Линейные уравнения с параметром егэ

165 задач с параметрами

1. Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.
2. Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами.
3. Уравнения с параметрами, содержащие модуль.
4. Системы уравнений с параметрами.
5. Иррациональные уравнения с параметрами.
6. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным. Системы неравенств.
7. Квадратичные неравенства с параметрами.
8. Иррациональные неравенства с параметрами.
9. Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие логарифмы.
10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами.

Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac\) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\).

Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3>.$$ Второй случай, когда \((a-7)=0\), получим уравнение $$x*0=32,$$ которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра \(а\). Например, \(x=\frac<2><7>\) при \(a=0,\) \(x=\frac<-1><3>\) при \(a=1\) и т.д.
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>.\)

Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число.
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>=a-4.$$ Решением данного уравнения будет одно число \(x=a-4\).
Ответ: \(a=1.\)

Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)).

Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет.

Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть С

Теория к заданию 18 из ЕГЭ по математике (профильной)

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от $х$.
3. В системе координат $хОа$ строим график функции, $а=f(х)$ для тех значений $х$, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой, $а=с$, где $с∈(-∞;+∞)$ с графиком функции $а=f(х)$. Если прямая, а=с пересекает график, $а=f(х)$, то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение вида, $а=f(х)$ относительно $х$.
5. Записываем ответ.

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

3. $sin^<2>α+cos^<2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса