Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.
Метод введения двух функций (Бернулли)
Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(1)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.
Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).
Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем
Окончательно находим:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли
Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(3)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Это уравнение с разделяющимися переменными,
.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv :
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:
Или
Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).
Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем, применяя формулу :
.
Окончательно находим:
.
Общее решение уравнения:
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 24-07-2012 Изменено: 27-02-2015
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем , откуда . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет , где — постоянная интегрирования.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функция от . Нормальный вид такого уравнения
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать как функцию от :
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .
Общее решение уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем
где и — неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно.
Подставляя в , после преобразования получаем
Определяя из условия , найдем затем из функцию , а следовательно, и решение уравнения . В качестве можно взять любое частое решение уравнения .
Пример 3. Решить задачу Коши: .
Решение. Ищем общее решение уравнения в виде ; имеем . Подставляя выражение для и в исходное уравнение, будем иметь
Функцию находим из условия . Беря любое частное решение последнего уравнения, например , и подставляя его, получаем уравнение , из которого находим функцию . Следовательно, общее решение уравнения будет
Используя начальное условие , получаем для нахождения уравнение , откуда ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция .
Пример 4. Известно, что между силой тока и электродвижущей силой в цепи, имеющей сопротивление и самоиндукцию , существует зависимость , где и — постоянные. Если считать функцией времени , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока :
Найти силу тока для случая, когда и .
Решение. Имеем . Общее решение этого уравнения имеем вид . Используя начальное условие (13), получаем из , так что искомое решение будет
Отсюда видно, что при сила тока стремится к постоянному значению .
Пример 5. Дано семейство интегральных кривых линейного неоднородного уравнения .
Показать, что касательные в соответственных точках к кривым , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).
Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой в точке .Уравнение касательной в точке имеет вид
По определению, в соответственных точках является постоянным, а переменным. Беря любые две касательные к линиям в соответственных точках, для координат точки их пересечения, получаем
Отсюда видно, что все касательные к кривым в соответственных точках ( фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
Исключая в системе аргумент , получаем уравнение геометрического места точек .
Пример 6. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию: ограничено при .
Решение. Общее решение данного уравнения . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при , будет неограниченно, так как при функция ограничена, а . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение , ограниченное при , которое получается из общего решения при .
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид
С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 7. Решить уравнение Бернулли .
Решение. Делим обе части уравнения на :
Делаем замену переменной , откуда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение
Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .
Пример 8. Решить уравнение Бернулли .
Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Общее решение уравнения ищем в виде , где — новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь
Для нахождения функции получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем
Итак, общее решение исходного уравнения .
Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.
Пример 9. Решить уравнение .
Решение. Запишем данное уравнение в виде .
Деля обе части уравнения на , получаем .
Замена приводит это уравнение к линейному , общее решение которого .
Заменяя его выражением через , получаем общий интеграл данного уравнения .
В некоторых уравнениях искомая функция может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.
Пример 10. Решить уравнение 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.
Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по , получаем
Дифференцируя еще раз по , будем иметь линейное однородное уравнение относительно
Разделяя переменные и интегрируя, найдем . Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению.
14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли
(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(X)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .
При этом очевидно, что — дифференцирование по частям.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Далее следует важное замечание – т. к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.
Например, функция может быть представлена как
и т. п.
Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .
Таким образом, возможно получить функцию U, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
Для нахождения второй неизвестной функции V подставим поученное выражение для функции U В исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
Интегрируя, можем найти функцию V:
; ;
Т. е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.
Подставляя полученные значения, получаем:
Окончательно получаем формулу:
, С2 — произвольный коэффициент.
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) — французский математик, през. Берлинской АН,
Поч. чл. Пет. АН (1776)).
Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом Вариации произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.
Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:
.
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
.
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.
При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.
Пример. Решить уравнение
Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:
Применим полученную выше формулу:
Определение. Уравнением Бернулли Называется уравнение вида
Где P и Q – функции от Х или постоянные числа, а N – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.
Для этого разделим исходное уравнение на Yn.
Применим подстановку, учтя, что .
Т. е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
Решение этого уравнения будем искать в виде:
Пример. Решить уравнение
Разделим уравнение на Xy2:
Полагаем
.
Полагаем
Произведя обратную подстановку, получаем:
Пример. Решить уравнение
Разделим обе части уравнения на
Полагаем
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:
Получаем:
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
Называется Уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции U, после чего решение легко находится в виде:
Таким образом, для решения надо определить:
1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции U;
2) как найти эту функцию.
Если дифференциальная форма Является полным дифференциалом некоторой функции U, то можно записать:
Т. е. .
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по У, а второе – по Х:
Приравнивая левые части уравнений, получаем Необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется Условием тотальности.
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции U.
Проинтегрируем равенство :
Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т. к. при интегрировании переменная У полагается постоянным параметром.
Определим функцию С(у).
Продифференцируем полученное равенство по У.
Откуда получаем:
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от Х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по Х равна нулю.
Теперь определяем функцию С(у):
Подставляя этот результат в выражение для функции U, получаем:
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Пример. Решить уравнение
Проверим условие тотальности:
Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Определим функцию U.
;
Итого,
Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента Х, а в другом – функции У, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции.
Для уравнения первого типа получаем:
Делая замену, получаем:
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
Исключив из этой системы параметр Р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.
Для дифференциального уравнения вида X = F(Y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:
Уравнения Лагранжа и Клеро.
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик
Ин. поч. член Петерб. АН )
Определение. Уравнением Лагранжа Называется дифференциальное уравнение, линейное относительно Х и У, коэффициенты которого являются функциями от Y’.
Для нахождения общего решение применяется подстановка P = Y’.
Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что , получаем:
Если решение этого (линейного относительно Х) уравнения есть То общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
Определение. Уравнением Клеро Называется уравнение первой степени (т. е. линейное) относительно функции и аргумента вида:
Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С учетом замены , уравнение принимает вид:
Это уравнение имеет два возможных решения:
или
В первом случае:
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
Исключая параметр Р, получаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.
Это решение будет являться особым интегралом. ( См. Особое решение.)
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:
Дифференцируя, получаем:
Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:
Итого, общее решение:
C учетом начального условия Определяем постоянный коэффициент C.
Окончательно получаем:
Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
Пример. Найти общий интеграл уравнения .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общий интеграл имеет вид:
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С.
С = — 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2
С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2
Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Общее решение имеет вид:
Найдем частное решение при заданном начальном условии У(0) = 0.
Окончательно получаем:
Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Тогда
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Итого
С учетом начального условия у(0) = 0 получаем
Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.
Пример. Решить уравнение С начальным условием у(0) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции У и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Итого
Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение.
(верно)
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Окончательно
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
С начальным условием у(1) = 1.
Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными.
С учетом начального условия:
Окончательно
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
Это линейное неоднородное уравнение.
Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Подставим в исходное уравнение:
Общее решение будет иметь вид:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием у(1) = е.
Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
Обозначим:
Уравнение принимает вид:
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Сделаем обратную замену:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = е:
Частное решение:
Второй способ решения.
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:
Решение исходного уравнения ищем в виде:
Тогда
Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
Получаем общее решение:
Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.
В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
Уравнение принимает вид:
Делаем обратную подстановку:
Общее решение:
C учетом начального условия у(1) = 0:
Частное решение:
Второй способ решения.
Замена переменной:
Общее решение:
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka-i-uravnenie-bernulli
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/kurs-vysshei-matematiki-3/14-lineinye-neodnorodnye-differentcialnye-uravneniia-metod-bernulli