Линейные, квадратные, кубические уравнения
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) — 10х = 8$
$25 + 15х — 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х — 10х = 8 — 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ — старший коэффициент;
- $b$ — средний коэффициент;
- $c$ — свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Вынесем х как общий множитель за скобки:
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х — 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
При решении последнего уравнения возможны два случая:
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
Извлечем кубический корень из обеих частей
Соберем известные слагаемые в правой части
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x · x + 1 · x — <3·x>/
3. решаем полученное уравнение
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
Воспользуемся основным свойством пропорции
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Теория: Линейные уравнения и раскрытие скобок (целые коэффициенты)
Решите линейное уравнение:
Решим линейное уравнение
Для его решения нужно сначала раскрыть скобки в обеих частях этого уравнения, а затем решить полученное линейное уравнение.
1. Раскроем скобки:
2. Решим полученное линейное уравнение:
Перенеся \(\displaystyle \color
Разделив обе части уравнения на \(\displaystyle 12<\small ,>\) получаем:
Задания по теме «Простейшие уравнения»
Открытый банк заданий по теме простейшие уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №887
Условие
Найдите корень уравнения 5^<\log_<25>(10x-8)>=8.
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
Ответ
Задание №886
Условие
Найдите корни уравнения \cos\frac<\pi(x+5)><6>=0,5. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
а) \frac<\pi(x+5)><6>=\frac<\pi><3>+2\pi k, \frac
Наибольший отрицательный корень данного вида x=-3.
б) \frac<\pi(x+5)><6>=-\frac<\pi><3>+2\pi k , \frac
Наибольший отрицательный корень данного вида x=-7.
Значит, наибольший отрицательный корень уравнения x=-3.
http://www.01math.com/maths/theory?subcategory_id=1230
http://academyege.ru/theme/prostejshie-uravneniya.html