Линейные уравнения 8 класс с нулем на конце

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Корень первого уравнения —

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.

13 комментариев

Показательное уравнение:
3^((x+2)/(3x-4))-2*3^((5x-10)/(3x-4))-7=0
Корень известен: x=2.
Подскажите, пожалуйста, как найти решение. Преобразовать в квадратное уравнение что-то не получается.

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Линейные уравнения и линейные неравенства: сравнительный анализ»

Разделы: Математика

Цели урока.

• Повторение, закрепление основных понятий, свойств, способов решений.
• Обобщение имеющихся знаний по теме.
• Развитие мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, формирование навыков исследовательской деятельности.
• Развитие речи.
• Воспитание коммуникативных качеств личности.

Место урока. После изучения темы «Решение линейных неравенств».

Форма организации работы учащихся: работа в группах по 2 человека.

Запись на доске.

Найдём порядок в хаосе, который нас окружает.

Сначала я открывал истины, известные многим, затем стал открывать истины, известные немногим, и, наконец, стал открывать истины, никому ещё неизвестные. Видимо, это и есть путь становления творческой стороны интеллекта, путь развития изобретательного таланта. (Циолковский К.Э.)

Ход урока

1. Организационный момент. Мобилизующее начало.

Комментарий записей на доске и экране. Сообщение темы. Конкретизация предстоящей работы. Задачи урока. План работы.

Задачи:

• повторить определения и свойства, закрепить их практически;
• обобщить все теоретические сведения, составить сводную таблицу;
• найти в рассматриваемом материале общее, найти различие;
• расставить акценты на важных особенностях;
• разработать памятку для использования при решении линейных уравнений и неравенств..

План работы на уроке.

1. Повторение: теория и практика. Самостоятельно в группах.

2. Совместное прослушивание итогов работы ( у доски). Индивидуальные ответы.

3. Анализ полученной информации. Общее. Различие. Совместное обсуждение.

4. Обсуждение важных моментов.

5. Просмотр информационного проекта (Приложение 2) по теме «Больше, меньше и равно. Эволюция понятий».

2. Домашнее задание (по усмотрению). Комментарий к выполнению.

3. Начало работы.

Группы получают задания (карточки №1 -№10) с учетом уровня подготовленности учащихся. Краткий комментарий к выполнению заданий. Оговаривается время выполнения и порядок ответов. Перечень всех теоретических вопросов на экране. т к учащиеся должны видеть вопросы, над которыми работают другие. (Слайд 2 приложение 1).

1) Сформулировать определение линейного уравнения; линейного неравенства.

2) Что значит решить уравнение? Что значит решить неравенство?

3) Что такое корень уравнения? Что такое решение неравенства?

4) Какие уравнения называют равносильными? Какие неравенства называют равносильными?

5) Сформулировать свойства равносильности уравнений. Сформулировать свойства равносильности неравенств.

4. Решения карточек №1 — №10.

Выполняются у доски после некоторой предварительной подготовки на местах.

Содержание заданий на карточках.

1) Дать определение линейного уравнения; линейного неравенства.

2) А) Выписать линейные уравнения и к ним сводящиеся.

Б) Выписать линейные неравенства и к ним сводящиеся.

• -17;
• х 3 ;
• 2х = 8;
• -6 : 5 + 0,8;
• 15 = 5*3;
• ав = ва;
• 1/х = 2;
• -2(х — 2) 0;
• -2 > 5; х 2 0;
• 4(х — 6) + 3х = 0;

1) Что такое корень уравнения? Что такое решение неравенства?

2) Какое из чисел -1; 7; 3/7 является решением неравенства 3х > х + 2?

3) Какое из чисел -1; 2; 0 является корнем уравнения 19х — 30 = 8?

1) Какие уравнения называют равносильными?

2) Можно ли считать указанные уравнения равносильными? Почему? Сформулировать свойства равносильности уравнений.

А) х = 1 и х = ;

Б) 2х — 4 = 9 — 5х и 2х + 5х = 9 + 4.

1) Какие неравенства называют равносильными?

2) Можно ли считать неравенства равносильными? Почему? Сформулировать свойства равносильности неравенств.

Б) 1,5х — 7 -6х и 1,5х + 6х 7;

В) и х 10 .

5 карточка. Случай, когда корней нет.

Рассказать алгоритм решения линейного уравнения.

Решить уравнение -2(х — 1) + 10 = — 0,5(4х + 6).

6 карточка. Случай, когда корни — любые х.

Решить уравнение 8х — 2(4х — 10 ) = 20.

7 карточка. Случай, когда решений нет.

Решить неравенство -2(х — 1) + 10 4;

11. Задание для желающих (дополнительное, записано на доске).

При каких значениях переменной х имеет смысл выражение ?

5. Прослушивание ответов по карточкам №1 — №4, просмотр решений.

Содержание заданий и правильность решений некоторых заданий проверяется с помощью слайдов (слайды №3 -№8 приложение 1). Попутно осуществляется расстановка акцентов для заполнения таблицы, форма которой на доске.

После полного обсуждения таблица (таблица 1) выдаётся на парты и высвечивается на экране (слайд № 9 приложение 1)

6. Работа с таблицей 1.

Обсуждение содержания таблицы: сравнение, анализ общего, анализ различий.

Прослушивание и обсуждение работ по карточкам №5 — №10.

Акцентирование на важных особенностях после обсуждения карточек №4 -№8 (слайды № 12-№15приложение 1). Содержание карточки №9 и правильное решение (слайды№10 — №11 приложение 1).

7. Создание памятки.

Памятка будет полезна при решении уравнений и неравенств. Форма раздается каждому ученику для заполнения. Учащиеся предлагают возможные варианты полезных рекомендаций.

Как итог выполнения работы таблица 2 (Слайд №16). Таблицы выдаются учащимся.

2. Перенести слагаемые

3. Привести подобные

4. Использовать свойство одновременного умножения или деления обеих частей уравнения.

5. Записать ответ1. Раскрыть скобки

2. Перенести слагаемые

3. Привести подобные

4. Использовать одно из свойств одновременного умножения или деления обеих частей неравенства.

5. Записать ответ.Удобнее и быстрееЕсли а (множитель перед х) — обыкновенная дробь, то лучше использовать свойство умножения на обратное число.Помни всегдаПри делении или умножении частей неравенства на отрицательное число необходимо изменить знак неравенства на противоположный.Решая, решить

Если в конечной записи переменная исчезла и осталось::верное числовое равенство — то корнями являются любые х;

:неверное числовое равенство — то корней нет:верное числовое неравенство — то решением являются любые х или

:неверное числовое неравенство — тот решений нет

Просмотр презентации (исследовательская работа ученицы). Приложение 2.

Итоги урока. Отметки (желательно комментировать после ответов).