Линейные уравнения и системы уравнений презентация

«Решение систем линейных уравнений»
презентация к уроку по алгебре (7 класс) на тему

3 презентации к урокам

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение систем линейных уравнений Алгебра (7 класс) Учитель математики Васютина Е.Г. Гимназия Альма Матер

Графический способ решения систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений Рассмотрим каждое уравнение в отдельности. Геометрической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными служит его график на координатной плоскости.

Дана система линейных уравнений Рассмотрим первое уравнение Выразим из этого уравнения y через x .

Поэтому графиком данного уравнения является прямая. Данное уравнение можно рассматривать как формулу, задающую линейную функцию. Для построения графика найдем две точки. 1) 2 )

Вернемся к системе линейных уравнений Рассмотрим второе уравнение Выразим из этого уравнения y через x .

Поэтому графиком данного уравнения является прямая. Данное уравнение также как и первое можно рассматривать как формулу, задающую линейную функцию. Для построения графика найдем две точки. 1) 2 )

Построим график второй функции

Найдем координаты точки пересечения прямых

Координаты точки пересечения прямых ― это решение системы В этом случае говорят, что система решена графически

Для графического решения системы нужно: Построить графики каждого из уравнений системы. Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)

Однако при графическом способе решения системы уравнений обычно получается приближенное решение

Но На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых ― графиков уравнений системы

Три случая взаимного расположения двух прямых 1. Прямые пересекаются. То есть имеют одну общую точку. Тогда система уравнений имеет единственное решение. Например, как в рассмотренной системе

Три случая взаимного расположения двух прямых 2. Прямые параллельны. То есть не имеют общих точек. Тогда система уравнений решений не имеет. Например:

Три случая взаимного расположения двух прямых 3. Прямые совпадают. Тогда система уравнений имеет бесконечно много решений. Например:

Решите графически следующие системы уравнений

Подберите, если возможно такое значение m , при котором система имеет а) единственное решение б) не имеет решений в) имеет бесконечное множество решений

Подберите, если возможно такое значение m , при котором система имеет а) единственное решение б) не имеет решений в) имеет бесконечное множество решений

Подберите, если возможно такое значение m , при котором система имеет а) единственное решение б) не имеет решений в) имеет бесконечное множество решений

Графический способ решения систем линейных уравнений Домашнее задание: № 642 (1,3); № 644-646(1)

Урок закончен. Спасибо. До встречи на следующем уроке!

Урок. Презентация по математике на тему » Решение систем линейных уравнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок обобщения и систематизации

Эпиграф: «Мне приходится распределять свое время между политикой и уравнениями. Но уравнения, полагаю, намного важнее».

Актуализация 1. Задание 1. Какое из уравнений является линейным уравнением с двумя переменными? П) 6ху=11 Э) 3х-2у=7 Р) 5х2+у2=8 2. Какая пара чисел является решением уравнения 4х-у=1? Й) (2;7) А) (5;0) Е) (-3;4) 3. В уравнении 3х+у=18 выразите у через х: К) у=18+3х Л) х=18-у Н) у=18-3х 4. График какого из уравнений параллельный оси Ох? Ш) у=10 щ) х=-2 Р) х+у=0 5. Точка с абсциссой 3 принадлежит графику уравнения 2х+у=4. Определите ординату этой точки. К) 6 Т) -2 Н) 4 6. Точка с ординатой 2 принадлежит графику уравнения 2х+у=4. Определите абсциссу этой точки. Е) 1 О) 0 И) 4 7. Какие из точек лежат на оси Оу? А) (3;0) Й) (0;-2) О) (1;1) 8. На каком из рисунков изображен график функции х+у=4? Н) Р) К)

— физик-теоретик, один из основателей современной теорети- ческой физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года. эйнштейн

Нас в повседневной жизни окружают системы. Линейные системы уравнений

1.Какую математическую модель называют системой уравнений с двумя переменными? 2. Что называют решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными? 3. Что значит решить систему уравнений? 4. Какие методы решения систем уравнений знаете? Система уравнений – это два и более уравнений. С помощью одного уравнения системы решается другое, а в итоге решаются оба уравнения системы. Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать ,что решений нет Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство

Историческая справка Все эти методы решения систем уравнений знали люди давно.Они имеются в книге Ньютона “Всеобщая арифметика”, которая была издана в 1707 году.

A(0;3) B(3;0) C(0;-3) D(3;3) M(2;1) X=2 Y=1 Ответ: (2;1) Графический метод. . 1.Выразить переменную у из каждого уравнения системы 2. Построить графики полученных функций 3. Найти точки пересечения графиков

2. Решить систему графическим методом 2x + y = 5, 4x + 2y = 6 2x + y = 5, 2x + y = 3 у=5-2х у= 3-2х

Метод подстановки у — 2х=4, 7х — у =1; у=2х+4, 7х – (2х+4)=1; 7х — 2х — 4 = 1; 5х = 5; х=1; Ответ: (1; 6) Решим уравнение Подставим Выразим у через х Подставим Подставим

3. Решить систему методом подстановки 2x + y = 2, 6x – 2y = 4 3х-2+2х=2 5х=4 х = 0,8 у = 0,4 2x + y = 2, 3x – y = 2 у =2-2х 3х-у =2

|·( -3) + — 4х = — 12, х=3; Ответ: (3; — 10) 1. Если требуется уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях. 2. Складываем или вычитаем полученные уравнения 3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных. 4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную. Метод сложения

4.Решить систему уравнений методом сложения (вычитания) x -2 y = 10, 4x – 8y = 40 x — 2y = 10 (4) 4х-8у=40, 4 х — 8у =40 4х — 8у=40

Решить систему линейных уравнений: 1. 2. 3. y-x= 1 -2х+у=1 y+x=2 x+y=5 2х-у=3 3x+3y=6 1-я группа – метод подстановки, сложения 2-я группа – метод сложения, графический метод 3-я группа – графический метод, метод подстановки. (2;3) Нет решения Множество решений

1.Зависит решение системы от метода решения? Решение системы не зависит от метода решения. 2. Сколько решений может иметь система линейных уравнений Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.

Сколько решений имеет система уравнений ? у-2х=5 у+3х=7 у-5х=4 y-5x=6 у+3х=6 2у+6х=12 Если к1 к2Графики пересекаютсяСистема имеет единственное решение Если к1=к2 b 1 b2 Графики параллельныСистема не имеет решений Если к1=к2 b1=b2 Графики совпадаютСистема имеет бесконечно много решений

Заполни таблицу: Наглядность Неточность Точный Трудоёмкие выкладки Выбор множителя Точный Методы решенияПреимущества Недостатки Графический Подстановки Сложения (вычитания)

Верно ли? 1. Решение системы линейных уравнений зависит от метода решения. 2. Система линейных уравнений может иметь бесконечно много решений. 3. Системы линейных уравнений могут иметь два решения. 4. Пара чисел (6; 1) является решением системы уравнений х – у = 5 х + у =7 5.Система линейных уравнений имеет одно решение. 5х-у=4 5х –у=10 нет нет нет да да

Справка Уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений: – перенос неизвестных; – приведение подобных.

Итоги. Какие выводы мы можем сделать по методам решения систем уравнений? — Решение системы не зависит от метода решения. — Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.

Рефлексия Методы решения систем уравненийКакой метод будете применять при решении систем уравнений Какой метод не будете применять при решении систем уравненийНа какой метод обратить внимание Графический Метод сложения Метод подстановки

«Зачем мне тратить столько времени на какие-то уравнения, если мне это в будущем не понадобится?» В быту это вряд ли пригодится. Решение задачи о месте и времени встречи промыслового рыболовецкого судна с перегрузчиком сводится по сути к решению систем линейных уравнений, использующих данные о координатах судов, их скоростях и метеоусловия.

Домашнее задание 14.8, 13.18, 13.13 п.11-13

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ РЕСУРСЫ: ШАБЛОН – СЕТЬ ТВОРЧЕСКИХ УЧИТЕЛЕЙ «СОЗДАНИЕ ИНТЕРАКТИВНЫХ ТЕСТОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ» Савченко Е. М. КАРТИНКИ – КОЛЛЕКЦИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ И СЕТЬ ТВОРЧЕСКИХ УЧИТЕЛЕЙ

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 810 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 22.04.2017
• 1235
• 2

• 22.04.2017
• 772
• 0

• 22.04.2017
• 753
• 0

• 22.04.2017
• 1924
• 2

• 22.04.2017
• 1194
• 0

• 22.04.2017
• 665
• 2

• 22.04.2017
• 366
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.04.2017 2695
• PPTX 3.5 мбайт
• 102 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ильина Мария Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 31430
• Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемМарина Городенская

Похожие презентации

Презентация на тему: » Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения.» — Транскрипт:

1 Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. Цель: Рассмотреть понятие СЛАУ.

2 Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: Здесь x 1, x 2,, x n – неизвестные величины; a ij (i = 1,2, …, m; j =1,2, …, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс — номер уравнения, второй номер неизвестной); b 1, b 2, …, b m – числа, называемые свободными членами.

3 Решением системы Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x 1, x 2, …, x n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Решитьсистему Решить систему значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. совместной Система, имеющая решение, называется совместной.

4 Если система имеет только одно решение, то она называется определенной определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной совместной неопределенной (совместной и неопределенной неопределенной). Если система не имеет решений, то несовместной она называется несовместной.

5 Система, у которой все свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 =…= b n = 0), однородной называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), квадратной то система называется квадратной.

6 Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными эквивалентными или равносильными. равносильными.

7 Преобразование,применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной,называется эквивалентным равносильным эквивалентным или равносильным преобразованием. преобразованием.

8 Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса). Если система совместна, т. е. rang A = rang A* = (r),то r-уравнений СЛАУ линейно-независимы, а остальные (n — r) являются линейными комбинациями. Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные, придавая различные значения свободным неизвестным.

9 Общий метод решения однородной СЛАУ. Теорема: Если ранг матрицы однородной СЛАУ = r, то система имеет (m — r) линейно — независимых решений. Опр.: Совокупность решений, т. е. совокупность называется фундаментальной системой решений однородной СЛАУ.

10 Теорема об общем решении не одноодной СЛАУ. Теорема: Если фундаментальная система решений соотв-щей однор. СЛАУ; — некоторое решение не одно. СЛАУ, то сумма — решение не одно. СЛАУ. Полученное решение называется общим решением не одноодной СЛАУ.

11 Матричный способ решения СЛАУ. СЛАУ запишем в виде А х Х=В. Если det A0, то для матрицы А сущ. обратная А-1. Умножим обе части СЛАУ слева на А-1: А-1 х А х Х = А-1 х В; Е х Х = А-1 х В; Х = А-1 х В.

12 Метод Крамера. СЛАУ имеет вид А х Х=В при det A0 ; Х=А-1 х В. х 1 A11 A12 … An1 b1 х 2 = A21 A22 … An2 х b2 = хn A1n A2n … Ann n х n bn n х 1 A1n х b1 + A2n х b2 + Ann х bn A11 х b1 + A21 х b2 ……… A12 х b1 + A22 х b2 ………

13 1. 2. Числители — величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b 1, b 2 … b n, а остальные столбцы – это столбцы матрицы А и т.д. Если det A0, то СЛАУ имеет единственное решение и определяется формулами:

14 Элементарные преобразования матрицы 1) перемена местами двух строк; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

15 Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей треугольной матрицей. Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна определен на совместна и определенна.

16 A Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m m и стоящую справа прямоугольную матрицу, Aтрапециевидной то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной трапецеидальной.

17 Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является бесконечно неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений много решений.

18 Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты базисными отличны от нуля), называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными свободными.

19 Если свободным неизвестным при даны конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное частным решение называется частным решением решением. Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое общим решением. называется общим решением.

20 Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение базисным называется базисным. Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, рангом системы называемое рангом системы.

21 Вопросы: 1)Когда система имеет единственное решение? 2)Какие элементарные преобразования матрицы можно делать при решении СЛАУ?