. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
   $$
   y^ <2>+ a^ <2>= 0;\nonumber
   $$
9. Прямая (пара совпавших прямых).
   $$
   y^ <2>= 0.\nonumber
   $$