Линейные уравнения и неравенства с 2 переменными

Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Линейное неравенство с двумя переменными и его решение

Неравенство вида ax+by $ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c , где a, b, c — данные числа, называется линейным неравенством с двумя переменными x и y.

Например: $2x+5y \lt 6; -x+1, 5y \ge 0; \frac<1> <2>x-8y \gt 7$

Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это неравенство в истинное выражение.

Например: для неравенства $2x+5y \lt 6$

пара (-1;-2) является решением, т.к. $2\cdot(-1)+5 \cdot (-2) = -12 \lt 6$ – истина

пара (1;2) не является решением, т.к. $2\cdot1+5\cdot2=12 \not\lt 6$ – ложь

Графическое представление линейного неравенства с двумя переменными

Графическим представлением линейного неравенства с двумя переменными вида ax+by$ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c является полуплоскость с границей ax+by = c .

Для строгого неравенства граница не входит в представление, для нестрогого неравенства – входит.

Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными

Графическим решением системы линейных неравенств с двумя переменными является пересечение их графических представлений на плоскости.

Пересечение двух множеств – это множество, которому принадлежат только те элементы, которые одновременно входят в оба множества.

Пересечение обозначают знаком $\cap$.

Найдём графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является треугольник ABC, где A(-1;2), B(0;4), C(2;0).

Примеры

Пример 1. Найдите графическое представление линейного неравенства:

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница входит

Представление – полуплоскость справа от границы, сама граница входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Пример 2*. Найдите графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является квадрат ABCD, где A(-3;-1), B(0;2), C(3;1), D(0;-4)

Пример 3*. Автоперевозчику поступил заказ на перевозку 30 т груза. У него есть 5 машин грузоподъёмностью 3 т и 5 машин грузоподъёмностью 5 т.

Расход топлива для каждого типа грузовиков соответственно 20 и 24 л, общий расход не должен превышать 170 л.

Подберите состав грузовиков для выполнения заказа.

Пусть x — количество грузовиков по 3т, y – по 5т.

По условию задачи:

$$ <\left\< \begin 3x+5y \ge 30 \\ 20x+24y \le 170 \\ x \le 5 \\ y \le 5 \end \right.> $$

Решением системы неравенств является заштрихованный треугольник. Единственным целочисленным решением является точка A(2;5) Таким образом, для выполнения заказа нужно 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т.

Их суммарная грузоподъёмность: $3 \cdot 2+5 \cdot 5 = 31 \gt 30$ достаточна

Суммарный расход топлива: $ 20 \cdot 2+24 \cdot 5 = 160 \lt 170 $ не превышает лимит

Ответ: 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
• Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
• Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где a, b и c — некоторые числа (a ≠ 0 , b ≠0), а, х и у — переменные.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Построить график уравнения 2х+у =1

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
2. Пусть точка М₁(х_1,у₁) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а М₂(х_1,у₂)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0_. Тогда 2у₂ – 3х₁ – 6 = 0, а 2у₁ – 3х₁ – 6 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c 0, достаточно взять какую-нибудь точку М₁(х₁; у₁), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх₁ + bу₁ + c.

Презентация по теме:»Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными», 11 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок разработан учителем математики МАОУ СШ №10 г.Павлово Леонтьевой Светланой Ивановной Урок опубликован на сайте учителя: http://pavls1954.wixsite.com/1712 Урок алгебры и начал математического анализа в 11 классе Учебник «Алгебра и начала математического анализа», базовый и профильный уровень, под ред. А.Б. Жижченко, 2010 г.

Приветствую вас на уроке Девиз урока: Успешного усвоения учебного материала Строго говоря, задача решена, если составлено для неё уравнение, так как это значит, что установлена точно зависимость нескольких величин от данных. Д. Пойя

1.Теория. Глава VII. §1,2 Разобрать задачи, решенные в классе 2.Практика. Стр.209-213, №№16-22(четные), №№23-28(ост) ДР№38 на 18.02.19 Проверить выполнение задания в паре.

18.02.19 Классная работа Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными Уроки №83–84 Глава VIII.§1.

Цели урока: Повторить линейные уравнения, неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными. Учиться решать задачи на нахождение множества точек, удовлетворяющих данному условию. Продолжить формирование культуры устной и письменной математической речи, умения оценивать уровень своих знаний по рассматриваемой теме.

Стр.237. Работаем с учебником.

Стр.237. Работаем с учебником.

Стр.237. Работаем с учебником.

Стр.243. №1 Ваши предложения по решению

Стр.243. №1 1 способ: 2 способ: 3 способ:

Стр.243. №1 1 способ:

Стр.243. №1 1 способ:

Стр.243. №1 1 способ:

Стр.243. №1 1 способ: 2 способ: 3 способ:

Стр.243. №1 2 способ:

Стр.243. №1 2 способ:

Стр.243. №1 2 способ:

Стр.243. №1 2 способ:

Стр.243. №1 1 способ: 2 способ: 3 способ:

Стр.243. №1 3 способ:

Стр.243. №1 3 способ:

Стр.243. №1 3 способ:

Стр.243. №1 3 способ:

Стр.243. №1 3 способ:

Стр.238. Работаем с учебником.

Стр.238. Работаем с учебником. Выразите Ву через х

Стр.238. Работаем с учебником.

Стр.238. Работаем с учебником.

Стр.238. Работаем с учебником.

Стр.238-239. Работаем с учебником.

Стр.239. Работаем с учебником.

Стр.239. Работаем с учебником.

Стр.243. №2 Строим прямую 3у – 2х + 4 =0 х 0 у 0

Стр.243. №2 Строим прямую 3у – 2х + 4 =0 х 0 у 0

Стр.243. №2 Строим прямую 3у – 2х + 4 =0 х 0 у 0

Стр.243. №2 Строим прямую 3у – 2х + 4 =0 х 0 у 0

Стр.243. №2 Строим прямую 3у – 2х + 4 =0 х 0 у 0

Стр.239. Работаем с учебником.

Стр.243. №3 Строим прямые:

Стр.243. №3 Строим прямые:

Стр.243. №3 Строим прямые:

Стр.243. №3 Строим прямые:

Стр.243. №3 Строим прямые:

Стр.243. №3 Искомое множество точек- это точки, расположенные выше обеих прямых

Стр.243. №3 Искомое множество точек- это точки, расположенные выше обеих прямых

Стр.243. №3 Искомое множество точек- это точки, расположенные выше обеих прямых

Стр.243. №3 В каждом неравенстве выразите у через х

Стр.243. №3 Строим графики прямых:

Стр.243. №3 Строим графики прямых:

Стр.243. №3 Строим графики прямых:

Стр.243. №3 Искомое множество точек …

Стр.243. №3 Искомое множество точек- точки, лежащие внутри треугольника , с вершинами в точках: (1;1),(2;0),(4;2)

Стр.240. Работаем с учебником.

Стр.240. Работаем с учебником.

Стр.241. Работаем с учебником.

Стр.243. Работаем с учебником. Запишите уравнения двух прямых, которые нужно построить?

Стр.243. Работаем с учебником. Строим прямые: х – у + 3=0, х + у – 1 =0

Стр.243. Работаем с учебником. Строим прямые: х – у + 3=0, х + у – 1 =0 х=0, у=3, х=-3, у=0 х=0, у=1, х=1, у=0 Находим координаты точки пересечения прямых: х – у + 3=0, х + у – 1 =0

Стр.243. Работаем с учебником. Строим прямые: х – у + 3=0, х + у – 1 =0 х=0, у=3, х=-3, у=0 х=0, у=1, х=1, у=0 Находим абсциссу точки пересечения прямых: х + 3= — х+ 1

Стр.243. Работаем с учебником. Строим прямые: х – у + 3=0, х + у – 1 =0 х=0, у=3, х=-3, у=0 х=0, у=1, х=1, у=0 Находим абсциссу точки пересечения прямых: х + 3= — х+ 1, 2х=-2, х=-1 Находим ординату точки пересечения прямых: -1- у+3=0, у=2 (-1;2)

Стр.243. Работаем с учебником. Строим прямые: х – у + 3=0, х + у – 1 =0 х=0, у=3, х=-3, у=0 х=0, у=1, х=1, у=0 Координаты точки пересечения прямых: (-1;2) у =х+3 у = — х+1 Выберите точку и определите знак произведения в этой точке. Укажите искомое множество точек

Стр.243. №5(1) Работаем с учебником. Строим прямые: х – у + 3=0, х + у – 1 =0 х=0, у=3, х=-3, у=0 х=0, у=1, х=1, у=0 Координаты точки пересечения прямых: (-1;2) у =х+3 у = — х+1 (0;0) (2 – 2 + 3)(2 + 2 – 1)= 9 > 0

Стр.243. Работаем с учебником. Можно ли назвать уравнения двух прямых, которые нужно построить?

Стр.243. Работаем с учебником. Разложите левую часть неравенства на множители

Стр.243. Работаем с учебником. Разложите левую часть неравенства на множители

Стр.243. Работаем с учебником. Разложите левую часть неравенства на множители

Стр.243. Работаем с учебником. Разложите левую часть неравенства на множители

Стр.243. Работаем с учебником. Разложите левую часть неравенства на множители

Стр.243. Работаем с учебником. Разложите левую часть неравенства на множители

Стр.243. Работаем с учебником. Постройте прямые и изобразите искомое множество точек

Стр.243. Работаем с учебником.

Стр.241. Работаем с учебником.

Стр.241. Работаем с учебником.

Стр.241. Работаем с учебником.

Стр.241. Работаем с учебником. Постройте прямые:

Стр.241. Работаем с учебником. Укажите множество точек, удовлетворяющих системе

Стр.241. Работаем с учебником.

Стр.242. Работаем с учебником.

Стр.242. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником. Строим треугольник

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.242. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником. Обсуждение вариантов решения

Оцените свое усвоение материала урока Итоги урока

1.Теория. Глава VIII. §1 Разобрать задачи, решенные в классе 2.Практика. Стр.243, №№1(четные),2(2),3(2,4),5(2) ДР№39 на 19.02.19

Краткое описание документа:

На уроке разбираются примеры учебника по теме, по образцу которых решаются задания. Введение новых вариантов и рассмотрение способов решения проходит в активной совместной деятельности учителя и ученика.Продолжается формирование культуры устной и письменнойматематической речи, умения оценивать уровень своих знаний по рассматриваемой теме и знаний одноклассников.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 479 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 11.03.2019
• 503
• 38

• 11.03.2019
• 290
• 21

• 20.02.2019
• 261
• 0

• 14.02.2019
• 187
• 0

• 10.02.2019
• 396
• 0

• 04.02.2019
• 851
• 20

• 02.02.2019
• 3718
• 132

• 02.02.2019
• 285
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.03.2019 1226
• PPTX 12.3 мбайт
• 73 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Леонтьева Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 422781
• Всего материалов: 407

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.