Линейные уравнения с периодическими коэффициентами

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Министерство общего и профессионального образования

Донской Государственный Технический Университет

Линейные системы
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

доклад по математике

Груздев Владимир Викторович

студент группы У-1-47

Братищев Александр Васильевич

Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора,
в курсе дифференциального исчисления уделено
недостаточное внимание,
«СЛДУ с периодическими коэффициентами».

Приведены основные определения, теоремы,
на основе которых можно искать решения
(периодические) подобных систем.

Рассмотрены несколько примеров на тему.

1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6

1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

ż = F(t)z (- ¥ 1 , …, d_j n > (см. примечание 1) . Поскольку матрица F(t) периодическая, функции z₁ (t + w) , …, z_n (t + w) также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций z_j (t + w) ­­­­ будет линейной комбинацией z_k (t) (k = 1, …, n) с постоянными коэффициентами (см. примечание 2) , поэтому

где с­­_j k (j, k = 1, …, n) — постоянные. Последние соотношения можно записать в виде

где Z(t) — фундаментальная матрица решений z_j­ (t) (j = 1, …, n), а С = (с_j k ) — постоянная матрица.

В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям

Полагая в равенстве (3) t = 0 , получим Z( w) = C .

Матрица Z( w) называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно ç Z( w) ç ¹ 0 . Собственные значения матрицы Z( w) называются мультипликаторами системы уравнений (1).

Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.

Теорема 1. Для того чтобы комплексное число r было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение j (t) системы (1), для которого

Доказательство. Пусть r — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z₀ ¹ 0 , что

Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1):

Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = 0 получим

В силу теоремы единственности

причем j (0) ¹ 0 , так как в противном случае решение j (t) было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что

Таким образом, j (0) — собственный вектор матрицы Z( ω) , а ρ — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом ω в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.

Замечания. 1. Имеет место

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление :

где Ф(t) — периодическая матрица с периодом ω, а А — постоянная матрица.

2. Легко видеть, что матрица Ф(t) удовлетворяет следующему условию:

откуда непосредственно следует, что замена переменных z = Ф(t)y переводит систему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим система дифференциальных уравнений

2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x₁ (t), …,x_n (t).

3. Все выводы получаются следующим образом:

из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)e At следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим

Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:

Пример 1 : Показать, что линейное уравнение второго порядка

где f ( t ) — непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если

Сведем дифференциальное уравнение к системе и применемтеорему 2:

2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы,соответствующей неоднородной системе (*):

3. Находим мультипликаторы однородной системы:

Итак, если

все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ω.

Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка

при a ≠2 πk / ω ( k Î R ) имеет единственное периодическое решение с периодом ω (см. пример 1); при a = ± 2 π / ω не имеет периодических решений с периодом ω, а приa =2 πk / ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0 ) все его решения — периодические с периодом ω.

Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.

Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:

1.[a ≠2 πk / ω ( k Î R ) ] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ω.

При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ω (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).

Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно:

Система уравнений (13):

Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:

Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а :
если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще.

3. Подставляем в систему (***)a =2 πk / ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0 ):

Таким образом,система (13′) имеет бесконечное множество решений для данных значений а Þ исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω.

Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаю соответствует k =0 , если a =2 πk / ω).

Если а=0 , то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13′), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.

[1]

Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

где — функция, периодическая с периодом , разлагающаяся в ряд Фурье

Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде

Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффициенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. Приравнивая свободные члены и коэффициенты при и в левых и правых частях полученного равенства, найдем

Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования решения вида (49): если , то необходимо, чтобы . Подставляя (50) в (49), получаем

Когда и , где , периодическое решение будет существовать только при условии

Коэффициенты и при расходятся по формулам (50), а коэффициенты и остаются произвольными, так как выражение является общим решением соответствующего однородного уравнения.

В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодических решений не имеет (возникает резонанс). При и коэффициент остается неопределенным и уравнение (47) имеет бесконечное множество периодических решений, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Если правая часть уравнения (47) имеет период , то надо разлагать по периоду и искать решение уравнения (47) в виде

Формулы (50) при этом соответственно изменятся.

Пример 8. Найти периодические решения уравнения .

Решение. Имеем . Функция не содержит резонирующего члена , значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формулам (50) находим коэффициенты

Все периодические решения даются формулой

где и — произвольные постоянные.

Пример 9. Найти периодические решения уравнения .

Решение. В данном случае . Проверим выполнимость условий (52). Имеем

Условия (6) существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения есть

которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого .

Пример 10. Найти периодическое решение уравнения .

Решение. Функция — периодическая с периодом . Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале :

Решение данного уравнения ищем в виде

Формулы (50) дают

Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида

О высокочастотных асимптотиках решений некоторого класса линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Томашевский Игорь Людвигович

В данной работе рассмотрен некоторый класс систем n линейных дифференциальных уравнений с Т -периодическими коэффициентами. Изложен аналитический метод асимптотически точного решения этих систем при T →0 и получен простой алгоритм вычисления показателей Флоке их фундаментальных решений.Алгоритм метода сводит поиск фундаментальных решений исходной системы уравнений к задаче на собственные значения и собственные элементы некоторого самосопряженного оператора H, действующего в гильбертовом пространстве специального вида. Методами теории возмущений, использующей T в качестве малого параметра, спектральная задача для оператора H трансформируется в задачу на собственные значения некоторой квадратной матрицы порядка n. Собственные значения этой матрицы представляют собой приближенные значения показателей Флоке фундаментальных решений исходной системы. Проведено сравнение полученных приближенных значений показателей Флоке с результатами «точных» численных расчетов. Найдена оценка сверху для максимальной погрешности приближенных значений. Для случая n = 2 для приближенных значений показателей Флоке приведены явные аналитические выражения.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Томашевский Игорь Людвигович

HIGH-FREQUENCY ASYMPTOTICS OF SOLUTIONSOF SOME LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

The paper studied some class of systems of n linear differential equations with Tperiodic coefficients. Analytical method of asymptotically exact solution of these systems, when T →0, was described, and a simple algorithm to calculate Floquet exponents of their fundamental solutions was obtained. The algorithm reduces the search of fundamental solutions of the original combined equations to a problem on eigenvalues and eigenelements of some self-adjoint H operator acting in a special type of Hilbert space. Perturbation theory, using T as a small parameter, transforms the spectral problem for H operator into a problem on eigenvalues of some square matrix of order n. Eigenvalues of this matrix represent approximate values of Floquet exponents of fundamental solutions of the original system. The obtained approximate values of Floquet exponents were compared to the results of “exact” numerical calculations. An upper estimate for the maximum error of approximate values was obtained. Explicit analytical expressions for approximate values of Floquet exponents, when n = 2, were given.

Текст научной работы на тему «О высокочастотных асимптотиках решений некоторого класса линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами»

ТОМАШЕВСКИЙ Игорь Людвигович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 27 научных работ, в т. ч. 7 учебно-методических пособий

О ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ АСИМПТОТИКАХ РЕШЕНИЙ

НЕКОТОРОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В данной работе рассмотрен некоторый класс систем п линейных дифференциальных уравнений с Т-периодическими коэффициентами. Изложен аналитический метод асимптотически точного решения этих систем при Т—>0 и получен простой алгоритм вычисления показателей Флоке их фундаментальных решений.

Алгоритм метода сводит поиск фундаментальных решений исходной системы уравнений к задаче на собственные значения и собственные элементы некоторого самосопряженного оператора Н , действующего в гильбертовом пространстве специального вида. Методами теории возмущений, использующей Т в качестве малого параметра, спектральная задача для оператора Н трансформируется в задачу на собственные значения некоторой квадратной матрицы порядка п. Собственные значения этой матрицы представляют собой приближенные значения показателей Флоке фундаментальных решений исходной системы. Проведено сравнение полученных приближенных значений показателей Флоке с результатами «точных» численных расчетов. Найдена оценка сверху для максимальной погрешности приближенных значений. Для случая п = 2 для приближенных значений показателей Флоке приведены явные аналитические выражения.

Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, показатель Флоке, характеристический показатель.

Введение. Системы линейных дифферен- применение для описания различных физико-

циальных уравнений первого порядка с пери- механических явлений и процессов, которые

одическими коэффициентами находят широкое определяются величинами, периодически из-

© Томашевский И.Л., 2014

меняющимися в пространстве или во времени. С такими уравнениями приходится встречаться при теоретическом описании твердых тел, динамических расчетах упругих систем и систем автоматического регулирования, а также при решении множества других практически значимых задач.

Теория систем уравнений с периодическими коэффициентами хорошо развита [3] и указывает на существование у них так называемых решений Флоке.

В данной работе решения Флоке исследуются применительно к системам линейных однородных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, допускающим обобщенную запись в виде операторного уравнения:

стематизированы, обобщены на случай произвольных уравнений вида (1) с произвольными периодическими функциями А^() и изложены в терминах спектральной задачи для некоторого самосопряженного оператора, действующего в гильбертовом пространстве специального вида.

Задача на собственные значения для решений Флоке. Согласно теореме Флоке, рассматриваемое уравнение (1) должно иметь хотя бы одно решение Флоке вида

где — периодическая с периодом Т функция, £ — показатель Флоке. Периодическая функция ф, согласно (1), удовлетворяет уравнению

где X, w — числовые параметры, h и V — самосопряженные операторы, действующие в п-мерном унитарном пространстве Нп, V( е Нп -искомая «функция» параметра I, / — мнимая единица, f(wt) — числовая периодическая функция с периодом Т = 2п / w такая, что

I f (wt) dt = 0 или | д2) с12 = 0 (2)

(системы уравнений такого рода возникают, в частности, при квантово-механическом описании спектров излучения многозарядных ионов, находящихся в области действия переменных электрических полей [1, 4, 5]). Предлагается алгоритм поиска приближенных решений Фло-ке этого уравнения и связанных с ними характеристических показателей (показателей Флоке), который в случае достаточно больших частот w сводится к поиску собственных значений и собственных векторов некоторой матрицы порядка п. Основные идеи рассматриваемого метода были использованы ранее в работах [1, 4] при исследовании спектров излучения атомов водорода и водородоподобных ионов, взаимодействующих с гармоническим лазерным полем. В настоящей работе эти идеи си-

В соответствии с этим представляется возможным рассматривать функцию как собственный элемент оператора

Q = і — + к + Х f (wt)V,

действующего в линейном пространстве НТ = Нп ® т , где т — линейное пространство периодических с периодом Т функций. Это пространство превращается в гильбертово, если для его элементов ввести скалярное произведение

где (%,, ф,) — скалярное произведение в Нп. При этом оператор Q становится самосопряженным. Такая переформулировка задачи позволяет свести поиск решений Флоке V, (3) уравнения (1) к решению спектральной задачи для оператора Q:

Решение спектральной задачи для оператора Q. Рассмотрим унитарный оператор

содержащий Т — периодическую функцию

Р(ї) = | f (wt’)Л’ ^ Г(, + T) = Г(,),

и трансформируем задачу (4) в спектральную задачу для оператора

(5 = UQU-1 = і —- + е-І Х Г(і)У кєі Х Г(‘)У. (5)

В силу унитарной эквивалентности операторов 5 и 5 их собственные значения совпадают, а соответствующие им собственные элементы легко выражаются друг через друга:

5%, = є%,, Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\2W (а) 2W(-а) h22 — є(1)

равнение (10) имеет вид _ 0, а _(V -V2)X/ w.

у( ) = -у(+)8 /(2п -5), определяемая постоянными у(+) и 5, то

Ж (а) = ап(ап) с\р(7ап), п =

Изложенный метод позволяет получать явные аналитические выражения для поправок £(1) и показателей Флоке £

mw + £(1) в тех случаях, когда корни характеристического уравнения (10) могут быть найдены аналитически. Например, при п = 2 ур

еЦ2 _ [h11 + h22 ±yj(h11 + h22)2 + 4h122 |W(а)|2 ] / 2.

Аналогичный результат был получен в [4] для случая f (wt) _ cos(wt), когда W(а) _ /0(а).

Комментарии к методу. Относительно точности и вида приближенного решения

p — p(0), є- mw + є(1) (12)

задачи (4) заметим следующее:

1) если входящие в оператор Q операторы h и V являются коммутирующими, т. е. hV — Vh = 0, то (12) является точным решением спектральной задачи (4);

2) фактическим малым параметром в разложении (8) является отношение max| hik |/ w, поэтому с ростом w точность приближения (12) увеличивается;

3) проведенное сравнение приближенных

значений показателей Флоке є- mw + є(1) с точными значениями, найденными путем численных расчетов для операторов Q с различными функциями f(wt) и операторами h и V, показало хорошее совпадение результатов для всех к (с погрешностью, не превышающей нескольких процентов) в области частот w > 2Л, где А — диаметр спектра оператора h, при этом для максимальной погрешности Лє max оказывается справедливой следующая приближенная оценка сверху: I л

Лє Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.