График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. |
---|
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. |
---|
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. |
---|
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
х | 0 | 2 | 4 |
y | -2 | -1 | 0 |
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
---|---|---|
y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.
Учим алгебра 7 класс. Как решать уравнения алгебра 7 класс, примеры, дроби, функции, степени, модули
В 7 классе ученикам предстоит научиться решать уравнения, дроби, строить функции, разбираться в модулях. Для этого следует познакомиться с основными понятиями в темах, рассмотреть алгоритм решения и пошагово учиться находить ответы. Главное правило — начать с простых примеров, постепенно переходя на более сложные. Большинство задач можно решать несколькими методами (это касается и примеров), следует выбрать самый простой и удобный для себя.
Как решать уравнения алгебра 7 класс
Начнем с решения линейных уравнений (на рисунке показано, по какому принципу они устроены). Чтобы найти ответ в таких уравнениях, нужно совершать действия: раскрытие скобок, поиск подобных слагаемых, умножение/деление частей на одно и тоже число, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Всё зависит от конкретного примера.
Рассмотрим несколько примеров пошагового решения линейных уравнений.
Пример 1.
6x + 24 = 0
Поскольку части уравнения (левая и правая) равны, то можно отнять из каждой одинаковое число. Равенство не изменится, а пример станет значительно проще. В представленном уравнении отняли 24 и слева, и справа. В левой части 24 сократилось, а в правой (0 — 24) получилось -24 (не забываем ставить знак минуса).
Получилось: 6x = -24. Теперь можем сократить 6 и -24 на число 6 (или рассуждаем так: чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель). В ответе будет -4. Не забудьте в самом конце подставить полученное число вместо х. Совпал ответ — значит, все правильно.
Можно рассуждать проще: чтобы упростить уравнение, нужно из левой части отправить в правую число 24, поменяв его знак. Равенство сохранится (на рисунке ниже).
Пример 2.
9 + 16x = 41 + 14x
Это уравнение более сложное. Здесь важно запомнить несколько моментов:
- числа без х переносятся в левую часть, а с х — в правую;
- при переносе знаки меняют.
Пример 3.
7(10 — 4x) + 5x = 12 — 3(5x + 2)
- Раскрыть скобки, выполнив умножение: 7 умножаем на каждое число в скобках (в правой части -3 на каждое). При выполнении действия не забывайте сохранять знаки.
- Записываем уравнение, получившееся после раскрытия скобок. Ещё раз сверяем знаки.
- Числа с х отправляются в левую часть, без х — в правую. Знаки чисел, которые переходят в другую часть, меняем.
- Подсчитываем результат с обеих сторон.
- Делим -64 на -8 и получаем ответ. Не забываем, что минус на минус при делении и умножении дают плюс.
В рассмотренных уравнениях корень точно определён. Так получается не всегда.
Пример 4.
Обратите внимание, в ответе получилось 0x = 0. Это значит, что x может быть любым числом, потому что при умножение хоть какого числа на 0 получится 0.
В этом примере корней нет, так как любое число, которое умножают на 0, будет равно 0 (21 никак не получится).
Как решать систему уравнений алгебра 7 класс
Системой называют несколько уравнений, в которых нужно найти такие значения неизвестных, чтобы равенство сохранилось. Разберемся на примерах, как выглядят системы и какие методы их решения существуют.
метод подстановки
Из самого названия следует, что алгоритм требует что-то подставлять. Ниже представлена система, где нужно найти значения x и y.
Суть метода подстановки: переменную в одном из уравнений выражают через другую переменную. Затем подставляют полученное выражение в другое уравнение.
Смотрим на систему. Видим, что удобнее будет выразить x во втором уравнении (так как он один). Выражаем путем переноса за знак «равно» 12y. Получилось: x = 11 — 12y (не забываем менять знак при переносе числа).
В первое уравнение вместо «x» записываем получившееся выражение. Меняем только x, остальное сохраняется в прежнем виде.
Далее преобразуем уравнение, в которое поместили выражение. Раскрываем скобки (перемножаем 5 на каждое значение). y оставляем в левой части, числа переносим в правую, знаки меняем. Таким образом нашли значение y (y = 1).
Теперь подставляем полученную единицу во второе уравнение (x = 11 — 12y).
Убедиться в правильном решение можно так: подставьте полученные значения в систему. Если равенства сохранятся, значит, решено верно.
метод сложения
Чтобы решить систему методом сложения, нужно из двух уравнений сделать одно. Просто складываем первое и второе. Здесь «y» просто сократились, и получилось простое уравнение. Как только нашли значение «х», нужно подставить его в любой пример (здесь поставили во второе уравнение). В ответе пишется так: (4; 3) — первым всегда пишется х, затем у.
графический метод
У нас есть система, где y = 5x и y = -2x + 7. Рассмотрим алгоритм решения системы уравнений:
- Подбираем 2 числа для х. Мы взяли 0 и 1, подставляем в первое уравнение: y = 5 * 0 = 0; у = 5 * 1 = 5. Значит первая прямая имеет координаты: (0; 0) и (1; 5).
- Для второго уравнения подбираем значения х. Взяли 3 и 2, подставляем и находим у: -2 * 3 + 7 = 1; -2 * 2 + 7 = 3. Значит прямая имеет координаты (3; 1) и (2; 3).
- Отмечаем на графике соответствующие прямые, подписываем их название.
- на месте пересечения получившихся прямых ставим точку — это будет решение.
- Точка имеет координаты (1; 5).
На заметку! Старайтесь подбирать такие значения х, чтобы у был небольшим. Так отмечать будет проще.
Выбирайте самый удобный способ решения. Третий метод — графический, считают самым неточным.
Как решать дроби 7 класс
Дроби можно разделить на 2 основных вида:
Они различаются в способе написания (смотрите рисунок ниже). В свою очередь и те, и другие делятся еще на несколько видов.
Для начала рассмотрим решение примеров с десятичными дробями.
Особое внимание при решении стоит уделить запятым. При сложении и вычитании запятые стоят строго друг под другом, при умножении это не имеет значения.
Примеры решения обыкновенных дробей.
- при сложении и вычитании нужно привести дроби к общему знаменателю, найти дополнительные множители. Так, для чисел 6 и 4 общим знаменателем стало число 24. Дополнительные множители считали так: 24 : 6 = 4 (для первой дроби) и 24 : 4 = 6 (для второй). Потом умножили доп. множители на числители и полученные числа сложили. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть, при необходимости сокращаем дроби.
- при умножении пишем дроби под одной чертой, сокращаем.
- при делении нужно вторую дробь перевернуть, поставить знак умножения и сократить дроби.
Если пример состоит из простой и десятичной дроби, то следует привести их к одному виду (к которому проще или удобнее считать).
Примеры 7 класс как решать
Теперь закрепим решение дробей на примерах.
Решение примера, представленного ниже:
- Видим, что присутствует как обыкновенная дробь, так и десятичные. Нужно привести к одному виду. Так как десятичных больше, и превратить 1/4 в этот вид проще, то делим 1 на 4, а целую часть сохраняем. Вышло 5,25.
- Далее умножаем — 3 на каждое число в скобках, внимательно следим за знаками.
- Остается от 10,4 отнять 9,3. В итоге вышло 1,1.
Но можно было решить проще. Первое действие всегда в скобках. Поэтому от 5,25 отнимаем 2,15. Получится 3,1. Умножаем ее на 3 — вышло 9,3. И отнимаем: 10,4 — 9,3 = 1,1. Этот способ даже проще, потому что не нужно следить за знаками при раскрытии скобок.
Чтобы верно решить следующий пример, нужно:
- точно проставить порядок действий (умножение и деление делаем в первую очередь, затем складываем);
- Умножить десятичные дроби столбиком, не забыть поставить запятую;
- деление здесь простое: переставили запятую на один знак вправо, поделили, получили -2.
- сложили числа.
Как решать задачи алгебра 7 класс
Задачи решаются путем составления уравнений.
Другие примеры задач с подробными решениями в видео-материалах.
Как решать функции алгебра 7 клас с
Функцией принято считать зависимость y от x. При этом x является переменной (или аргументом), а у — это значение функции (зависимая переменная).
- y(x) = 8x
- y(x) = −3x — 62
- y(x) = x−1 + 18
Чтобы найти значение у, которое бы соответствовало определенному значению х, нужно просто это значение х подставить в функцию.
Как решать степени алгебра 7 класс
Если требуется взять какое-либо число несколько раз, то проще записать его в степени. Например, нужно двойку взять три раза, т. е.: 2 * 2 * 2. Получается длинная запись. Поэтому придумали писать так: 2³ (читается: два в третьей степени).
Чтобы число возвести в степень (она указывается справа от числа вверху), нужно его умножать на самого себя столько раз, какая цифра указана. Рассмотрим подробнее на примерах.
Не всегда получается возвести число в степень «в уме». Иногда посчитать сложно. Например, возвести 6 в 5 степень, быстро получится не у каждого. Чтобы всякий раз не считать столбиком, лучше выучить основные степени. Они представлены в таблице.
При возведении любого числа в степень 1, получится это же число. Если возводить число в нулевую степень, в ответе будет 1.
Рассмотрим несколько примеров со степенями.
Отдельное внимание обращаем на возведение в степень отрицательного числа. Если такое число возводить в четную степень (2; 4; 6 и т.д.), то получится положительный ответ, если в нечетную, то ответ со знаком минус.
Алгебра модули как решать
Модулем числа называют это же число, только без знака минус. Например: | − 9 | = 9. При этом если число изначально неотрицательное, то оно остается прежним.
Перейдем к простым примерам.
Логично предположить, что под модулем будет число 4. Также подойдет число -4, ведь из-под модуля все равно выйдет положительное. Так, корнями уравнения будут: x = 4 и x = − 4.
Из-под модуля не может выйти отрицательное число. Поэтому, если видим что-то похожее: Ι-8 + хΙ = -8, значит, корней не будет, так как уравнение заведомо нерешаемо.
Другие примеры описаны в видео.
Об Авторе
Смотрите также
Красивый подарок маме своими руками, 8 марта короткие пожелания, открытка 8 марта своими руками для детей: открытки на 8 марта своими руками шаблоны, цветные шаблоны открыток
Явления живой и неживой природы 2 класс: биология живая неживая природа, признаки живой и неживой природы
Подарок маме на 8 марта своими руками, какую сделать поделку для мамы: в детском саду, в школе, лучшие поделки своими руками. Рисунок маме 8 марта: рисование простые рисунки
2 комментария
Спасибо большое очень помогли.
Огромное спасибо!А то учитель неможет нормально тему объяснить
Линейные уравнения – примеры с объяснением (7 класс, математика)
Линейные уравнения это первый шаг на пути изучения огромного количества самых разных уравнений. Именно в этой теме ученики усваивают важнейшие приемы решения. Чтобы не упустить ни одну из мелочей курса математики 6 класса, разберемся в вопросе подробнее.
Что такое уравнение?
В общем случае, уравнением называется тождество с одной неизвестной.
Тождеством зовется равенство. То есть уравнение это два равных между собой выражения, одно из которых или оба содержат неизвестное. Важным является условие присутствия только одной неизвестной в одном уравнении.
Можно написать уравнение с двумя и большим количеством переменных, но такое выражение решить не получится. Запомните, даже в системах уравнений, количество переменных должно равняться количеству уравнений. Например, система:
Z+у=4 – имеет решение. А вот уравнение:
Х+у=12 – однозначных решений не имеет. Почему?
Решением называется строго определенные числа, которые удовлетворяю требованиям равенства. То есть:
Неизвестная имеет только одно решение. В уравнении х+у=12 – решений бесконечно много. Число х может быть любым, как только мы выберем и подставим любое число, изменится в соответствии с нашим выбором и у. Поэтому и говорят, что у такого уравнения нет определенных решений.
Виды уравнений
Выделяют следующие виды уравнений:
- Линейные. Уравнения с 1 неизвестной в первой степени.
- Степенные. Это выражения с переменными в любой степени. Нужно понимать, что подкоренные выражения так же преобразуются в степень. Поэтому радикальные и степенные уравнения решаются по сходным правилам.
- Дробно-рациональные. Любые уравнения с дробными выражениями, в знаменателе которых есть переменная. Дроби, в знаменателе которых переменной нет, не считаются дробно рациональными уравнениями.
- Логарифмические.
Уравнения с неизвестными под знаком логарифма
Выделяют так же системы уравнений, где несколько тождеств имеют одинаковые значения переменных. В таких уравнениях часто используют способ подстановки, заменяя одну переменную другой.
Способы решения линейного уравнения
Любое уравнение можно решить двумя способами:
- Аналитическим, то есть с помощью математических вычислений. Этот способ хорош своей точностью
- Графическим, то есть с помощью построения на графике. Этот способ хорош возможностью использования практически в любой ситуации. К нему прибегают, когда найти корень с помощью вычислений невозможно.
Рассмотрим каждый из способов.
Графический способ
Для понимания графического способа нужно вспомнить, что такое функция. Функция это зависимость одной переменной от другой. Выражение, которое мы записали в начале: х+у=12 – как раз является функцией. Перенесем х в левую сторону выражения и запишем функцию в классическом виде.
у=12-х – функция имеет форму линии, откуда и название функции и соответствующего ей уравнения. Значение корня любого уравнения это одна или несколько точек на графике функции. Точки эти задаются пересечением с графиком другой функции.
Например, уравнение х+7=13 можно разбить на две функции:
у=13 – в первом случае это прямая линия. Во втором, прямая линия, которая проходит параллельно оси Оу через точку 13 на оси Ох. Точка пересечения двух графиков и будет решением уравнения.
Аналитический способ
Аналитический способ решения линейных уравнений подразумевает перенос величин из одной части выражения в другую с заменой знака. Смысл переноса в том, чтобы собрать все неизвестные в одной части уравнения, а все числа в другой.
Приведем пример линейного уравнения: 2х-7х+15=0
2х-7х+15=0 – соберем все значения х в правой части, а числа в левой
-5х=-15 – теперь поделим обе части выражения на коэффициент при неизвестном, т. е. на число -5
Что мы узнали?
Мы поговорили о видах уравнений. Разобрали, какие уравнения нельзя решить и привели объяснение. Выделили и разобрали на примерах два способа решений линейных уравнений.
Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».
http://luckclub.ru/kak-reshat-zadaniya-po-algebre-7-klass-uravneniya-primery-drobi-funkcii-stepeni-moduli-kak-nauchitsya-reshat-algebru-7-klass
http://kupuk.net/uroki/algebra/lineinye-yravneniia-primery-s-obiasneniem-7-klass-matematika/