Линейные уравнения первого порядка метод

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Определения и методы решений

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем в (2):

Интегрируем:

Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:

Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015

Линейные уравнения первого порядка

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y’+y=b(x) .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Теорема. Пусть a₁(x) , a₀(x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a₁≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x₀, y₀), x₀∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x₀) = y₀ и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a₁(x)y’+a₀(x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме

Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде

Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем

где C₁— некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.

Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).

Пример . Решить уравнение y’ + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y’ + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y’ = C'(x)e -2 x — 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x — e 2 x + C₁ и y(x) = (2xe 2 x — e 2 x + C₁)e -2 x = 2x — 1 + C₁e -2 x — общее решение исходного уравнения. В этом решении y₁(x) = 2x-1 — движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y₂(x) = C₁e -2 x -собственное движение объекта.

Пример №2 . Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y’+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y’ = u’v + uv’.
3u v tg(3x)+u v’+u’ v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v’) + u’ v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v’) = 0
2. u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v’ = 0
Представим в виде: v’ = -3v tg(3x)

Интегирируя, получаем:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем , откуда . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет , где — постоянная интегрирования.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функция от . Нормальный вид такого уравнения

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать как функцию от :

Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид .

Общее решение уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от . Подставляя, получаем

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

где и — неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно.

Подставляя в , после преобразования получаем

Определяя из условия , найдем затем из функцию , а следовательно, и решение уравнения . В качестве можно взять любое частое решение уравнения .

Пример 3. Решить задачу Коши: .

Решение. Ищем общее решение уравнения в виде ; имеем . Подставляя выражение для и в исходное уравнение, будем иметь

Функцию находим из условия . Беря любое частное решение последнего уравнения, например , и подставляя его, получаем уравнение , из которого находим функцию . Следовательно, общее решение уравнения будет

Используя начальное условие , получаем для нахождения уравнение , откуда ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция .

Пример 4. Известно, что между силой тока и электродвижущей силой в цепи, имеющей сопротивление и самоиндукцию , существует зависимость , где и — постоянные. Если считать функцией времени , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока :

Найти силу тока для случая, когда и .

Решение. Имеем . Общее решение этого уравнения имеем вид . Используя начальное условие (13), получаем из , так что искомое решение будет

Отсюда видно, что при сила тока стремится к постоянному значению .

Пример 5. Дано семейство интегральных кривых линейного неоднородного уравнения .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой в точке .Уравнение касательной в точке имеет вид

По определению, в соответственных точках является постоянным, а переменным. Беря любые две касательные к линиям в соответственных точках, для координат точки их пересечения, получаем

Отсюда видно, что все касательные к кривым в соответственных точках ( фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

Исключая в системе аргумент , получаем уравнение геометрического места точек .

Пример 6. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию: ограничено при .

Решение. Общее решение данного уравнения . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при , будет неограниченно, так как при функция ограничена, а . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение , ограниченное при , которое получается из общего решения при .

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 7. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Делим обе части уравнения на :

Делаем замену переменной , откуда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .

Пример 8. Решить уравнение Бернулли .

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Общее решение уравнения ищем в виде , где — новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь

Для нахождения функции получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем

Итак, общее решение исходного уравнения .

Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Запишем данное уравнение в виде .

Деля обе части уравнения на , получаем .

Замена приводит это уравнение к линейному , общее решение которого .

Заменяя его выражением через , получаем общий интеграл данного уравнения .

В некоторых уравнениях искомая функция может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.

Пример 10. Решить уравнение 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />.

Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по , получаем

Дифференцируя еще раз по , будем иметь линейное однородное уравнение относительно

Разделяя переменные и интегрируя, найдем . Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению.