Системы линейных уравнений (7 класс)
Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin
А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.
Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)
Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).
Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:
И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее
Способ алгебраического сложения.
Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begin
Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).
\(\begin
Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.
Найдите неизвестное из полученного уравнения.
Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).
Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Приводим систему к виду \(\begin
«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).
Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.
Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).
Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.
Икс тоже найден. Пишем ответ.
Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).
Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .
Ответ: \((4;2)\)
Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin
Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.
Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
- Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | : (−4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
- Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
- Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
- 4х + 8 = 6 − 7х
- 4х + 7х = 6 − 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = −2/11
Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.
Пример 5. Решить: 
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
Приведем подобные члены.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.
Как решать линейные уравнения с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной — общие сведения
С темой уравнений можно познакомиться на первых уроках алгебры. В школьном курсе предложено такое объяснение: уравнение является равенством с неизвестным, которое необходимо вычислить. Неизвестное, или переменную, принято обозначать с помощью латинских букв.
Уравнение является математическим равенством с одной или несколькими неизвестными величинами.
Значение неизвестных определяется так, чтобы при подстановке в уравнение оно обращало его в верное числовое равенство.
Рассмотрим следующее выражение:
Если посчитать значение левой части, уравнение станет верным числовым равенством, то есть:
Еще одно выражение:
Здесь имеется некая переменная х, которую нужно вычислить. Уравнение в этом случае станет справедливым равенством, если найденное значение х оправдает знак равенства. Тогда левая часть выражения станет равна правой части.
Специфика преобразований при работе с алгебраическими уравнениями состоит в том, чтобы оставить слева в выражении многочлен от неизвестных, а правую часть обратить в ноль.
Линейное уравнение — это уравнение, записанное в виде:
где а и b являются действительными числами.
Корень уравнения, сколько их всего
Корень уравнения является таким числом, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает правую и левую части выражения.
Решить уравнение — определить все из возможных его корней, либо доказать их отсутствие.
Принципы поиска корней уравнения ах + b = 0:
- при а, отличном от нуля, уравнение имеет только один корень;
- когда а имеет нулевое значение, уравнение не имеет корней;
- если а и b равны нулю, тогда корнем уравнения является любое число.
Как решать, описание алгоритма
Правило переноса: если требуется перенести член из одной части уравнения в другую, то нужно изменить знак этого члена на противоположный.
Рассмотрим действие данного правила на примере:
Заметим, что в уравнении имеется пара частей:
- (х + 3) является левой частью;
- 5 — это правая часть.
Переместим число 3 вправо, изменив его знак на противоположный:
В итоге получилось верное числовое равенство. Это значит, что корень определен правильно.
Разберем еще одно уравнение:
Переместим член 5х влево с заменой знака на противоположный:
После приведения подобных вычислим х:
Правило деления: обе части любого уравнения допускается делить на одно и то же число.
Рассмотрим применение этого правила на практике:
Здесь при неизвестном записан числовой коэффициент в виде числа 4. Преобразуем уравнение так, чтобы числовой коэффициент при х стал равным единице. Для этого нужно поделить обе части уравнения на число 4:
Далее выполним сокращение дробей и найдем корень уравнения:
Разберем вариант, когда перед неизвестной переменной стоит знак минуса:
Выполним сокращение обеих частей уравнения на число -4:
Когда перед скобками стоит знак минуса, который необходимо исключить, следует изменить знаки внутри скобок на противоположные. В результате при вычислениях не будет допущена ошибка, что особенно важно при решении заданий на системы уравнений, примеров с разным количеством неизвестных.
Стандартный алгоритм решения линейных уравнений:
- Раскрыть скобки при их наличии.
- Сгруппировать члены с неизвестной переменной в одной части уравнения. Остальные члены должны остаться в другой части уравнения.
- Привести подобные в обеих частях уравнения.
- Решить уравнение вида aх = b, разделив обе части уравнения на числовой коэффициент a при неизвестном x.
Упростить решение задач на линейные уравнения можно методом использования следующей схемы:
Примеры задач для 7 класса с объяснением
Найти корни уравнения:
Перенесем единицу вправо, изменив знак на отрицательный:
Далее разделим уравнение на число 6, которое является общим множителем:
Требуется решить уравнение:
5 ( х − 3 ) + 2 = 3 ( х − 4 ) + 2 х − 1
В первую очередь избавимся от скобок:
5 х − 15 + 2 = 3 х − 12 + 2 х − 1
Далее сгруппируем члены уравнения, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
5 х − 3 х − 2 х = 0 − 12 − 1 + 15 − 2
Затем следует привести подобные:
Ответ: х является любым числом.
Нужно вычислить неизвестную х :
Выполним вычисления по правилу деления:
Найти решение уравнения:
4 ( х + 2 ) = 6 − 7 х
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
Вычислить корни уравнения:
3 x — 4 4 = 7 x 3 + 2
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
12 × 3 x — 4 4 = 12 × 7 x 3 + 12 × 2
3 ( 3 x — 4 ) = 4 × 7 х + 24
9 х – 12 = 28 х + 24
9 х – 28 х = 24 + 12
Решить линейное уравнение:
В первую очередь избавимся от скобок:
5 х − 15 + 2 = 3 х − 2 + 2 х − 1
Затем выполним группировку членов с неизвестными, а справа оставим свободные члены:
Ответ: данное уравнение не имеет решений.
Решить линейное уравнение:
2 ( х + 3 ) = 5 − 7 х
Выполним вычисления, согласно стандартному алгоритму решения линейных уравнений:
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-prostyh-linejnyh-uravnenij
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/7/kak-reshat-linejnye-uravneniya-s-odnoj-peremennoj