Линейные уравнения проходят в классе

Урок математики по теме «Знакомство с уравнениями» по программе «Школа России»

Цели:

1. Дать детям новое математическое понятие «уравнение». Формировать умение читать и записывать уравнение. Способствовать запоминанию, сознанию, пониманию, составления уравнений;
2. Способствовать развитию внимания, логического мышления, памяти, культуры математической речи.
3. Воспитывать самоконтроль, гигиенические навыки письма, аккуратное ведение записей в тетради.

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: М.И. Моро «Математика» 2 класс, 2 части, Москва, «Просвещение», 2006.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устные задания:

• Как называются числа при сложении?
• Как называются числа при вычитании?

• Первое слагаемое – 20, второе слагаемое – 40. Найти сумму?
• Найти сумму чисел 30 и 6.
• Уменьшаемое – 48, вычитаемое 5. Чему равна разность?
• Чему равна разность чисел 70 и 6?
• Увеличить на 4 числа : 15, 20, 61.
• Увеличить на 3 числа : 18, 30, 79.

• Состав числа 12?
• Состав числа 14, 16?

• На празднике было 12 девочек и 18 мальчиков. Сколько всего детей было на празднике?
• В холодильнике яблок на 6 больше, чем апельсинов. Апельсинов – 9. Сколько яблок в холодильнике?
• В кукольном театре 60 кукол. В утреннем спектакле занято 20 кукол. Сколько кукол не занято в спектакле?

• Как называется это выражение?
• Прочитать выражение.
• Найти значение выражения:
  

  14+d	c-40
  d=23	c=95

III. Изучение новой темы.

С новой темой познакомится класс
Сегодня узнаем без сомненья
Имя этого выражения: х+4 = 12

А для этого нужно расшифровать слово, решив примеры.

У.: Записать число и классная работа в тетрадях.

У.: Примеры решить в тетрадях.

У.: Вам знакома такая запись: + 4=12 ?

Д.: Это пример с окошечком.

У.: А такая: a +4 ?

Д.: Это буквенное выражение.

У.: Что вы делали в первом случае?

Д.: Подбирали число чтобы запись была верной.

У.: Какое это число?

Д.: 8.

У.: что делали во втором случае?

Д.: вместо буквы подставляли число и вычисляли.

У.: Посмотрите на запись х+4=12

У.: На что оно похожа?

Д.: На пример с окошечком, на буквенное выражение.

У.: Что нам говорит знак =?

Д.: Равенство.

У.: Какое равенство? Все числа в нем известны?

Д.: Нет.

У.: Что неизвестно?

Д.: Первое число.

У.: как оно обозначено?

Д.: Латинской буквой.

У.: Если оно неизвестно, перед нами какая встает задача?

Д.: Найти, узнать какое это число.

У.: Найдите это число, чтобы равенство было верным.

Д.: Это число 8 (8+4=12).

У.: Что мы с вами сейчас сделали?

Вы решили уравнение.

У.: Сделаем вывод:

Уравнение – это ……(показать знак =)

Д.: Равенство.

У.: Которое содержит что? (показать на х)

Д.: Неизвестное число.

У.: Что надо сделать с неизвестным числом?

Д.: Его найти.

У.: Как обозначается неизвестное число?

Д.: Латинской буквой.

У.: Кто сможет сказать, что такое уравнение?

Д.: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.

У.: Что значит решить уравнение?

Плакат на доске: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число. Решить уравнение – найти такое число, чтобы равенство было верным.

У.: Число, которое мы находим в уравнении х – называется корнем уравнения.

У.: Решить уравнение можно с помощью подбора ( или зная взаимосвязь компонентов при сложении и вычитании)

IV. Физкультминутка (на дыхание).

Раз, два, три, четыре, пять!
Все умеем мы считать
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

V. Первичное закрепление нового материала.

а) У.: Среди данных выражений выбрать нужно уравнение и записать в тетрадь.

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Изучение темы » линия уравнений» в курсе математики 5-11 классов

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Изучение темы «Линия уравнений» в курсе математики 5-11 класс

УМК: Математика, 5 класс; 6 класс. Авт. С.М. Никольский, М.К. Потапов,

Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

Алгебра, 7 класс, 8 класс, 9 класс. Авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков,

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс, 11 класс. Авт. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

Образовательные : обобщить и систематизировать изученный материал, проверить усвоение обучающимися изученного материала и формировать умение применять его; повторить понятия уравнения и корня уравнения; повторить решение простых уравнений; закрепить навыки решения уравнений, содержащих более одного арифметического действия; закрепить навыки решения задач с помощью уравнений.

Развивающие: развивать познавательную активность, логическое мышление, творческие способности обучающихся, навыки самоконтроля и взаимоконтроля, развивать творческие способности обучающихся; развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы; развивать коммуникативные навыки; развивать умение сотрудничать при решении учебных задач.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, воспитывать культуру умственного труда; воспитывать культуру коллективной работы;

воспитывать упорство в достижении цели.

Уравнения решаются на множестве натуральных чисел. Как и в начальной школе — основной способ решения — на основании зависимости между результатами действий и их компонентами. Поэтому в 5-м классе рассматриваются 6 простейших видов уравнений: а + х = в; а — х = в; х — а = в; х*а = в; х : а = в; а : х = в .

С введением десятичных дробей учащиеся решают задачи на новом числовом множестве: (8,5 -у) * 7,2 = 37,44 и др.

В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. Появляются уравнения с модулем.

В 5 классе решаются уравнения, которые содержат переменную только в одной части. Записывается на доске уравнение: 52 + (3x – 14) = 62. Что представляет собой левая часть уравнения? Сумма. Назовите слагаемые. Какое слагаемое известно? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестное слагаемое? 3x – 14 = 10. Что представляет собой левая часть уравнения? Разность. В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти уменьшаемое? 3x = 24. Что представляет собой левая часть уравнения? Произведение. Назовите множители. Какой множитель известен? В каком из компонентов содержится неизвестное? Как найти неизвестный множитель? x = 8. Как проверить, что число 8 является корнем уравнения? 52 + (3 ? 8 – 14) = 62 ? 62 = 62. После этого составляем и записываем в тетрадь правило решения таких уравнений :

определяем вид уравнения по последнему действию;

определить, что неизвестно и найти неизвестное по соответствующему правилу;

в случае необходимости, повторить шаги 1 – 2;

найти корень уравнения;

В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. После упрощения выражений вида 5х+7х

с помощью распределительного закона решаются уравнения, в которых требуются такие преобразования: (27х — 16х) : 11 = 3 и др. При решении таких уравнений отрабатываются навыки выполнения тождественных преобразований.

Неизвестное может находиться в обеих частях уравнения. Для обоснования возможности переноса членов уравнения из одной части в другую используются свойство противоположных чисел (а + (-а) = 0) и весы: На левой чаше весов лежат арбуз и гиря в 6 кг, а на правой — 15кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза? Математическая модель ситуации : х + 6 = 15. Чтобы найти массу арбуза, снимем с левой чаши весов гирю в 6 кг, а чтобы не нарушать равновесия, необходимо снять 6 кг и с правой чашки :х + 6 – 6 = 15 — 6, то есть х = 15 — 6 . Можно сказать, что мы слагаемое 6 перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Воспользоваться весами для решения уравнения х — 5 = 9 уже нельзя. Воспользуемся свойством противоположных чисел: х-5 +5=9 + 5. Затем рассматриваем уравнение 5х = 2х + 6 . Решаем аналогично. После этого формулируется правило: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки. В этом же пункте учащиеся узнают, что корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.

5 класс: задания132; 183; 870.

6 класс: задания 626; 628; 629.

1) Решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух уравнений

с двумя переменными;

2) понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения разнообразных реальных

ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;

3) применять графические представления для исследования уравнений, исследования и решения

систем уравнений с двумя переменными;

4) владеть специальными приёмами решения уравнений и систем уравнений; уверенно применять

аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, прак­

5) применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содер­

жащих буквенные коэффициенты.

В 7 классе вводится понятие линейного уравнения с одной переменной: Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а и b – числа называется линейным уравнением с одной переменной. Линейное уравнение имеет единственный корень х=b/a.

В 7 классе продолжается решение задач методом составления уравнения. Кроме того учащиеся знакомятся с понятием «уравнение с двумя переменными», рассматривают три способа решения систем: графический, сложения, подстановки.

В 8 классе изучения уравнений представляет собой одну из важнейших задач курса. В связи с изучением рациональных дробей рассматриваются уравнения содержащие переменную в знаменателе.

В 9 классе получают дальнейшее развитие понятия «уравнения в двумя переменными» и «системы уравнений с двумя переменными». Их решение осуществляется графическим способом и способом подстановки. В курсе алгебры неполной средней школы рассматривается простейшие уравнения с одной переменной, содержащим переменную под знаком модуля.

В 7 классе вводится понятие равносильности. При решении уравнений используются свойства равносильности .

Основное внимание уделяется решению линейных уравнений с одной переменной. В курсе алгебры 7 класса знания обобщаются, проводится исследование линейного уравнения ах + b = 0 в зависимости от параметров а и b .

При изучении темы «Многочлены» учащиеся используют разложение на множители для решения уравнений вида: ах 2 + b х = 0.

В 7-м классе рассматривается еще одно важное понятие «уравнение с двумя переменными» и вводится понятие «система линейных уравнений»

В 8-м классе изучаются квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе.

Желательно к определению квадратного уравнения подойти через конкретные задачи. Формулы корней квадратного уравнения необходимо вывести, используя выделение полного квадрата в трехчлене ах 2 + b х + с и сводящее уравнение к двучлену, а не давать учащимся в готовом виде. При этом учащиеся должны твердо усвоить, что дискриминант позволяет узнать: есть ли корни у уравнения, а если есть, то сколько их. Кроме того, необходимо научить учащихся использовать формулу для случая, если b — четное, а также формулу корней приведенного квадратного уравнения.

Учащиеся должны владеть различными способами решения полного квадратного уравнения:

Способ выделения полного квадрата.

Через дискриминант по формуле корней.

По теореме, обратной теореме Виета.

Кроме того, учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения.

В 9-м классе решаются дробно-рациональные, биквадратные уравнения. Рассматриваются графические способы решения уравнений с одной переменной, как один из примеров приближенного решения уравнений.

Графический способ решения уравнений состоит в следующем: «Дано уравнение f(x) = g(x). Строим в одной системе координат графики у = f(x) и у= == g(x). Отыскиваем абсциссы точек пересечения».

Возможность применения графического способа решения весьма ограничена, так как ограничен запас графиков функций, которые ученики могут строить, и степень точности нахождения корней. Кроме того, приходится подбирать такие графики, чтобы точки пересечения были в пределах рисунка.

Однако графический способ имеет и определенные преимущества: позволяет рассматривать решения таких уравнений, которые учащиеся на данном этапе не могут решить аналитическим способом. Даже если корни являются числами большими по модулю, то с помощью схематических рисунков удается установить число корней, их знаки, вычленить те отрезки числовой оси, где эти корни могут находиться. Эти исследования полезны для подготовки к изучению функций.

Использование графического способа полезно и в устной работе с учащимися.

Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического способа решения сюжетных задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, широко применяемым в приложениях математики.

В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование , включающее в себя: 1) построение модели, 2)исследование модели, 3)анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения.

Выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

осмысление текста задачи и анализ ее содержания;

осуществление поиска решения и составления плана решения;

реализация плана решения;

анализ найденного решения, поиск других способов решения.

7 класс: задания 126; 130; 132; 137; 144; 146; 148; 155; 661; 891; 949; 1061; 1069; 1083.

8 класс: задания 535; 539; 545; 578; 581; 600; 602; 618; 628.

9 класс: задания 267; 276; 278; 290; 399; 429; 431; 440; 459; 460; 464; 465; 466.

Образовательная цель: способствовать формированию у обучающихся предметных компетенций:

выделить общие методы решения уравнений на примере решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений;

определить насколько хорошо обучающиеся умеют применять их при решении иррациональных, показательных, логарифмических уравнений;

способствовать дальнейшему закреплению навыка обучающихся в решении уравнений, использования различных языков математики (словесного, символического, графического).

Развивающая цель: способствовать развитию у обучающихся метапредметных компетенций:

коммуникативных – формирование мыслительной, речевой деятельности, навыка сотрудничества;

регулятивных – умение управлять собственной деятельностью.

Воспитательная цель: способствовать формированию у обучающихся личностных компетенций:

смыслообразование – умение субъективного целеполагания;

Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений, а также их систем. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств и систем. Решение системы уравнений с двумя неизвестными. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

1). Устная работа.

— Что называют решением уравнения?

— Что значит – решить уравнение?

— Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)?

— Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям?

— Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему?

(Деление уравнения на выражение, содержащее переменную — при этом может произойти потеря корней и возведение обеих частей уравнения в квадрат — при этом могут появиться посторонние корни.)