Линейные уравнения с модулем и параметром 7 класс

«Линейные уравнения с параметрами». 7-й класс

Класс: 7

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (327 кБ)

Цели урока:

• Обучающая: формировать умение решать линейные уравнения с параметрами.
• Развивающая:
  • развивать исследовательскую деятельность учащихся;
  • развивать логическое мышление для сознательного восприятия учебного материала;
  • развивать внимание, зрительскую память, активность учащихся на уроке.

Тип урока: введение нового материала.

Учебник: «Алгебра-7» авт. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. издательство «Мнемозина», 2008 год.

I. Проверка домашнего задания (работа выполнялась на двойных листах и сдаётся на проверку).

Готовые решения проецируются на доску и разбирается (проговаривается) алгоритм решения.

№ 624. Решите уравнение:

а) 0,3(2x – 1) – 0,4 (x + 8) = 1,2x – 1;
0,6x – 0,3 – 0,4x – 3,2 = 1,2x – 1;
0,6x – 0,4x –1,2x = 0,3 + 3,2– 1;
– x = 2,5;
x = –2,5. Ответ: – 2,5.

в) – 6(2 – 0,2x) + 11 = – 4(3 – 0,3x) – 1;
– 12 + 1,2x + 11 = – 12 + 1,2x – 1;
1,2x – 1,2x = 12 – 11 + 1;
0x = 2. Ответ: решений нет.

№ 625. Решите уравнение

а) (2x – 1)(3x + 7) – (1 + 6x)(x + 2) = 4;
6x 2 + 14x – 3x – 7 – (x + 2 + 6×2 + 12x) = 4;
6x 2 + 14x – 3x – 7 – x – 2 – 6×2 – 12x = 4;
6x 2 + 14x – 3x – x – 6x 2 – 12x = 4 + 7 + 2;
– 2x = 13;
x = – 6,5. Ответ: – 6,5.

№ 626. Решите уравнение

№ 622. При каких значениях a уравнение ax = 2a – 1:

а) имеет единственный корень; (при a 0)
б) имеет бесконечно много корней; (таких значений a нет)
в) не имеет корней? (при a = 0).

II. Устная работа (задания проецируются на доску)

1. Найдите корни уравнения:

а) 14 + 3x = 5 – x ; (– 2,25)
б) 105y – 28 = 105y + 7;
в) 34x + 2 = 34x + 2. (x – любое число)

2. При каких значениях a число 3 является корнем уравнения?

а) ax = – 6; (при a = – 2)
б) 8x = 3a . (при a = 8)

3. Укажите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений или решением является любое число?

а) (5 – a) x = 0; б) (b + 4) x = 5; в) ax = x.

III. Изучение нового материала

Учитель. Сегодня на уроке мы с вами будем учиться решать линейные уравнения с параметрами.

Задание 1

Рассмотрим уравнение mx + 3 = 4m – 2x. Оно содержит две переменные: m и x.

1. Вопрос. Чем же они отличаются? (одна из переменных, например m, принимает любые значения, тогда переменная x принимает не все значения, а только те, которые получаются при заданных значениях переменной m).

2. Задание. Решите данное уравнение при m = 2, – 1, 0.

если m = 2, то уравнение примет вид 2x + 3 = 8 – 2x. Ответ: ;
если m = – 1, то уравнение примет вид – x + 3 = – 4 – 2x. Ответ: – 7;
если m = 0, то уравнение примет вид 3 = – 2x. Ответ: – 1,5 )

3. Задание. Решите данное уравнение, задав свое значение для переменной m.
Переменную m, значения которой мы задаём, называют параметром (фиксированным числом).
Определение: решить уравнение с параметром – значит, для любых допустимых значений параметра найти значения неизвестной переменной.

4. Вопрос. Можем ли мы перебрать все значения параметра m, чтобы найти значения x? (нет)

5. Возникла проблемная ситуация. Как же решить данное уравнение mx + 3 = 4m – 2x?
Нет ли другого подхода к решению уравнения?
Оказывается существует. Для решения линейного уравнения с параметром применяется тот же
алгоритм решения, как и для линейного уравнения без параметра, т.е.перенос слагаемых и
приведение подобных слагаемых. Всегда ли эти операции выполняются? (да).
Выполним указанные операции:

6. Вопрос. Всегда ли можно выполнить деление? (нет).

7. Задание. Найдите контрольные значения, при которых уравнение не имеет решений.

Запишем решение уравнения далее так:

Задание 2 (разобрать так же подробно на доске)

Решите уравнение n 2 x + 3nx = 5n + 15;

n 2 x + 3nx = 5n + 15;
n (n + 3) x = 5 (n + 3);
n = – 3; 0 – контрольные значения параметра

1) при n = – 3 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число;
2) при n = 0 уравнение примет вид 0x = 15, решений нет;

Задание 3.

Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой на доске.

1. 2кx – 5(2 + x) = 7.

2кx – 5(2 + x) = 7;
2кx – 5x – 10 = 7;
2кx –5x = 7 + 10;
(2к –5) x = 17;
2к –5 = 0, к = 2,5 – контрольное значение параметра

1) при к = 2,5 уравнение примет вид 0x = 17, решений нет;

2. a 2 x – 2a = a 2 + ax

a 2 x – 2a = a 2 + ax;
a 2 x – ax = a 2 + 2a;
a(a – 1)x = a (a + 2);
a(a – 1) = 0, a = 0; 1 – контрольные значения параметра

1) при a = 0 уравнение примет вид 0x = 0, x – любое число;
2) при a = 1 уравнение примет вид 0x = 3, решений нет;

IV. Подведение итогов

1. Что мы сегодня рассматривали на уроке? (решение линейных уравнений с параметрами.)
2. В чем заключался алгоритм решения таких уравнений? Какие равносильные преобразования применяли?

а) освобождение от знаменателя, умножив обе части равенства на одно и тоже отличное от нуля число;
б) раскрытие скобок;
в) перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;
г) приведение подобных слагаемых.

V. Выставление оценок

VI. Домашнее задание

1) № 631; № 632; № 633.
2) Дополнительное задание

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241063 0

Уравнения с модулем, содержащие параметр. 7 класс.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Уравнения с модулем, сводящиеся к линейным и содержащие параметр.

7класс (методические рекомендации).

Солодовникова Галина Николаевна, учитель математики

МБОУ Школа №16 г. Саров Нижегородской области.

«Задачи с параметрами незаменимое средство для тренировки логического мышления».

Данный материал можно использовать на уроках алгебры в 7 классе, на занятиях математического кружка общеобразовательной школы, для самостоятельного ознакомления с данной темой учениками 7-ого класса.

На втором занятии были рассмотрены и решены уравнения:

1) ах-3х= -1. Ответ. Если а=3,то корней нет; если а≠3, то х= .

2) тх-7т=5х-6. Ответ. Если т=5, то корней нет; если т≠5, то х = .

3) х-3 m = 12-4 m х. Ответ. Если m =0,то корней нет; если m =-4, то х-любое число;

4) = . Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х= .

5) + 1 = . Ответ. Если а=0, то корней нет; Если а≠0, то х = .

На 3-ем занятии мы рассмотрим уравнения с модулем, содержащие параметр.

**При решении будем использовать определение модуля, которое было дано ученикам в 6классе.

(Математика 6. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Глава 4.Рациональные числа и действия над ними. § 32.

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

«Ключевое слово» в этом определении расстояние .

Модуль числа принимает только неотрицательные значения (расстояние не может быть отрицательным)*.

В данном уравнении х-неизвестное, а-параметр, который может принимать любые значения.

Если а=0,то уравнение примет вид 0∙ | х | =0 , х-любое число.

Ответ. Если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=0.

1.Если а=0, уравнение примет вид 0∙ | х | =1. Данное уравнение корней не имеет.

1)если а принимает отрицательные значения и уравнение корней не имеет;

2)если а>0, то принимает положительные значения и х=±

Ответ. Если а≤0, то корней нет; если а>0, то х = ±.

Если а-2=0, т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙ | х | =0, х-любое число.

Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=0.

Если а-2=0, т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙ | х | =5∙0 или 0∙ | х | =0 , х-любое число.

Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=±5.

1.Если а-2=0,т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙ | х | =0∙5 или 0∙ | х | =0, х-любое число.

Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а

1.Если 7-а=0,т.е. а=7, то уравнение примет вид 0∙9∙ | х | =0 или 0∙ | х | =0, х-любое число.

2.Если а+2=0, т.е. а=-2,то уравнение примет вид 9∙0∙ | х | = — 9 или 0∙ | х | = — 9 ,данное уравнение корней не имеет.

2) если а>-2,то правая часть данного уравнения (- ) принимает отрицательные значения и уравнение корней не имеет.

Ответ. Если а=7, х-любое число;

если а ≥ -2, а≠7, то корней нет;

Задания для самостоятельной работы.

2)если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=1;

3)если а 0, то х=а-4 или х= — а – 4;

4)если а= — 3, то х-любое число; если а≠ -3,то х= -2;

5)если а=0,х-любое число; если а≠0,то х= — 1или х= -7;

6)если а=0, то х-любое число; если а=1, то х=1;

если а 1,то х=- а +2 или х=а;

7)если а=-2, то х-любое число; если а≥2, то корней нет; если а

На следующем занятии рассмотрим дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр в знаменателе дроби.

1.Алгебра 6 класс. А.Г. Мерзляк, В.П.Полонский, М.С.Якир. Москва,»Вентана-Граф» 2015.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 723 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

§ 2. Линейное уравнение с одной переменной

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 24.07.2018
• 461
• 0

• 23.07.2018
• 1865
• 51

• 21.07.2018
• 2296
• 3

• 29.05.2018
• 387
• 14

• 29.05.2018
• 334
• 9

• 12.05.2018
• 783
• 4

• 15.03.2018
• 3587
• 462

• 08.02.2018
• 1450
• 5

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.07.2018 3391
• DOCX 21.3 кбайт
• 42 скачивания
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Солодовникова Галина Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 5 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 12479
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.