Линейные уравнения с параметром 7

Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где $p(a)$ и $q(a)$- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все $x$ при всех значениях параметра $a$. Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: $x=\frac$ при $p(a)≠0.$ Если же $p(a)=0$ и $q(a)=0$, то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда $p(a)=0$,а $q(a)≠0$, то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с $x$ в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение $ax-5a=7x-3$ при всех возможных $a$.

Перенесем все одночлены с $x$ влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем $x$ за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда $(a-7)≠0$. Тогда мы можем поделить все уравнение на $a-7$ и выразить: $$x=\frac<5a-3>.$$ Второй случай, когда $(a-7)=0$, получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра $а$. Например, $x=\frac<2><7>$ при $a=0,$ $x=\frac<-1><3>$ при $a=1$ и т.д.
Ответ: При $a=7$ $x∈∅;$
при $a≠7$ $x=\frac<5a-3>.$

Найдите все $a$, при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие $x$, влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку $x$ и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: $(a-1)=0$,т.е. $a=1$ $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: $(a-1)≠0$, т.е. $a≠1$ $$x=\frac<(a-1)(a-4)>=a-4.$$ Решением данного уравнения будет одно число $x=a-4$.
Ответ: $a=1.$

Из ОДЗ видно, что $5a+x≠0$ и $x-5a≠0,$ таким образом, $x≠±5a.$ Приведем уравнение к общему знаменателю $x^2-25a^2$ и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: $a=0.$ Получаем уравнение $0*x=0.$ Решениями этого уравнения будет любое число, кроме $x=0$ (ОДЗ $x≠±5a$).

Ответ: При $a=0$ решениями уравнения будут все действительные числа, кроме $x=0.$ Если $a≠0,$ то решений нет.

Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические рекомендации)

Разделы: Математика

Известно, что в программе по математике для неспециализированных школ задачам с параметрами отводится незначительное место.
К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, относятся, например, задачи, в которых отыскивается решение линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследуется количество их корней в зависимости от значений параметров.
Естественно, что такой небольшой класс задач не позволяет учащимся овладеть методами решения задач с параметрами. В результате, у учащихся возникает психологический барьер уже при «первом» знакомстве с параметрами — это неизвестное и известное, переменная и постоянная. Выход из сложившейся ситуации — включать задачи с параметрами в каждую тему.

Для решения задач с параметрами требуется:

а) свободное владение навыками решения уравнений;
б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях;
в) умение построить логическую цепочку рассуждений.

а) отработку навыков решения уравнений;
б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление;
в) формируют навыки исследовательской деятельности;
г) повышают интерес к математике.

Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.
Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.

Пример №2.
Выразить х : а) ах = а-1; б) (а+2) х = а-1; в) а х = а -1.
Укажите, при каких значениях а имеет смысл полученное выражение.
Найдите значение х при а=2; а=3; а= -10.
Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х-2=-1;14х=-4; 3-3х=1 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти, через числа.
Покажите, что в уравнение, помимо неизвестного, могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах=а-1, (а+2)х=а-1, (а+2)х=(а+2)-1, а х=а -1.
При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения ах=а-1 получаем
при а=2 имеем 2х=2-1; при а=3 имеем 3х=3-1; при а=0 имеем 0х=0-1; при а=-4 имеем -4х=-4-1.

Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9.
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4.
Решить уравнение относительно х:
х+2=а+7.
Решение: х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Параметр — это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которойпроводится анализ полученного решения.
Решить уравнение с параметром — этозначит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а

х=а+5 .
Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.

Пример №5.
Сравнить числа: а) а и 3а;
б) -а и 3а.
Решение:
а) естественно рассмотреть три случая:
если а 3а; если а = 0, то а = 3а; если а > 0, то а 3а; если а = 0, то -а = 3а; если а > 0, то -а -1 уравнение имеет два корня.

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.

Задачи для самостоятельного решения.

Для всех значений параметров а и в решите уравнения:

(5а+1)х+25а2+10а+1=0;
ах-а=х-1;
(а2-4)х=а2+а-2;
(а2-1)х-а2+2а-1=0;
(а-2в)х+а+в=3;
каких значениях параметра а уравнение а2(х-2)=х+а-3 имеет бесконечное множество решений?
каком значении параметра а корень уравнения х+3=2х-а будет отрицательным числом?
каждого значения параметра а определить число корней уравнения |x-1| =а.
каждого значения параметра а определить число корней уравнения|5x-3| =а.

Используемая литература.

Газета «Математика». Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»: Е.Пронина, « Линейные уравнения с параметрами» №12, 2000 г.; C.Неделяева, «Особенности решения задач с параметрами» №34, 1999 г.
Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2004.
Соколовская С.И., ДухонМ.Ю. Линейные уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.

Линейные уравнения с параметрами в 7-ом классе.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Линейные уравнения с параметрами в 6- o м классе (методические рекомендации).

Солодовникова Галина Николаевна, учитель математики

МБОУ Школа №16 г. Саров Нижегородской области.

«Задачи с параметрами незаменимое средство для тренировки логического мышления».

Данный материал можно использовать на уроках математики в 6-ом классе, на занятиях математического кружка общеобразовательной школы, дать для самостоятельного ознакомления с данной темой ученикам 6-ого и 7-ого классов.

Первые шаги при решении задач с параметрами.

1.Задания на сравнение.

В данном задании а может принимать любые значения: а может быть числом отрицательным (а 0).

Рассмотрим три случая:

если а 0, то а> — а, например а=1, тогда — а=-1, 1>-1.

Решение можно записать так:

если а 0, то а> — а.

В данном задании а может принимать любое значение.

если а =0,то а =2а;

если а >0,то а 3 а;

если а =0,то (- а) =3а;

если а >0,то (- а) (-3 а);

если а >0,то (-5а) Уравнения, содержащие помимо неизвестных, еще и буквенные величины, называют уравнениями с параметрами.

Мы рассмотрим уравнения вида ах= b ,где х-неизвестное, b -некоторое число или выражение, а- параметр.

В уравнениях данного вида параметр а может принимать любые значения. Задача могла звучать так: найдите решение уравнения в зависимости от параметра а. Особо нужно выделить значение параметра, при котором коэффициент при неизвестном обращается в нуль.